巧用逆向思维，提升初中数学教学效果

钱娟

在初中数学教学指导中，逆向思维的运用能够启发学生的思考，促使学生从新的角度去理解知识、解答问题，锻炼学生的思维能力。

逆向思维就是从与常规思维相反的方向去认识问题，从对立的角度去思考问题，寻求解题途径，解決问题的一种思想方法。新修订的义务教育数学课程标准对学生的学科核心素养发展提出了明确要求，强调要让学生“会用数学的思维思考现实世界”，基于此，在义务教育数学课程教学中引入逆向思维、提升学生的思维品质，则成为课程教学的重要任务。初中数学教材中体现逆向思维的材料很多，如概念、定义、定理、公式、法则、运算与逆运算、分析与综合等，这些都为逆向思维的渗透提供了丰富的素材，因此在课程改革背景下，教师应加强课堂建设，并引入逆向思维，以促进学生思维品质发展，提升学生数学核心素养。

一、设疑激思，在概念教学中运用逆向思维

数学概念是数学学科的基石，准确掌握数学概念是学生形成学科核心素养的前提。在初中阶段，数学教材中包含着许多内涵相反或互为关系的概念，例如有理数与无理数、正数与负数、整式方程与分式方程、等式与不等式、平行与相交等内涵相反的概念，以及互为倒数、互为相反数、互相平行等互为关系的概念。这些概念本身就是逆向思维的具体展现。因此，在初中数学课堂教学中，教师可以结合概念的含义来渗透逆向思维，促使学生迁移建构数学知识，并提升思维品质。

例如在“互为相反数”相关内容的课堂学习中，教师有意突出概念中的逆向思维，对学生进行如下指导：第一，链接知识，提出相反数的概念。学生在之前已经学过了数轴，并且对于数轴上数与点的对应关系有了一定的认识。教师基于此创设情境、设置疑问：请看课件数轴上，你能指出5和-5的点吗？学生准确找出5和-5的点后，教师继续提问：这两个点到原点的距离有什么关系？学生通过观察、分析很容易发现这两段距离相等，且关于原点对称。教师肯定了学生的回答后，继续延伸：在数轴上，你还能找出像5和-5这样关系的数吗？这样的数一共有多少对？学生通过举例和思考，认为这样的数有无数对，教师则根据学生的举例引出了“相反数”的概念。在这一环节教师从学生熟悉的知识入手，并从概念本身设问，让学生通过观察、思考、答疑，初步感知相反数的概念，进而体会互为相反数的两个数对中展现出的逆向思维。第二，示范举例，理解概念。教师利用数轴列举出7和-7、58和-58、10.5和-10.5、1/2和-1/2等不同的数对，让学生通过数形结合的方法再次重申互为相反数的两个数的特点，最后引导学生解读这些数对中包含的互为关系，并尝试运用思维的方法找到一个数的相反数。第三，变式训练，强化概念。教师为学生出示习题：（1）4的相反数是多少？19的相反数是多少？（2）-17是什么数的相反数？23和哪个数互为相反数？（3）设a表示一个数，它的相反数是多少？-a一定是负数吗？这些习题是对之前所学习内容的变式，其中（1）和（2）虽然提问的方法不同，但是其中包含的逆向思维却是相同的，其重点训练学生在数轴上运用逆向思维寻找一个数的相反数的能力；（3）的难度较大，需要学生对a的具体情况进行思考，即当a是正数和负数时，相反数是-a，当a是0时相反数就是它本身。当然，在这一问题中，教师也应提醒学生不要想当然地认为-a就一定是负数，而是应该从数轴上进行具体分析。在这一环节，教师通过习题引导学生巩固相反数的概念，体会其中的互为关系，同时在学生理解概念的同时锻炼其逆向思维能力。

