素养导向下数量关系主题教学的实践探索——以“常见的数量关系”为例

南京师范大学附属小学（210018） 王 倩

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）指出，数学是研究数量关系和空间形式的科学。数量关系是运用数与符号对现实问题中的数量之间的关系、性质或规律的表达，是解决问题的核心。在素养导向的新课程改革背景下，数量关系的教学又承载着怎样的育人价值？可以通过何种教学路径达成学生素养的提升呢？

一、作为教学任务的数量关系

（一）数量关系主题的编排特点

《课程标准》以“结构化整合”的方式，将“常见的数量关系”“式与方程”“正比例”“反比例”“探索规律”以及“运用四则运算解决问题”等内容统整为“数量关系主题”。该主题的编排呈现如下两个显著特征。

第一，由零散到结构。通过以数量关系为主线的结构化重组，将原本零散的教学内容进行整合，并根据学生的认知逻辑将其分为三个学习阶段（如图1）。第一学段注重对四则运算意义的学习，第二学段着重建立模型并提炼数量关系，第三学段则着眼于用字母表示关系或规律。其中，“建立模型”阶段起着关键作用，这一阶段既是对前一学段运算学习经验的总结和概括，也为进一步形成一般化表达和发展代数思维奠定了基础。

图1 数量关系的三个学习阶段

第二，由内隐到外显。通过结构化的学习内容安排，原本以隐含形式存在的数量关系得以明确呈现，且学习过程更加完备。以数量关系作为教学任务，能更加突出数学模型在解决现实问题中的重要性，并与抽象和推理能力相关联，促进学生数学素养的全面提升。

（二）常见的数量关系是该主题的关键内容

如前所述，“常见的数量关系”学习是对一、二年级积累的运算学习经验进行总结和归纳，同时也是后续代数思维形成的基础，因此在数量关系主题学习中扮演着承前启后的关键角色。《课程标准》保留了2011 版已有的乘法模型“路程=速度×时间”“总价=单价×数量”，并增加了加法模型“总量=分量+分量”。这两类模型可以通过变式形成减法和除法模型（见表1）。在小学数学中，大多数问题都可以运用上述三个数量关系及其变式或组合进行分析和解决。

表1 常见数量关系模型及其变式

加法数量关系具有统摄性。原先的“合并型”“移入型”“增加型”等加法模型，以及“剩余型”“比较型”“减少型”等减法模型都被“总量=分量+分量”所包含。此外，加法数量关系还具有丰富的内涵，例如分量可以是多个，相同的量在不同的情境下可以是分量或总量等。除此之外，原有的乘法模型如“多个相同数的和”“面积计算”“倍数”“组合”等，以及除法模型如“平均分”“比率”等，都可以借助四则运算之间的关系构建以加法为核心的整体内容结构。这不仅显著减少了学生的记忆负担，还培养了学生的结构化数学思维，促进了学生对数学简洁美的体悟。

乘法数量关系有两种模型。这两种模型的共同点在于等号左边的变量与等号右边的变量成比例关系，但其差异在于“总量=单价×数量”与物体的个数有关，可以看作是一种特殊的加法模型，物体的数量在本质上是一个系数；而“路程=速度×时间”与物理量有关，描述的是三个或多个变量之间的比例关系。因此，教师在教学中需要引导学生体悟乘法模型中量纲的意义，促进学生对模型内涵的理解。

二、数量关系的内涵及育人价值

（一）数量关系的内涵

根据文献研究，数量在现实问题中是一种客观存在，任何事物都具有数量属性。这些数量属性可以分为广延量和强度量两种类型。广延量是可以直接度量的量，例如长度、高度等；强度量则是无法直接度量的量，如速度、温度等。数则是通过度量产生的结果，是用来描述量的语言工具。数量之间存在着多种关系，包括大小关系、顺序关系、相等关系、不等关系、包含关系等，其中相等关系和不等关系是数量关系的主要表现形式。小学阶段主要探讨相等关系。

因此，数量关系是学生在头脑中构建的关于量之间关系的结构，通过定量运算的方式呈现。数的运算与数量关系密切相关。如图2 所示，运算在现实问题中反映了数量关系，如加法表示两个数量的合并，而运算的结果以定量的方式实现了问题的解决。在解决问题时，数量关系是核心，它是数学和现实世界之间的桥梁。

