基于EJM 测量的量子隐形传态的探讨

余明星，纪豪森，丁 东

（华北科技学院，北京东燕郊 065201）

0 引言

量子纠缠［1，2］是量子力学中重要的物理资源，在量子计算和量子信息的诸多应用中起着关键性作用，比如，利用量子纠缠可以降低计算复杂度［3］，探究量子非定域性［4，5］，实现超密编码［6，7］、量子密钥分发［8］、量子隐形传态［9-12］等。 量子隐形传态是一种重要的量子通信方式，基于量子纠缠信道和经典通信，通信双方中的发送方可在不发送量子态的情况下将未知量子态传送给信息接收方。 一般地，在量子隐形传态过程中人们通常考虑应用标准的Bell 态测量（Bell State Measurement，BSM），是一种常见的两量子比特联合测量方法。

2019 年，Gisin 提出了一种新型的两量子比特联合测量方法，量子优雅联合测量［13］（Elegant Joint Measurement，EJM），是传统BSM 测量的推广。 本文考虑在量子隐形传态方案中引入EJM测量，计算θ＝0 和θ＝π／2 两种情况下，信息接收方用于恢复待传送未知量子态所需要的演化矩阵，探讨将EJM 测量应用于传统的量子隐形传态方案的可行性。

1 EJM 量子联合测量

EJM 是物理学家Gisin 等人［13，14］最近提出的一种两量子比特联合测量，也称作对称联合测量。考虑正四面体的四个顶点：

定义单量子比特态

进而，构建两量子比特态

经计算，有

更一般地，通过引入一个角参数θ，Tavakoli等人［14］构建了一组含参两比特基态

2 基于EJM 的量子隐形传态

一般地，量子隐形传态过程包含信息发送方Alice 和信息接收方Bob，双方共享一个量子纠缠对。 假设，Alice 需要向Bob 传送一个单比特量子态，且Alice 并不知道这个量子态的确切状态，即未知量子态。 量子隐形传态过程包括三个环节，首先是Alice 对未知量子态和自己拥有的纠缠对中的一个粒子进行联合BSM 测量［10］；接着，通过经典信道通知Bob 自己的测量结果；最后，Bob 根据Alice 的测量结果对自己手中的粒子（纠缠对中的另一个）采用适当的操作，得到要传送的未知量子态。

接下来，我们考虑把EJM 联合测量［14-16］应用于量子隐形传态过程，探讨基于EJM 联合测量过程进行量子隐形传态的可能性。

假设，信息发送方Alice 需要向信息接收方Bob 传送的未知单量子比特态

其中，复系数α和β满足。 通信双方Alice 和Bob 共享一对纠缠态

为了便于表述，这里将Alice 的两个粒子作为量子系统的第1 和第2 个粒子，将Bob 的粒子作为量子系统的第3 个粒子，其中粒子1 为要传送的未知量子态。 于是，复合量子系统的初始状态为

我们在EJM 测量基下，对Alice 的两个粒子作联合测量，可能得到以下四种结果。

接着，通过经典信道Alice 通知Bob 自己的测量结果，Bob 根据Alice 的测量结果对粒子3 进行适当的量子操作，进而得到要传送的未知量子态。 为简单起见，我们这里重点讨论具有代表性的θ＝0 和θ＝π／2 两种情况。

2.1 θ＝0 时的隐形传态

Bob 在知道Alice 的测量结果后，需要采用适当的量子操作来恢复出未知量子态（15）式。 我们这里假设该量子操作为预期的量子演化结果表示为

通过计算，得到

同理可得θ＝0 情况下其他三种测量结果分别对应的量子操作，见表1。

表1 θ＝0 时四种测量结果对应的变换矩阵

2.2 θ＝π／2 时的隐形传态

经过计算，我们得到

同理，我们计算θ＝π／2 的其他三种测量结果所对应的变换矩阵，结果见表2。

表2 θ＝π／2 时四种测量结果对应的变换矩阵

2.3 对变换矩阵幺正性的探讨

接下来，我们检验EJM 测量中θ＝0 和θ＝π／2两种典型情况下Bob 恢复待传送未知量子态所需要进行的量子操作的幺正性。 量子算符的幺正性是量子力学中的重要概念，通常用于刻画一个封闭量子系统的演化。 当一个线性算符U满足条件：U†U＝UU†＝I时，被称为幺正算符，否则为非幺正算符，其中U†是算符U的共轭转置，I为单位矩阵。 幺正算符作用于量子系统后，量子系统内积保持不变，这是幺正算符的一个重要性质。

对于θ＝0 情况，通过计算，结果为，i＝1，2，3，4，即四种测量结果对应的变换矩阵都是非幺正矩阵。 对于θ＝π／2 情况，通过计算，得到，i＝1，2，3，4，满足幺正性。

封闭量子系统的演化遵从幺正演化，幺正演化可以通过常见的量子门实现，而非幺正变换矩阵一般需要设计包含测量在内的量子线路实现［17］。 所以，在量子隐形传态过程中引入EJM测量的结果是信息接收方Bob 需要引入实现非幺正门的量子线路来实现未知量子态的传送。

3 结论

（1） 基于EJM 测量进行量子隐形传态具有可行性。 相比于传统的基于BSM 测量的量子隐形传态过程，一般情况下，引入EJM 测量的结果使得信息接收方Bob 需要应用非幺正量子线路才能恢复出信息发送方Alice 所要传送的未知量子态。

（2） EJM 测量中，当θ＝π／2 时，Bob 恢复要传送的未知量子态需要的量子操作是幺正操作，与传统的基于BSM 测量的量子隐形传态过程中需要的量子操作在一个简单的幺正变换下等价。这也进一步证实了文献［14］的结果，对于θ＝π／2情况EJM 测量等价于传统的BSM 测量，两者之间相差一个幺正变换。