综上，在互为关系的概念指导中，教师挖掘渗透概念中的逆向思维，有效奠定了学生数学知识基础，同时也提升了其思维品质。在初中数学课程教学中，教师应对学生需要掌握的数学概念有一个整体认识，理解概念之间包含的逆向思维，并有意识地进行引导，促使学生通过概念学习构建知识体系，同时从逆向思维的角度理解数学的本质。

二、引导探究，在命题教学中运用逆向思维

在数学学科中，命题涵盖了公式、法则、公理、定理等内容，而这些内容也是学生构建数学知识体系的核心。在初中阶段，教师需要引导学生了解、理解各种数学命题的题设与结论，能够根据一个命题推导出其逆命题，更能够对其进行判断和验证。从这一教学任务来看，教师有必要引入逆向思维，促使学生从正向、反向两个方面深入理解数学命题，进而在正逆交替中一探究竟，提高学习效果。

例如在“线段的垂直平分线的性质与判定”这部分教学指导中，由于学生刚刚学习了轴对称的性质，且对线段的垂直平分线有了初步的认识，所以教师在课堂上通过旧知识导入，并引导学生动手探究，探索原命题以及逆命题的表述和证明，以强化学生的逆向思维，提高数学学习效果。在课堂上教师对学生进行了如下指导：第一，复习旧知，引入课题。教师利用多媒体出示题目，引导学生复习对称轴相关知识，促使他们巩固旧知，同时引出垂直平分线的概念，为学生探究线段的垂直平分线的性质与判定做好准备。第二，主动探究，动手感悟。教师设计“我说你画”的活动，要求学生根据描述按步骤绘制出相应的图形：（1）任意画一条线段AB，利用尺规画出这条线段的垂直平分线。（2）在垂直平分线上任取一点C，连接CA，CB。（3）沿垂直平分线对折，绘出折线，并观察CA，CB的数量关系。在学生完成操作后，教师则适时提出问题：CA和CB呈现出怎样的数量关系？你能用一句话来描述刚刚观察得出的结论吗？在学生的观察、猜测和教师的启发指导下，“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”这一命题逐渐生成，教师则以此设计证明题：请验证“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”这一命题。为了促进学生突破难点，教师组织合作学习，并通过课堂巡视帮助学生完成证明，学生分别运用文字语言、图形语言和符号语言来表示命题。第三，设疑激思，再次探究。在学生证明并理解了上述命题后，教师继续引导：学习每个命题的时候我们都要探索它的逆命题是否也成立，这样有利于我们掌握性质定理，有助于我们进行思辨。既然如此，我们就来说一说“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题是什么？逆命题是否成立呢？面对问题，许多学生对于如何写出逆命题陷入了困惑，教师适时点拨，引导逆向思考，即分析、调换原命题的条件和结论，完成逆命题的表述。经过尝试、修改，学生逐渐形成了相对准确的描述：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。教师将原命题和逆命题以表格的方式展现在课件上，引导学生进一步梳理分析，深入认识二者之间的互逆关系。接下来则引导学生仿照原命题的证明方法来验证判断逆命题，并再次用文字语言、图形语言和符号语言进行表述。在这一环节，学生经历了从原命题到逆命题的过程，认识到了两个命题之间的互逆关系，同时在验证过程中也真切体会到了二者在思维上和运用上的差别，感受正向思维与逆向思维“思维路径”的不同，而这对于学生逆向思维的培养是十分有益的。最后，教师结合上述表格，指导学生进行梳理和归纳，在掌握命题的同时，深入理解其中的互逆关系。

综上，在命题教学指导中，教师结合原命题和逆命题之间的关系，引导学生实现从正向思维向逆向思维的过渡，让他们逐步打破了定势思维，从新的角度来理解和把握数学命题。

三、巩固拓展，在解题教学中运用逆向思维

在完成新知讲解后，教师通常会基于知识巩固的目的有计划、有针对性地设计一些练习题，并通过解题课进行讲解，以加深学生对所学知识、技能的理解和认识，及时纠正学生学习中的错误，促使学生联系旧知，完善知识体系，并提升认知结构。在初中数学解题中，逆向思维是一种十分常见的解题方法。教师在解题课上一方面要引导学生运用逆向思维突破框架，找到更加便捷有效的解题方法，另一方面还应加强逆向思维的渗透，促使学生理解旧新知识之间的关系，进而完善知识结构。