图2 数的运算与数量等之间的关系

（二）数量关系的育人价值

数量关系的学习使学生能够以定量的方式认识和理解世界。它不仅是解决问题的有效方法，更是理性思维的一种体现，有助于学生深刻认识问题本质。

从儿童学习的过程来看，数量关系学习的核心是建构模型。在学生首次建构模型的阶段，常见的数量关系学习起到了关键的作用。数学模型的建构不应仅仅是一个以模型为目标的刚性要求，而应是一个灵活的过程，要从问题情境中提炼数学要素、确定关键元素、发现关键元素之间的关联，并逐步做出数学表达。在这个过程中，数学语言是不可或缺的组成部分，而抽象和推理能力的支持也是不可或缺的（如图3）。

图3 数量关系学习过程

因此，常见的数量关系教学可以以一种完整的方式支持儿童数学素养的全面提升。在数量关系的教学中，应该注重关系的发现，在对生活问题的逐层抽象中完成问题的数学化，培养学生的数学眼光；注重的关系理解，以运算能力和推理意识为底色，发展学生的数学思维；注重关系的应用，以数学的方式认识和描述真实世界，深化学生的数学语言。

三、用数量关系涵养学生数学素养的实践路径

（一）发现数量关系：培养数学的眼光

在构建加法和乘法的数量关系时，应该以学生已有的利用四则运算解决问题的经验为基础。因此，教学的第一步可以提供一组有关联但形式不同的情境，以激活学生的经验。通过这个过程，学生可以发现纷繁复杂的世界中蕴含着内在的规律，从而培养学生的数学眼光。在接下来的明确关系阶段，学生需要尝试借助符号和图示来自主表征，运用符号来表示数量、关系和一般规律，从而发展符号意识。此外，通过几何直观的方式来理解问题的本质和明确思维路径，也有助于学生发展几何直观能力。

1.广素材供给，达成关系感知

以加法数量关系为例，在教学的初始阶段，教师可以基于学生的生活现实，结合参观天文台的情境，选择丰富的数学素材来支持教学（如图4）。这些数学素材涵盖了不同的加法类型，丰富了学生对加法数量关系的感知，为后续提取共性和建构模型提供了丰富的资源。学生在自主解决这些问题的过程中，初步发现了其中的共性，提取了加法数量关系的逻辑雏形。这为后续学生逐步剥离具体情境，通过对比分析来接近数学本质提供了经验支持。

图4 教学素材

2.关键量突破，促进要素识别

对于乘法数量关系，要特别关注高度抽象的关键概念——速度。速度作为一个强度量，是人为创造的，表达的是路程与时间的比例关系。在情境中理解速度这一关键概念，有助于学生识别关系中的关键要素。

在教学中，可以以“推荐谁参加短跑比赛”为驱动性问题，引导学生通过讨论明确“当路程一定时，时间短的就是跑得快；当时间一定时，路程长的就是跑得快”的结论，进一步引出速度的概念，让学生意识到速度与路程和时间之间的关系。接着，在展示运动场景“第一位同学以恒定的速度跑完50 米，耗时10 秒；第二位同学跑步时开始速度较快，后来速度逐渐减慢，也是用10 秒跑完50 米”后，提出问题：“全程谁的速度快？”通过观察运动过程，学生获得了最直接的“速度感”，速度作为度量工具的价值变得明显，速度与路程和时间的关系也更加清晰。

3.多层级抽象，明确关系内核

纵观发现数量关系的过程，学生需要抓住共性，且经历三个层次的抽象过程（如图5）。

图5

以乘法数量关系为例。首先，基于具体情境和乘法学习的已有经验，学生在自主分析和解决问题的过程中形成了对模型的儿童化表征（如图6-1、6-2）。

图6-1

其次，基于对数量关系式的观察，学生在解决问题的过程中提取出多个数量关系式（如图7），并在观察、交流中分析这类问题的共同之处，获得“速度”“时间”“路程”及这三个量之间的关系。

图7

最后，绘制线段图（如图8），利用几何直观促进学生深化理解，明确乘法数量关系的内核。

图8

（二）理解数量关系：发展数学的思维

学生是否能够理解数量关系，取决于他们是否能够在头脑中通过识别关联量的概念来建立关系网络。教师应该鼓励学生学会讲道理，进行有条理的思考和表达，这些都是推理意识发展的重要方面。此外，在将数量关系推广到变式形式和从加法模型推演到其他模型的过程中，要抓住四则运算之间的联系，使学生能够更好地理解数量关系的普遍性，发展他们的数学思维。

