“小”中见“大”，以问题串破解核心问题——对“圆柱表面积和体积综合练习”的设计思考

江苏南京市樱花小学（210042） 林 超 张爱莉

笔者在习题讲评、专题练习等教学中，围绕核心概念设计有序变化的问题串，让学生根据题干中的线索提示，经历“观察思考（出现困惑）—实践探究（动手操作）—对比反思（提炼总结）”的数学活动过程，从而以板块化的形式推进课堂练习的教学。下面以“圆柱表面积和体积综合练习”为例，呈现具体做法（如图1）。

图1

此项作业是在教学完圆柱的表面积和体积后，为帮助学生及时将新知从碎片化转化成结构化，形成统一的“知识体”，而在课堂教学中进行的综合提升练习。考虑到学生已基于实物探究了圆柱的基本特征，基于迁移探究了圆柱表面积的计算方法，基于类比推导了圆柱的体积计算公式，为促进学生思维层级的跃迁，使学生突破知识边界，笔者依据本次练习的核心问题“分析圆柱切割前后图形的联系，如形状、表面积、体积等的变化情况”设计了“问题串教学结构链”（如图2），并按照“用适当的方法加工圆柱，并依据这些方法解决与之相关的表面积和体积问题”的设计思路，整理出如图1所示的4个相互关联的问题，并以“问题联动”的方式构建问题串，帮助学生寻找到方法解决圆柱切割之后，与表面积和体积的有关问题。

图2

一、练习设计显整体，于“瞻前顾后”中点燃思维火花

教学实践证明，许多复杂的数学题之间其实是相通的，都是从源于教材的某一道例题或习题中衍生变化而来的。故笔者认为，在设计练习中的“问题串”时，可以通过对教材中一道典型例题的关键知识点（核心问题）进行适当的拓展，衍生出既可以是从属关系，也可以是并列关系，还可以是层级关系的子问题，让学生在例题的有序变化中发现这些问题的变化规律，体会变化中的不变，从而找到该系列问题的根本解决办法。同时，在设计过程中需把握数学学科知识的基本结构及学生的具体学情，从而对问题串进行整体布局，发挥其伙伴学习的功能，彰显伙伴学习的价值。

以“圆柱表面积和体积综合练习”中的问题1为例，本题是对苏教版教材六年级下册第14 页的一道练习问题的再思考（如图3）。根据以往的经验，这道题及其所代表的这一类题是练习中的“常客”，但在这类作业题中，学生还是会出现不理解切割方法、找不到圆柱变化前后的特征、不清楚增加面的个数和形状等情况，这暴露了教学设计存在的问题，若不深究这些概念的细节、存在的关联、可能的变化及变化之后的表象，学生的疑惑将不断增大。

图3

另外，设计的练习也不宜以题论题，应设法引导学生串联思考，使他们做出更明智的判断和行动。因此，笔者在设计问题时直接从例题出发，在保持原题的主要条件基本不改变的前提下，去掉个别条件，继续演绎、深化、探究本题可能产生的新结论，使之衍生出一组能体现新、旧题目的已知条件和结论之间的内在联系，使学生能从整体上掌握知识和解题方法的系列问题，即形成以问题1 为代表的问题串。

在问题1 的反馈中，关于第一小问“可以怎样切”，学生都能找到3 种切法，并能根据提示作图。但不同学生的空间素养和作图基础不尽相同，因此所作之图与表述的清晰程度各有高低：有的只画出了切割线，有的画出了切割后的立体图形，有的不仅表意清楚还能图文并茂（如图4）。

图4

关于第二小问“切法特点”的作答，有的学生只描述了切法和切后的份数，如：这些切法有的是横着切的，有的是竖着切的，有的是斜着切的；都能把圆柱平均分成大小相等的两份。以上描述没能挖掘出圆柱加工后隐藏的特征信息。

有的学生描述了体积和表面积的变化情况，如：对于三种切法，圆柱的体积都不变，表面积都是增加了两个完全相等的面。还有的学生描述了切割后立体图形的形状、截面的形状和个数，如：都平均分成了体积相等的两份，但是切出来的形状不同，第一种方法切出来每份都是一个圆柱，表面积增加的是两个直径为10 分米的圆的面积；第二种方法切出来的每份是一个半圆柱，表面积增加的是两个长20分米、宽10分米的长方形的面积；第三种方法切出来的是两个不规则的立体图形，表面积增加的是两个椭圆的面积。部分学生能根据画出的示意图，用文字条理清晰地描述图形变化前后的本质特征。

由此可知，并不是每个学生都能很好地抓住问题的重点与关键，或是能上升到应有的高度。张齐华老师指出，问题应该是模糊的，是学生一眼看不到底的，需要不断开掘和延展，过程中可能会引发新的问题与思考，问题与问题之间会碰撞，横向与纵向之间会勾连。在这里，整个问题串的开篇——问题1 的设计便是通过改变已知条件及需求解的结论，对问题进行了模糊处理，引导学生进行思考与探究，并通过2 个小问层层递进，使学生更加注意这类问题，从而从整体上把握此类知识。

二、练习设计显层次，于“多元融通”中探查思维高度

要想提升学生的思维能力、抽象概括能力，教师可以多元融通教学方式，设计在逻辑上有特定联系、在思维上层层递进的问题串，进而在练习中促进学生的个体思维在经验的支持下逐渐深入，群体思维在分享的碰撞下实现进步。

