中考数学不同题型解题思路初探——以浙江省杭州市中考数学试题为例

⦿ 浙江省杭州市拱宸中学 沈 程

中考是初中学生的第一次人生大考,其重要性不言而喻.在分秒必争的考场上,要想快速、准确地答好题,取得满意的成绩,除了要具备扎实的基础知识外,还要选择合理的解题途径,掌握一些行之有效的答题方法与技巧.为此,笔者从选择题、填空题和解答题这三种题型入手,以2022年浙江省杭州市的部分中考试题为例,对中考数学常见的解题思路进行了分析探究,供大家参考.

1 选择题常见的答题思路与技巧

选择题在各地市的中考试题中数量多(10题左右)、分值高(30分左右),在中考中占有十分重要的地位.因此,要想在中考中发挥好就必须要答好选择题.解答选择题不外乎“直接求解”与“间接解决”两种思路,具体的答题方法有直接法、验证法、排除法、数形结合法等.下面以验证排除法为例进行分析探究.

验证排除法,即根据已知条件,把分析或计算得出的结果与各选择支逐一验证、排除,即可选出符合题意的答案.

例1(2022·浙江省杭州市中考第5题)如图1,CD⊥AB于点D,已知∠ABC是钝角,则( ).

图1

A.线段CD是△ABC的AC边上的高线

B.线段CD是△ABC的AB边上的高线

C.线段AD是△ABC的BC边上的高线

D.线段AD是△ABC的AC边上的高线

解析：因为线段CD是△ABC的AB边上的高线,所以A选项错误,B选项正确.

因为线段AD是△ACD的CD边上的高线,所以C,D选项错误.

故应选:B.

思路与技巧：本题考查了对三角形高线定义的准确理解,熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键.解答过程充分展示了理解概念、验证、排除、数形结合等多种方法综合运用的技巧.

2 填空题常见的答题思路与技巧

与选择题相比,填空题缺少选择支的信息,与解答题相似.虽然不需要解答过程,但解答过程的每一步都要保证准确,一步失误就会导致全题零分,所以难度较大.但由于填空题常用来考查基本概念、基本运算,大多能在课本中找到原型或背景,所以解题的思路可以参照选择题与解答题,在“观察、理解、分析、转化”思想的指导下,根据填空题题干的具体要求,分析隐含条件,谨慎作答.下面以数形结合法为例,进行分析探究.

数形结合法适用于具有明显几何特征的填空题.借助图形进行直观分析,再辅以简单运算即可得出正确答案.

例2(2022·浙江省杭州市中考模拟冲刺试题第16题)在等腰直角三角形ABC中,已知∠ABC=90°,P是△ABC内一点,使PA=11,PB=6,PC=7,则边AC的长为______．

解析：如图2,将△CPB绕点B逆时针旋转90°得△AEB,连接PE.因为△CPB≌△AEB,所以AE=CP=7,BE=BP=6,∠EBP=90°.所以∠BEP=∠BPE=45°.

图2

思路与技巧：本题考查了解直角三角形问题,解题的技巧表现在根据题意作图,将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来,“以形助数”“数形结合”,解题过程中灵活运用了勾股定理.

3 解答题常见的答题思路与技巧

数学中考的三种题型中,解答题的题量虽然比不上选择题与填空题,但其主要由综合问题组成,包括计算题、证明题和应用题等,占分比重与难度最大,得分率与失分率也最高,所以熟练掌握答题技巧显得尤为重要.

答题时,要从已知条件出发,仔细审题,在全面、准确理解题意,深挖其隐含条件的基础上,运用有关数学知识进行推理、演算或证明,最后达到所要求的目标;同时要将整个解答过程条理清晰、完整、逻辑严密地陈述清楚.

3.1 构造函数法

函数类综合题在解答题中属于高频考点,解答这类问题的基本思路是,根据问题的条件,通过构造函数,将问题转化为函数性质的研究,也是一种常用的解题方法.

例3(2022·浙江省杭州市中考第22题)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.

(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴;

(2)若函数y1的表达式可写成y1=2(x-h)2-2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.

(2)由题意,得y1=2x2-4hx+2h2-2.

因为y1=2x2+bx+c,则b=-4h,c=2h2-2,所以b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4,当h=1时,b+c取得最小值-4.

思路与技巧：本题考查了待定系数法、二次函数的最值与对称性,要求熟练掌握二次函数的最值,对称性是解题的关键.其中第(1)问只需要利用待定系数法计算即可;第(2)问根据等式的性质,构造b+c关于h的二次函数,即可求出b+c的最值.

3.2 转化法

这里的转化法是指运用“数形结合”思想,把几何问题转化为代数问题(或把代数问题转化为几何问题)来解决.这是一种应用广泛且有效的间接解题思路.

例4(2022·浙江省杭州育才中学模拟卷第21题)如图3,在长方形ABCD中,DC=5 cm,在DC上存在一点E,沿直线AE把△AED折叠,使点D恰好落在BC边上,设此点为F,若△ABF的面积为30 cm2,求折叠的△ADE的面积.

图3

解析：设DE=x,由S△ABF=30,AB=5,得BF=12.

由图形翻折,可知△ADE≌△AFE,所以AF=AD=13,EF=x,则FC=1,EC=5-x.

由勾股定理得x2=(5-x)2+12,解得x=2.6(cm).

思路与技巧：本题主要考查轴对称的基本性质、勾股定理、全等三角形等.把几何问题转化为代数问题(解方程)是解决此类题型的主要思路.图形折叠后,需要从折叠中分析出全等形才能充分利用已知条件,而要列出含有未知数的方程,关键技巧就在于能否找到等量关系.

3.3 分类讨论法

有些数学运算,由于未知数的变化会导致出现不同的结果,因此需要对未知数进行分类讨论,才能保证解题的完整.

例5(2022·浙江省杭州东南中学模拟卷第17题)解方程x2+|x+1|-1=0.

解析：(1)当x+1≥0,即x≥-1时,原方程可化为x2+x+1-1=0,即x2+x=0,解得x1=0,x2=-1.

(2)当x+1<0,即x<-1时,原方程可化为x2-(x+1)-1=0,即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.因为x<-1,所以x1=-1.

综上所述,原方程的解是x1=0或x2=-1.

思路与技巧：本题考查绝对值方程的解法.解答这类问题的思路是把含有绝对值的方程转化为一般方程,即去掉绝对值符号,将其变为不含绝对值符号的方程再求解.因此,根据绝对值的定义,以x+1≥0与x+1<0为标准进行分类讨论,最后要注意验根.

上文中结合实例对中考数学的选择题、填空题和解答题进行了初步探讨,总结了一些常用的解题思路与方法.不同的题型有着不同的答题技巧,当然,这些答题技巧并不是独立存在的,它们大多是无形地渗透在各类题型的各个解题环节中,凭借这些技巧可以帮助考生适当减少思考与答题的时间,提高准确率.但是,真正有效的答题方法与技巧是建立在扎实的数学基本功之上的,这要靠学生在平时的学习中多练习、勤思考、善总结.因此,教师在教学中要花更多的精力与时间去夯实学生的基础,引导学生勤奋学习,刻苦钻研,不断提高;切不可舍本逐末,单纯地把学会几招临场技巧当做提高中考成绩的救命稻草.