1.向内求索，打通模型内在联系

通过向内求索，可以深化对数量关系各部分之间的理解。例如，对于乘法数量关系，可以设置一个“火车提速”的情境（如图9）。在这个情境中，学生能够感受到随着时代的变迁，返乡所需时间缩短，火车速度提升，从而体验乘法数量关系中蕴含的函数关系。此外，在真实的场景中，学生能够主动运用乘法数量关系来分别求解时间和速度，并完成了由“路程=速度×时间”到“速度=路程÷时间”“时间=路程÷速度”的过程。这进一步打通了模型中各部分之间的内在关联。

图9 “火车提速”的情境

2.逆向推理，沟通模型外部关联

在数量关系中，加法是四则运算的基础，也是构建数学知识的基石。以加法数量关系为根基，可以通过“逆推”的思想进一步延展出减法；抓住乘法数量关系，也可以推理出除法。以加法数量关系的学习为例，学生通过自主表征逐步理解了加法数量关系的内涵之后，就可以借助模型直接推导分量和总量之间的关系。教师可以先通过问题“求总量我们可以用加法，那如果求分量，该怎么办呢？”引导学生推理出“分量=总量－分量”；再引导学生回归现实素材，将加法问题改编为求分量的两类减法问题（如图10-1）；最后，让学生尝试自主举例（如图10-2），通过逆向推理进一步拓展模型之外的关联。

图10-1 教学素材

（三）应用数量关系：深化数学的语言

在应用环节中，可以采用多样的形式来促进学生对数量关系的深入理解。这样可以让他们感受到数量关系的统摄价值和普适价值，体会数学表达的高度凝练和千变万化，培养他们主动运用数量关系解决问题的意识，进一步提升他们的模型意识和应用意识。此外，利用数量关系来发现问题、制订决策方案、寻求合理的问题解决策略等，也是学生发展应用意识的关键；通过探索自然现象或现实情境中所蕴含的规律，完整地经历数学的“再发现”过程，也有助于学生提高创新意识。

1.感知模型普适性，回望生活场域

在数量关系模型初步建立之后，可以通过问题“能举出一两个例子来说明今天学习的数量关系在生活中的应用吗？”引导学生重新观察生活，这样可以激发学生重新审视生活中的素材。例如，学生学习了“路程=速度×时间”之后，可能会想到“在体育比赛中常常会用到路程、速度和时间的概念”或者“跑步应用程序中会显示路程、速度和时间。可以根据其中的任意两个信息求出第三个信息”。通过这样的思考，学生可意识到现实生活中有许多问题都与数学有关，可以用数学的概念和方法来解释生活世界。

2.体会应用灵活性，再探真实世界

数量关系源于现实生活，是对现实生活中存在规律的高度概括。以乘法数量关系的学习为例，学生可以在真实的生活场景中进行“出行规划”（如图11 所示）。学生可以利用乘法数量关系计算出理论上的出发时间，同时在讨论中明确“实际情况中往往需要提前出行，以留出足够的时间”。通过这样的探索，学生能够清楚地认识到数学可以解决生活中的问题，但也需要结合实际情况做出决策。这样的教学可以帮助学生更好地理解数学与生活的联系，并培养学生将数学概念应用到实际问题解决中的能力。

图11 学生的“出行规划”

3.激发思维创造性，解决跨域问题

数量关系的学习应该帮助学生感受数学与其他学科之间的关系，通过跨学科的应用激发学生的创新能力，培养学生的理性思维。以乘法数量关系为例，“数读古诗”（如图12）可以引导学生从数量关系的视角去品读古诗《早发白帝城》，发现其中蕴含的数量关系，并尝试提出和解决问题。学生发现古诗中的一句“千里江陵一日还”涉及速度、时间和路程的关系，提出“李白去千里之外的江陵，坐船一天就能到达吗？”的问题。通过计算，学生可以求出当时的船速，并且提出现代中国渔船的航行速度也只有大约20 千米/小时，所以古代的船速是不可能这么快的。至此，学生体会到这首古诗中李白运用了夸张的修辞手法，以表达归心似箭的心情。

图12 “数读古诗”素材

《课程标准》颁布时间不长，如何进一步明确数量关系教学所蕴含的数学核心素养，如何进一步在核心素养导向下优化数量关系教学的路径，如何进一步在数量关系这一与现实生活关系密切的学习内容中探索综合化、跨域性的学习方式，都值得探索！