几何最值中巧用隐形圆解题

付波勇

在初中数学题型中，有一类涉及到动点与最值的几何题型，题目中并没有圆，但是动点的运动轨迹形成了圆，从而转化为与圆有关的最值问题，我们把这种类型称为最值问题的隐形圆模型。这里对此进行探究，以找出它们共有的特征，总结出解题方法。

实际教学时，教师可先复习圆外一点到圆上的最长距离与最短距离的求解方法。

【复习】已知点P为圆O外一点， 则 P 到圆O 上一点的最小距离和最大距离为______。

解答：连PO并延长，分别交圆于点M′和M，则P到圆 O 上的最小距离和最大距离分别为PM′和PM。

【探究】如图，边BC为定值，它所对的角度数不变（也就是定长对定角），那么以BC为边能画出几个这样的角？

由圆周角定理可知，等弧所对的圆周角相等，能画出这样的角有无数个，查看这些顶点A经过的轨迹，得出定长对定角，角的顶点A运动轨迹在以定长BC为弦的圆上。

由此可以得出结论：定长对定角，则定角顶点（动点）的运动轨迹是以定长为弦的圆。如上题ΔABC中，点A的运动轨迹是以BC为弦的圆。

再引导学生尝试用这个知识点来解决动点与最值问题。

例1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最大值为多少？

【分析】AB=4，∠AEB＝90°定长对定角，动点E的运动轨迹是以AB为弦的圆。求CE的最大值，就转化成了求圆外一点到圆上的最长距离。

【解答】解：∵∠AEB＝90°，

∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直径，

∴OE＝2，

在Rt△OBC中，OC=[OB2+BC2]=[22+62]=2[10]，

∴连接CO并延长，交⊙O于点E′，则CE′为最大值，

∴CE′＝OE+OC＝2+2[10]，

∴CE的最大值＝2+2[10]．

【小结】找出隐形圆，把求线段的最大值转换成求圆外一点到圆上的最长距离来解题。

例2.    如图，边长为 3 的等边ΔABC ， D、E 分别为边 BC、AC 上的點，且∠AP B = 120?， AD、BE交于 P 点，求CP 的最小值为______ 。

【分析】 本题和例1共同点都是定长对定角，所以动点P的运动轨迹也是圆。它们的区别，在于本题中∠APB不是直角，所以定长AB也不是直径。点P的运动轨迹是以AB为弦，包含120°的圆周角的弧。连接OC交⊙O于N，这样就转化成求圆外一点到圆上的最短距离，当点P运动到N点时，CP的值最小。

【解答】解：由垂径定理可知，圆心O在弦AB的垂直平分线上，如图，

∵∠APB＝120°，

∴点P的运动轨迹是在以O为圆心，OA为半径的弧上运动，

此时∠AOB＝120°，∠AOC=[12] ∠AOB= 60°      OA=[3]，

∵∠ACO＝[12] ∠ACB= 30°

∴∠OAC＝90°

∴OC＝2OA＝2[3]，

连接OC交⊙O于N，当点P运动到与N重合时，CP的值最小，

最小值＝OC-ON＝2[3]-[3]=[3]．

故答案为：[3]。

【小结】定长对定角，可以找出动点的运动轨迹即隐形圆。如果定角不是直角，那么定长就只是圆的弦，需要在弦的垂直平分线是确定圆心。

【方法总结】定长对定角，那么定角顶点（动点）的运动轨迹是以定长为弦的圆，找出隐形圆后，转化成圆外一点到圆上的最长距离与最短距离来求线段的最值。