基于学科核心素养的三角形全等的判定教学设计

《义务教育数学课程标准（2022年版）》将数学课程要培养的学生核心素养概括为“三会”：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.要想达到基于核心素养教学的基本要求，核心素养就要体现在教学设计的方方面面，如教学目标的制定、教学环节中的巧思、优质问题的设计等.“全等三角形”在中学数学占据较大的比重，以全等三角形的“角边角”判定为例进行教学设计，其中蕴含着深刻的价值可供教师发掘.

1 立足核心素养，明确教学目标

基于学科核心素养的教学设计，首先应该以发展和实现学生的数学核心素养为导向来制定教学目标，同时围绕“四基”“四能”的外在表现来确定.在喻平教授撰写的《核心素养指向的数学教学目标设计》的启发下，笔者设计了如下符合初中数学核心素养的“三角形全等的判定（ASA）”的教学目标，如表1：

2 把握核心素养，做好前期准备

本节内容是继全等三角形的概念和性质以及两种判定方法“边边边”“边角边”之后的又一全新判别内容，同时为后续的几何证明奠定基础，具有承前启后的地位.该阶段的学生具有较强的观察能力、操作能力和猜想能力，已经具有独立探索、合作交流的习惯和基本的数学活动经验.学生的思维能力、推理能力正处于关键的上升期，但学生的思维广阔性、灵活性、缜密性有所欠缺.本节的教学重点在于理解“角边角”判定定理，并能利用它判定两个三角形全等；教学难点则是引导学生发现“角边角”这一判定三角形全等的定理并灵活运用到具体问题的解决中.

3 重视核心素养，融入过程设计

3.1 情境直达，趣味联动

问题1最近你们的音乐老师王老师跟我透露，为了让音乐课更加丰富多彩，提升同学们的音乐素养，她将带领你们学习一种新的乐器：三角铁.因此学校要购进一批三角铁，为了保证统一性，要求每一批三角铁的规格必须一致.当然，三角铁的音质会由专业音乐老师来检查把关，王老师托我帮一个忙，先从外形上保证这些三角铁是一模一样的.

追问1：如果将这些三角铁抽象成同学们熟悉的三角形的话，那就是三角形全等的问题吗？

追问2：怎么确定这些三角形全等呢？

师生活动：教师展示三角铁的实物图（图1），学生欣赏图片并思考问题.

设计意图：创设问题情境、培养问题意识，是提升数学学科核心素养的基础.将“三角铁”抽象为三角形，发现新问题，感悟“用数学的眼光观察现实世界”的意义，培养抽象能力.通过问题1建立数学与其他学科之间的联系，提高学生的学习兴趣和求知欲，顺利引出新课.

问题2请同学们一起回顾，我们前两节课学习的判定三角形全等的定理都有哪些呢？

追问1：它们可以用来解决今天的问题吗？

几位细心的同学发现，三角铁有一个小小的缺口，有两条边和一个角是不完整的，所以不能用“边边边”和“边角边”来判定，否则可能会出现误差.

追问2：我们发现三角铁有两个角和它们的夹边是完整的，那么在只知道两个角和它们的夹边对应相等的情况下，可以证明两个三角形全等吗？

师生活动：教师引导学生回顾前面所学的知识，提出新问题;学生回顾之前的判定，思考问题.

设计意图：基于建构主义学习理论的基本观点，教学要促进学生的知识建构活动，如果原有的知识经验不能解决新的问题，这样就自然引出了新的知识.培养学生探究意识，为提升核心素养创造机会.

3.2 动手操作，探究新知

问题3按照前两节课探究“边边边”和“边角边”的方式，继续请每个组的组长任意画出一个△ABC，组员利用手中的圆规、直尺再画一个△A′B′C′，根据我们今天要探究的对象三角形的两角及其夹边，要使得A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B，把画好的三角形剪下进行对比，两个三角形会重合吗？

师生活动：教师示范尺规作图具体步骤.学生观察，模仿练习.

设计意图：在前面探究“边边边”“边角边”的基础上，学生已经基本具备了尺规作图的意识和能力，但操作过程中所蕴含的方法和技巧仍需教师来引导并示范，教师要高屋建瓴揭示数学本质，明晰作图背后深藏的数学原理.通过小组合作、观察模仿，学生积累了尺规作图的数学活动经验，可为之后探究新的几何知识、解决几何问题奠定基础.

得出结论：通过动手实验发现，两个三角形重合，由探究可以得到“两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）”这一基本事实，用它可以判定两个三角形全等.

问题4类比前两节课总结的“判定全等三步法”，用几何语言表述今天的判定方法，请同学们尝试自主完成.

