教学即“讲理”：一致性理解的“培根”行动

南京师范大学附属小学（210018） 江晓丽

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《课程标准》）指出：“数与运算”包括整数、小数和分数的认识及其四则运算。数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联。学生经历由数量到数的形成过程，理解和掌握数的概念；经历算理和算法的探索过程，理解算理，掌握算法；初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识；感悟数的运算以及运算之间的关系，体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和推理意识。

为什么《课程标准》如此强调“一致性”呢？这是因为在教学中出现了很多“前后不一致”的事情。以数的运算教学为例，一些教师会教学生按照一套程序化的步骤操作，然后在大量的甚至是每日必做的重复训练中让学生去将这套程序熟练到“自动化”。这套程序是什么呢？在教学整数加减法时让学生记住要“末位对齐”，到了小数加减法时又变成了要“小数点对齐”，再到整数和小数乘法时又要“末位对齐”，到了分数乘法时又要“分子乘分子，分母乘分母”……今天学习这个内容方法是这样的，明天学习另一个内容方法又不一样了。运算教学就这样一个一个例题散点教、一道道习题重复做。这种断裂式的、碎片化的学习样态，给数学运算蒙上了一层变幻莫测的面纱，给学生留下了机械、乏味的体验，阻碍了学生对数学运算甚至是数学学科的理解和亲近。

郭华教授在《教学的模样》一书中指出：“教学论史上探索的一条清楚的线索就是：从夸美纽斯时代关注外在知识如何被学生所掌握的外在形式的探索，逐渐转向探索教学认识的内在机制，即如何才能使学生理解和掌握知识的内在原理、本质联系，强调以科学的、人性的、多样而开放的方式展开教学活动，即以‘讲理’的方式来讲‘理’。”如何在教学中引导学生从复杂多变的“法”走向一脉相承的“理”，笔者进行了深入探讨。

一、意义理解：从“外形各异”到“内在一致”

“数的意义是数的运算的基础，数的运算是对数的意义的再认识。”小学阶段的数学学习从整数开始，然后逐渐引入小数和分数的概念，这些不同的数在表示方式上存在差异。小数使用小数点，而分数由分子、分母和分数线三部分组成，它们与整数的表示方式有很大的不同。如何帮助学生从“外形各异”的数形态走向“内在一致”的理解是一个重要的教学任务。教师在教学不同数的意义的过程中，可以通过数形结合、逻辑推理等方式来帮助学生理解“每一个数都是由若干个计数单位累加而成”这个本质。

（一）紧扣单位：掌握整数计数方法

在教学一年级“认识11 到20”时，可以用动画的形式引入一段数学史，向学生介绍数字的起源和发展，并告诉学生，由于人们在生活中需要计数，所以发明了“满十进一”，从而出现了数字10，从此数字由“逐一计数”走向了“按群计数”；同时借助捆小棒和计数器介绍了11的组成（如图1），即“1个十和1 个一合起来是11”。学生通过看、读和写，第一次感受到数是由“个数+计数单位”共同构成的。

图1

教学二年级下册“万以内数的认识”时，可以借助几何直观和逻辑推理帮助学生进一步感受到“整数相邻计数单位的进率是10”这一“十进位值制”的基本特征。教学四年级上册“大数的认识”时，可以引导学生根据已经学习过“万以内数的认识”的经验，通过自主推理，从“个级”推导出“万级”“亿级”的各个数位和相应的计数单位。这样的教学过程可以帮助学生建立起整数数位的概念，学生能够初步理解一个整数是由若干个计数单位累加而成的。在实际教学中，一些学生可能会自主推理出“如果从一开始继续往下细分，就会出现小数”，由此自主建构出联通整数和小数的数位顺序表。

（二）自主迁移：理解计数方法的一致性

在三年级开始学习分数时，无论是从书写形式还是意义上，很多学生都会感觉分数与整数相比有很大的差异，且很难感受到分数的计数单位，其中有两个主要原因。

首先，中文翻译对于分数的表达可能没有英文表达方式那么直观和清晰。比如，中文表达的“五分之二”与英文表达的“two fifths”相比，有一定的差异。为了帮助学生更深刻地理解分数的意义，可以在教学中引入图形直观化的方法，同时主动介绍分数的英文表示方法。这样可以帮助学生深入理解每一个分数都是由若干个分数单位累加而成，从而体会到整数和分数计数方法的一致性。

如何帮助学生清晰地感受到整数、分数和小数在计数方法上的一致性呢？笔者引入了数轴：如图2 所示，下面直线上的点各表示什么数？在括号里写上适当的数（上面的括号写小数）。

图2

二、法理融通：从“方法各异”到“本质求同”

形成数的概念基于计数单位的一致性理解后，在整数、小数和分数的加减法运算中，学生就能比较容易体会到“整数加减法中相同数位对齐”“小数加减法中小数点对齐”“异分母分数加减法要先转化成同分母分数再相加减”这些看似不同方法背后的“相同计数单位相加减”的原理。但在进入分数乘法时，外在形式的“分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母”与计数单位似乎不那么容易建立起联系了。教学中需要教师有意识地沟通联系，引导学生在类比中形成一致性理解。

下面以“分数与整数相乘”为例，介绍如何有意识地引导学生通过横向关联，在不同方法的对比中发现分数与整数相乘运算的本质；通过纵向衔接，从整数、小数和分数运算的共性中感受乘法运算的本质。

