韦恩图：助力学生数学核心素养慢慢生长

南京师范大学附属小学（210018） 潘 越

韦恩图是数学中一种重视逻辑性的图示工具，对于整理数学概念体系和区分易混淆概念起着重要作用。教材引入了韦恩图（如图1）来呈现加法模型，学生能通过韦恩图建立加法模型，并且能够在不同情境中应用该模型解决问题。那韦恩图是否可以作为学生理解概念的有效工具，从而促进学生核心素养的发展？学生如何才能熟练运用韦恩图？笔者对此进行了研究。

图1

一、韦恩图及其教学价值

（一）韦恩图的定义

韦恩图是一种通过封闭曲线直观地表示集合及其关系的图形。英国逻辑学家韦恩采用固定位置的交叉环形式及阴影来表示逻辑问题。在数学中，韦恩图经常被用来表示集合或集合间的关系。在小学数学中，常见的韦恩图有以下几种类型（如图2）。

图2

韦恩图兼具抽象与形象的双重性质，能很好地体现数形结合的思想，它不是几何学中的某一种图形，而是一种把集合中的元素都包围在圈内的直观表示。因此，韦恩图与封闭曲线的形状、大小均无关，但考虑到数学的美感，通常会画成圆形或者椭圆形。

（二）韦恩图的主要功能

韦恩图强调逻辑性，能够直观地体现事物与事物之间的关系。它具备以下三个主要功能。

1.分类解析

作为数形结合思想在小学教材中的应用，韦恩图能帮助学生对数学对象进行直观有效的分类，以及理解整体与部分、部分与部分之间的关系。

2.形象推理

数学是一门研究“关系”的学问，常常需要通过逻辑推理进行抽象的思维活动。韦恩图可以将隐秘的逻辑关系直观展现出来，帮助学生厘清线索，合理规划推理的步骤。

3.语言转译

利用韦恩图可以清晰地说明两个事物之间的关系，同时可以将更多的概念整合在一起，降低了学生理解和表达的难度。

（三）韦恩图助力学生开展数学认知活动

韦恩图的三个功能够助力学生数学认知活动的开展。韦恩图可以直观地呈现不同概念之间的关系，为发展学生的几何直观提供支持。在辨析韦恩图的过程中，学生要通过分析和推理，从中抽象出研究对象的特性和共性，有助于发展推理意识。韦恩图也可以建立不同的模型，为学生提供工具性的支持，使他们能够个性化地表达自己的思想（如图3）。

图3

二、韦恩图在教学中的实践应用

韦恩图在概念的理解和表达中具有独特的优势，它能够形象直观地表达易混淆概念之间的逻辑关系。然而，学生对韦恩图的使用需要经过一定的学习和实践。在教学中，教师可以引导学生经历“识图—用图—构图”的过程，真正帮助他们学会使用韦恩图。

（一）识图：与韦恩图相识

1.借助已有经验认识韦恩图

教材没有编排韦恩图的内容，但学生在低年级时就已经积累了一些用图示或文字表示关系的经验。学生遇到韦恩图时，就会将他们已有的经验与之对接。例如，在学习加法数量关系时，学生会尝试使用图示来表示加法模型（如图4）。

图4

师：能说说哪个图形是表示总量或分量的吗？

生1：①号作品里的是大圆，②号作品里的是括线内的。

生2：两个分量就是每个作品中较小的图形。

师：对！③号作品很接近韦恩图的表征形式。什么形状的图形都可以，只是数学中更习惯用圆形或椭圆形来构建韦恩图。

一些学生在用韦恩图表示加法模型时可能会受到具体问题情境中数据大小的影响，认为两个分量不应该平均分配。对此，教师要引导学生理解集合圈中图形面积的大小和子集数量的多少并没有直接的对应关系。同时，也要帮助学生理解“尽管图示中只画出了两个分量，但韦恩图同样可以表示多个分量”的情况。这样可以进一步让学生感受到韦恩图的抽象性和概括性。