师生活动：教师总结并板书，规范书写步骤，强调易忽略的部分和注意事项.学生认真记录.

设计意图：尺规作图和最后的知识总结都类比前两节课的探究过程，教师引导之后为学生提供思考和总结的空间，创设让学生自主探究的机会，培养学生思维并锻炼其能力.

3.3 牛刀小试，应用新知

两道基础题型作为巩固训练，此处省略，只展示第三道综合性题目.

例如图2，点B，C，D在一条直线上，点A，C，E在一条直线上，C是线段BD的中点，且AB∥DE，求证：△ABC≌△EDC

分析：通过线段平行找到对应角相等是解本题的关键.根据两直线平行内错角相等，可得∠A=∠E，∠B=∠D；还有一个隐含条件对顶角相等，即∠ACB=∠ECD；结合C是线段BD的中点可得BC=CD.相等的角有很多，学生选择哪些条件证明△ABC≌△EDC也是本题的关键.

选择两位学生的解题步骤进行展示：

学生一的解题步骤：

证明：∵AB∥DE，

∴∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）.

∵C是BD的中点，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已证），BC=CD（已证），∠ACB=∠ECD（对顶角相等），

∴△ABC≌△EDC（ASA）.

学生二的解题步骤：

证明：∵AB∥DE，

∴∠A=∠E，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等）.

∵C是BD的中点，

∴BC=DC.

∵在△ABC和△EDC中，

∠B=∠D（已证），∠A=∠E（已证），BC=DC（已证），

∴△ABC≌△EDC.

追问1：第二位同学的证明方法正确吗？（学生对这个证明产生了争议.）

追问2：有人说这位同学的证明不符合我们今天的“角边角”的判定条件，但是老师认为这个方法是正确的，为什么呢？我们下节课再来揭晓.

师生活动：教师引导，准确示范解题过程并强调细节，学生记录并总结方法.教师布置课下思考题——利用第二位同学选择的三个条件，即∠A=∠E，∠B=∠D，BC=DC，能否证明△ABC≌△EDC？

设计意图：一题多解，产生争议，引发学生思考和讨论，深化对“角边角”判定的理解和应用，同时为下节课的“角角边”判定埋下伏笔.发展学生质疑问难的批判思维和实事求是的科学态度.

3.4 回望历史，重现新知

问题5请同学们仔细阅读泰勒斯测量遇难轮船距离的故事，交流讨论，在泰勒斯的测量方法中，蕴含了怎样的数学原理，并试着用数学语言描述.

分析：如图3，在海边灯塔上进行测量，直立一根可以原地转动的竖杆EF（垂直于地面），在其上点A处为测量工具.首先将测量工具指向遇难轮船B，然后旋转测量工具指向沙滩地面某点C，根据“角边角”的判定方法，可以得到两个三角形全等，则CD=BD.在沙滩上测得C，D间的距离，即可得到遇难轮船到海岸的距离.

师生活动：教师展示泰勒斯的故事，引导学生发现问题；学生联系所学知识思考问题.

设计意图：通过再现历史中的问题情境，巩固新知识，感悟“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”，培养模型观念和应用意识.

4 教学反思

基于学科核心素养的教学设计，最重要的是在教学目标的制定上要明确以核心素养为导向，在过程设计上要思考贯穿核心素养的策略.第一，目标前置.精读教材与课标，将如何促进目标的达成、评价目标是否达成等问题贯穿目标制定的全过程.第二，优质情境的创设.数学教学的情境创设要在保证真实性的基础上增加一些趣味性或艺术性，要能够充分吸引学生的注意力，也要发挥知识本身的内在价值.本文的情境创设将传统的“三角形玻璃碎片问题”改变为认识新的乐器“三角铁”，更具艺术性，“三角铁”的外形也更加符合三角形“角边角”的数学模型，体现了“会用数学的眼光观察现实世界”的核心素养.第三，优质问题设计.在新知识的应用环节，要让学生充分感悟“会用数学的思维思考现实世界”“会用数学的语言表达现实世界”.本文在例题的设置上，选择了一道一题多解的题目，引发了学生的激烈讨论，从中发展学生质疑问难的批判性思维，养成积极探索的学习习惯，设置悬念，为下一节课“角角边”的判定奠定基础，串联起本节课和下节课的内容.然后从数学史出发，通过历史故事的再现，学生从中受到启发，将思维转变到问题情境中，与历史上伟大的数学家进行穿越时空的对话.通过解决问题巩固所学知识，培养模型观念和应用意识，发展数学抽象、数学建模核心素养.