以“圆柱表面积和体积综合练习”中的问题2为例，这道题是对问题1 的拓展与延伸，考虑到学生在解决问题1 时出现的薄弱点，还需通过适当的变化，将未知条件转化成已知条件，从而解决问题。故教师有必要设计一系列提炼生活原型的知识串，将生活中有关分割的知识提取出来，分类之后反复建构、系统重组。设计时，笔者希望能引导学生搜寻与自己生活经验相似的知识储备，对已学的立体图形做一些能体现层次性的“加工”。从反馈（如图5）中可以发现，大多数学生选择的加工方式是“拼接”“缩短”和“削减”，少数学生想到了“叠加、叠减”。

图5

由此可知，数学学习确实是一个循序渐进的过程，教师所关注的不应只是如何帮助学生更好地掌握各种具体的解题策略，还应对学生的解题活动起到一定的启发和指导作用。从反馈中还可发现，学生习惯借助对生活原型的记忆或对实物的直观操作获得数学知识，若是设计的问题没有具体或可视化的载体，可以借问题1 的作图之利，再次把抽象的思维化为有形的图，以图助思，扶梯而上。同时，交流共享反馈中所出示的四种加工方式，“拼接”和“缩短”以学生独立思考、自由回答、师生交流为主，“削减”以学生独立思考、主动表达、师生交流（教师选择性参与）为主，“叠加、叠减”以伙伴学习、教师评价为主。在这个环节的教学活动中，学生在问题串的驱动下反复进行数学化的思考和想象的内化，促进思维向深处蔓延。

在后续的成果共享中，学生互相启发，在“切割”“拼接”“缩短”“削减”“叠加、叠减”之外，还找到了“倒水”、“锻造”及“卷一卷”等有数学意义的加工方式（如图6）。问题研究至此，学生可以根据自己对加工方式的理解串联其他相关的问题，还可以根据自己对知识的把握深度寻找生活中可以解决的问题，进而推动思维进程、提升思维质量，将“通过适当的问题引导学生深入进行思考”这一思想更好地贯穿于“问题串”设计的全过程中。

图6

三、练习设计显针对，于“系统思辨”中完善思维体系

在问题2 的反馈中，笔者参与了组间交流，获取了学生在确定加工方式后，对示意图的绘制产生的各种想法，如：加工得到的形体将由几个面组成？各有几个什么形状的平面图形？有没有曲面？曲面切下来应该是什么图形？各个形状之间的长度有什么关系？画的时候，哪些线条、截面是对应的？这些基于直观分析生成的问题都具有自身的教学作用及价值导向，教师若能有意识地贯穿于后续的“问题串”中，或能确保整体设计意图的达成。由此，练习单上的问题3和问题4便自然形成。

具体来说，练习在设计初期应清楚地点明核心问题，而且也应在全部的练习过程中不断重复、强化核心问题，其间可根据练习情况适时调整问题串，即有一个对核心问题逐步明朗与不断深化的调适过程，包括对子问题的必要调整及适当纠错。这样的思辨可使问题串更具有针对性，使学生自然地理解核心问题，逐步完善思维体系。

在问题3 的反馈中，笔者发现有个别学生因为自己只画了一条切割线，就认为只增加了一个面，理解出现偏差，这体现了其空间想象能力的薄弱。其余学生会选择自己熟悉的截面进行面积计算，但也出现了忽略不同切法导致截面与增加的面积也不同的情况，继而只选择计算增加的长方形面积或圆形面积。再看问题4，圆柱切割后可能被分成两个小圆柱或两个半圆柱，多数学生选择计算熟悉的圆柱表面积，而对于不熟悉的半圆柱，部分学生没有算上长方形截面的面积。针对此种问题，笔者引导学生通过比对正确图示与错误图示，帮助学生深入理解题意。

回顾问题1 至问题4，如果由教师直接抛出教材上的例题或是改编题，对学生而言都是突然且刻意的，因为学生对新问题的重建和认知是渐进的过程，若是缺少自主内化作为表层理解勾连深层理解的内力，那么学生的思维体系是不完整的。如在图形加工环节，当学生面对“加工方式有什么不同？不同在哪？图形加工前后又有什么联系？什么变了？什么没变？”等问题时，教师可引导学生围绕“相同”与“不同”、“变”与“不变”进行观察比较，紧扣核心问题，抓牢基本原理。同时，郑毓信教授指出：只有通过深入地揭示隐藏在具体数学知识内容背后的思维方法，我们才能真正做到将数学课讲活、讲懂、讲深。实现这样的目标，不仅需要教师展现“活生生的”数学研究工作，学生的自主内化也是其中不可缺少的一环，能最大限度地发挥“问题串”的教学价值。基于上述认识，笔者建构出“问题串逻辑结构链”的基本样态（如图7），以期构建成一条完整的数学学习思维链。

图7

综上所述，问题串的设计应考虑学生已有的认知基础、思维习惯和学习水平，并基于对核心问题的理解，关注学生学习的差异性及多种学习倾向，最终明晰构建高度组织化和结构化的知识体系才是设计的目的。因此，在设计问题串时不仅需要合理设置疑难，于帮扶中激励学生循着问题阶梯逐步提升，还需通过个体经验与群体经验的互启互鉴，使个体思维与群体思维互助，为实现数学学习的整体性架构充分发挥其应有功能。