例谈求数列和的两种方法

数列求和问题通常会侧重于考查同学们运用等差数列和等比数列的通项公式、前n项求和公式等知识的熟练程度.这类问题对同学们的逻辑推理和运算能力有较高的要求.下面主要谈一谈数列求和的两种方法：错位相减法、分组求和法.

一、错位相减法

错位相减法一般适用于求形如[{bncn}]的数列的前n项和，其中[{bn}]是等差数列，[{cn}]是等比数列.若等比数列[{cn}]的公比[q]=1，则[{bncn}]为等差数列，可以直接根据等差数列的前n项和公式来求和.若等比数列[{cn}]的公比[q≠1]，则运用错位相减法求数列的前n项和，一般有以下几个步骤：

第一步，写出[Sn]的表达式：[Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bncn]；

第二步，将上式的左右两边同时乘以公比q，可得[qSn=b1c2+b2c3+…+bn-1cn+bncn+1]；

例1.已知数列[{an}]满足[a1=2，log2an+1=log2an+1.]

（1）求数列[{an}]的通项公式；

（2）求[{（3n-1）an}]的前n项和[Sn].

解：（1）在数列[{an}]中，[a1=2，log2an+1=log2an+1]，

即数列[{an}]是首项为2，公比为2的等比数列，故[an=2n（n∈N*）].

（2）由（1）可得[3n-1an=（3n-1）∙2n]，

则[Sn=2×2+5×22+8×23+…+3n-4∙2n-1+（3n-1）∙2n]，

于是[2Sn=2×22+5×23+…+3n-7∙2n-1+3n-4∙2n+（3n-1）∙2n+1]，

[=-8+2n+1∙（4-3n）]，

所以[{（3n-1）an}]的前n项和[Sn=8+2n+1∙（3n-4）].

数列[{（3n-1）an}]的通项公式为[（3n-1）∙2n]，其中[3n-1]为等差数列，[2n]为等比数列，所以可以利用错位相减法来求和.在作差时，要将q的指数幂相同的项相减，以快速构造出等比数列，将问题转化为等比数列求和问题.

二、分组求和法

分组求和法是一种非常重要的数列求和方法.这种方法一般适用于如下两种情形：（1）数列的通项公式为分段式，如数列奇偶项的通项公式不同、数列的通项公式中含有绝对值；（2）数列的通项公式为等差数列、等比数列、常数列的和差.在解题时，要仔细观察数列的通项公式或者各项，将其进行合理的拆分、重组，使其为简单的等差数列、等比数列、常数列，这样便于计算、求和.

错位相减法和分组求和法是求数列前n项和的两种常用方法，其适用情形有所不同，同学们需注意辨别.在求数列的前n项和时，要先明确数列通项公式的结构特征，对其进行合理的拆分、变形，使其为等差与等比数列的和、差、积、倍数.这样便能化难为易，将问题转化为简单的等差数列和等比数列的前n项和问题来求解，就能达到事半功倍的效果.