2.利用韦恩图呈现从属关系

当下小学教材中包含了许多涉及从属关系的概念，这也是学生在学习概念时最容易混淆的。例如，当学生学习“长方形和正方形”时，他们可能会注意到这两者之间的紧密联系，但往往忽略它们之间的区别。在教学中，教师可以引导学生思考如何用韦恩图表示长方形和正方形之间的关系。

师：正方形和长方形谁更特殊？

生1：正方形更特殊，因为它的四条边都相等，这与长方形不同。

生2：正方形有一些特征类似于长方形，但也有区别，两个集合圈有交叉。

生3：那交叉的部分表示什么？

师：是否存在一个既是长方形又是正方形的图形？

生4：不可能，因为正方形已经包含了长方形的所有特征，所以正方形也是长方形。

生5：也就是说，正方形应该被看作是一个小集合圈，被长方形的大集合圈所包含（出示图5）。

图5

小学数学中还有一些类似于“等边三角形是特殊的等腰三角形”“整除是除尽的一种特例”等概念，使用韦恩图（如图6-1、图6-2）也可以直观地表示这些概念之间的关系。环状韦恩图有助于学生直观地理解“从属”关系，即大概念反映的是共性，小概念反映的是个性。这样的理解可以帮助学生在未来学习新的概念时进行迁移。

图6-1

3.使用韦恩图进行分类梳理

在小学数学中常常借助分类来丰富一个概念的外延和内涵，分类解析是韦恩图的一个重要功能，它能直观有效地体现对数学对象的分类。例如，学生在学习三角形的过程中，将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形后，并使用韦恩图（如图7）来表示。这样的图示既能清晰地展示分类的结果，又能帮助学生理解分类思想，即按照一个标准对一类事物进行分类时，所分出的不同部分之间互不交叉，并且合在一起应等于原来的集合。

图7

（二）用图：与韦恩图相知

1.在比较中进行辨析

在学生理解韦恩图中表示两个集合包含关系或交叉关系的含义后，教师可以引导学生想象韦恩图并进行辨析。在比较、举例论证之后，学生能够建立符合逻辑的韦恩图，并能够解释图中不同区域表示的含义，进而思考现实世界的问题。

例如，在学生学习三角形按角的分类后，笔者利用问题“把所有三角形看作一个整体，锐角、直角和钝角三角形都是这个整体的一部分，它们之间的关系可以怎样表示呢？”引导学生用文字或者图示来展示自己的想法。学生作品如图8所示。

图8

师：请说说你对这些作品的看法。

生1：这些作品都能体现三角形按角分有三类。

生2：②号作品中，三个圆环相交的部分代表什么？一个三角形可以既是锐角三角形又是直角三角形，还是钝角三角形吗？

生3：三种三角形之间不应该有交叉，就像③号作品一样。

生4：从③号作品的大集合圈中去除三个小圆环后，剩下的图形表示什么？

生5：三种类型已经涵盖了所有的三角形，所以应该填满大集合圈（出示图9）。

图9

生6：④号作品实际上就是一幅韦恩图，只是用大三角形来表示集合圈。

2.在追问中合理推理

在学习三角形的分类时，除了按角分类，学生还学习了按边分类。对于等腰三角形和等边三角形，教师可以引导学生借助韦恩图来明确它们之间的关系。

师：三角形按边分是不是就像按角分一样，将三角形的大集合一分为二？

生1：不是，这两类三角形没有覆盖所有的三角形，只是比较特殊的情况。

生2：而且它们不是并列关系，而是从属关系。

生3：三角形按边分应该有两类，一类是一般三角形，一类是等腰三角形，而等腰三角形中又包含了特殊的等边三角形。（出示图10）

图10

借助韦恩图可以推理得到这两种三角形属于从属概念。通过教师的不断追问，学生发现，按边分除这两类外还有一般三角形，这样才能覆盖三角形集合。经过这样的辨析过程，学生可以进一步感悟到韦恩图是具有强逻辑性的一种图示，并在辨析中逐步积累自主构建韦恩图的经验与方法。

3.在连续思考中丰富内涵

既然按角和边都可以对三角形进行分类，教师还可以顺势引导学生思考两种分类方法之间有什么样的联系，是否可以将这两幅韦恩图叠在一起，叠在一起后是否就是对类别数量的简单累加？