（一）横向关联，感受不同方法背后的道理一致

小研究和学习单上常常会出现“你能用不同方法解决吗？”这样的问题，旨在促进学生“求异”，即追求方法的“多元”。 而“每一个学生都渴望自己成为知识的发现者”，因此学生会努力探索出几种方法，并愿意与小组或全班分享自己与众不同的方法。在这种交流过程中，学生通常更关注方法的多样性，而不太关注不同方法背后的联系。在教学中，教师需要适时地叫停、聚焦和放大，引导学生的思维和表达逐步清晰、精准，帮助他们透过形式去感悟本质。当学生分享不同的解决方法时，教师可以提出一些问题，引导学生思考方法之间的联系和共性。

图3

学生在得出方法后，很少会主动思考这几种方法之间是否有联系。此时，教师可追问：“这几种方法看起来都不太一样，有没有什么联系呢？”用“联系”的眼光重新审视这几种方法后，学生给出了新的解读：

“它们都用了转化的策略，把这道乘法题转化成我们以前所学过的方法。比如把乘法转化成加法，把分数转化成小数。”

一个适时的追问，引导学生主动探寻不同方法背后的一致性。学生在比较中发现“看似不同的方法其实都是在求有‘有多少个’”，从而理解分数与整数相乘的本质就是求“有多少个分数单位”。

疏通了算理，还需明确算法。教师可再次追问：“在这么多种方法中，究竟哪种方法更有普适性或者说一般性呢？”学生提出了“加法列式烦琐”“有些分数不能转化成有限小数”“画图方法能够帮助直观理解算理，但是当数据较大、平均分的份数较多时比较麻烦”等顾虑。在对话和思辨中，学生深刻体会到“分母不变，分子与整数相乘的积作分子”这一算法的一般性。随后，教师在示范计算过程时，引导学生再次借助画图的策略阐明了算法背后的算理：“分母不变”，即分数单位不变，都是；“分子与整数相乘的积作分子”，算的是分数单位的个数，即有9个至此，真正实现了法理融通。

（二）纵向衔接：领会不同学段背后的目标一致

【教学片段2】教师出示4 道乘法算式（如图4-1），并提出问题：“这4 道算式有什么联系吗？”学生发现：计算30×3 时是先算3×3=9，然后添上一个0得到90；计算0.3×3 时也是先算3×3=9，有9 个0.1，所以是0.9；计算× 3 时是先算3×3=9，有9 个，所以等于

图4-1

教师肯定学生善于观察和比较后，追问：“题目虽然不同，但都是先算3×3=9，这是为什么？”随着学生的回答，教师出示图4-2：“不论是整数乘法、小数乘法还是分数乘法，都是在算有多少个计数单位。”

最后，教师给出一幅韦恩图（如图5），把分数与整数相乘以及整个乘法运算的关系变得清晰可见，一目了然。

图5

通过纵向衔接，学生在回顾和比较中发现不同学段学习的乘法运算本质上的一致性，即都是在求“有多少个计数单位”，从而形成结构化认知。

三、关系领悟：从“情境多元”到“关系一致”

数与代数领域在小学阶段包括“数与运算”和“数量关系”两个主题。关于“数量关系”，《课程标准》指出，要让“学生经历在具体情境中运用数量关系解决问题的过程，感悟加法模型和乘法模型的意义”。因此，教师要创设丰富的问题情境，促进学生在比较、思辨中领悟多元情境背后数量关系的一致性，体会模型的统摄价值。

（一）万物皆可：在思辨中回归意义的深度理解

【教学片段3】教师舍去了常规的运算练习，设计了一组由三道判断题和一道开放题组成的解决问题练习：

经过一段时间的思考后，学生给出了如下解答：

……

“我觉得万物皆可用这个式子来表达，只要它的本质是求3 个的，不论什么情境都可以用这个算式来计算。”

一个开放的问题情境，一个开放的对话场域，就能带来精彩的思维碰撞。一句“万物皆可用这个式子来表达”，充分表现出学生对于不同问题情境中乘法意义的深刻理解。

（二）变与不变：在比较中体会模型的统摄价值

【教学片段4】对于“总量=分量+分量”这一加法数量关系，教师引导学生经历多个“合并型”情境。为了帮助学生体会这个数量关系的更多外延，感受到“模型”的普适性，教师设计了一道开放性练习（如图6）。

图6

在全班交流时，“选择①和⑥，35+4=39（人）”的答案很快被认可。对于“选择②和④，10×3+9=39（人）”，有学生质疑：“这是一个乘法和加法的混合运算，能填进空格里吗？”很快，学生明白了等式左边的乘法运算表示“前三组的人数”，也可以看成一个分量填在空格里。在此基础上，有学生提出了“那还有别的可能，比如可以选择③和⑤，但还需要补充一些条件，因为三（1）班的同学除了参加舞蹈组和体育组，还有可能参加了别的兴趣小组。”至此，学生关于分量的认识，从外在形式的“两个”走向了本质理解的“多个”。在交流中，学生还自主补充了知识点“多个分量之间要做到‘不重不漏’，才能合成总量”。

在这样一个为总量“三（1）班有多少人？”寻找分量的开放性情境中，学生实现了对乘加法的再度理解，以及对各分量不重不漏的“总分关系”的严谨认识。学生对于加法模型的认识逐渐饱满，并体会到加法模型的统摄价值，震撼于数学表达的变与不变。