师：按角分可以分成三类，按边分可以分成两类，合并的话是不是就是分成五类？

生1：两种分类方法的标准不同，不能只简单累计。

生2：这两种分法是有共性的，都对三角形完整的集合进行了分类，可以进行叠加。

师：从哪个角度先建立联系呢？

生3：我们可以先按角分类，构建出完整的三角形集合，然后将等腰和等边三角形添加进去。

生4：等边三角形肯定在锐角三角形的区域。

生5：等腰三角形有可能出现在多个区域，它是大环中的一个小环，而等边三角形则是这个小环中更小的环，且只能落在锐角三角形区域中。（出示图11）

图11

师：非常好的观点！这个问题引发了我们对分类方法的思考和辨析。按角和按边分类方法虽然都可以合理区分三角形，但在重叠和类别数量方面，它们并不是简单的累加关系。

再如学生学习了“因数和倍数”的单元后，知道非0自然数按照是否为2的倍数可以分为奇数和偶数，用韦恩图表示如图12-1 所示；按照因数的个数也可以分为质数、合数和1，也可以用图12-2表示。两个韦恩图合并后还可以产生新的图示（如图12-3），从中不难看出质数有可能是奇数，也有可能是偶数，从而丰富了学生对数的理解。

图12-1

连续思考可以帮助学生将各知识点联系起来，为学生更加清晰地进行推理提供工具性的支持，培养学生的推理意识，发展学生的核心素养。

（三）构图：与韦恩图相惜

1.鼓励学生自主绘图

在学生学习和理解韦恩图后，教师可以鼓励他们绘制韦恩图，并将其应用到不同的学习领域中。这样可以培养学生的应用意识，并使学生在创作中发挥创造性，灵活地表达现实世界。

在学生学习了加法模型后，笔者开展了“乘法数量关系”的教学：从具体的情境出发，引导学生在解决真实问题的过程中归纳出“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”等乘法数量关系。随后，笔者引导学生思考如何用图示来表示这些乘法数量关系。图13 展示了一个学生个性化地构建乘法数量关系图示的过程。

图13

通过图示的驱动，学生对从份数有限到份数无限、从每份量不同到每份量相同，再到长方形面积的计算的乘法数量关系有了深刻的理解。

2.按序画图形成结构

韦恩图的特点是各部分之间没有严格的界限，它更强调集合中一类事物的增长和渐变，各部分互相重叠、互相包容。韦恩图可以呈现知识层次，帮助学生梳理单元甚至小学阶段的知识体系，促进学生核心素养的发展。

比如，在六年级对“数”的板块进行整体复习时，教师可以将数的相关概念建立起联系，引导学生建构模型。

师：我们在小学阶段学习了哪些数呢？

生1：整数、负数、分数、小数，还有百分数。

师：如何按照数的含义对数进行分类？

生2：可以先用韦恩图将分数和小数表示出来，然后将它们放到“数”的集合中。

生3：另外，分数也分正分数和负分数，我们所研究的真分数和假分数都属于正分数。

生4：还有整数和0，需要分开。

生5：整数与分数、百分数、小数之间虽然能相互转换，但在含义上它们之间并没有交集。

生6：按照数的含义来分类，可以先分别绘制整数及分数的韦恩图，再将其放至数的集合圈中（如图14），从而建立起数的模型。

图14

……

3.组合使用个性表达

比如，在复习“图形与几何”板块时，可以将平面图形和立体图形放在图形的集合全圈中（如图15），从而建立起图形的模型。

图15

韦恩图可以帮助学生理解数学的系统性。根据不同的分类方式，韦恩图的呈现形式也会相应改变。在建立板块之间的联系时，教师要鼓励学生将韦恩图与列表、树状图、金字塔图等图示工具结合使用，以发展学生的模型思维。

韦恩图强调逻辑性，同时能够直观地展示概念之间的关系，因此被引入小学教材中。然而，并不是所有的关系都适合使用韦恩图表示。面对数学知识体系，教师要在构图之前明确构图的目的，通过不断辨析加强学生的数学思维，真正推动他们核心素养发展。