例如在“平行四边形的性质和判定”的解题课上，教师对学生进行如下指导：第一，启发回顾，梳理知识。教师利用多媒体课件展现思维导图，以此呈现导图中的關键词，即平行四边形的定义、性质、判定、平行线的距离以及三角形中位线定理，然后引导学生回顾所学，根据关键词进行解释。通过课堂互动，学生很快总结出这一阶段所学的重要知识点，并进行了较为准确的阐述。因为平行四边形的性质和判定这两部分内容在条件和结论上就存在一定的互逆性，且在证明题的运用中也是相辅相成。所以，教师在解题课上将平行四边形性质和判定进行一番对比，对于学生发现二者之间的关系、强化知识的理解和记忆、构建知识体系是十分必要的。同时平行四边形的性质和判定在运用过程中常常涉及思维互逆，这也能够为学生解题提供明确的思路，提升学生的思维能力。第二，典例剖析，强化训练。例如习题：E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明。这一题目综合考查了平行四边形的性质，题目要求学生先猜想后证明，这样的提问方式能够引导学生从问题进行逆向思考，即根据结论倒推证明过程，这是逆向思维的重要体现。根据本节课的知识以及对图形的观察，学生很容易猜想BE与DF是平行关系且长度相等。为了证明这一点，教师启发学生可以基于BE和DF作为对边构建图形，并通过确定这一图形为平行四边形来完成验证猜想。学生通过连接DE和BF两条辅助线，很快运用内错角相等的两条线平行等相关知识证明了BEDF为平行四边形，验证了猜想。学生完成猜想与验证后，教师及时总结，引导学生认识逆向思维，并学会用其解答问题。第三，变式训练，拓展提高。在讲解了典型例题后，教师还应进行变式训练，促使学生举一反三，深入掌握数学知识，提高灵活运用逆向思维解答问题的能力。根据上一例题，教师设计了变式1：已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、CB的延长线上，DF交AB于G，BE交CD于H，且∠E=∠F，求证：EH=FG。这一问题的条件虽然相较于原题做出了较大的改动，且考查内容也更加复杂，即融合了平行四边形的性质和判定定理，但是解题的思路却十分相似。教师启发学生运用逆向思维，从问题入手来寻找答案。最后学生通过做辅助线构建平行四边形，并结合三角形全等的知识完成了证明。教师在学生解题后继续出示变式2：已知O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F，求证：四边形AECF是平行四边形。在这一题目中教师启发学生根据平行四边形的性质和判定定理的互逆性进行分析，并从问题倒推证明过程，最终通过证明EF和AE平行且相等来解答问题。教师继续增加习题难度，突出逆向思维的训练。变式3：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，M、N分别ED、FB的中点。求证：四边形ENFM是平行四边形。教师将这一学习的主动权交给学生，让学生自主解答，并阐述其中运用的逆向思维。这样则可以帮助学生理清解题思路，培养逆向分析问题的能力，提升其运用所学解题的能力。第三，整理知识，归纳总结。教师针对学生在解题中出现的问题进行梳理，帮助学生归纳总结逆向思维运用中存在的误区，并探究方法规律，找到运用平行四边形性质和判定定理解决问题的关键，最后建构知识体系。

综上，在解题课上，教师根据数学知识内容有意识编排习题，对学生逆向思维进行针对性训练，可以巩固他们对知识的掌握，也可以提高其思维的灵活性。在解题指导中教师还应注意正、逆两种思维的转化，利用习题有意识地指导学生实现从正向思维过渡到逆向思维，以提升其思维的敏捷性，提高解答问题的能力。

总之，巧用逆向思维对于提升初中数学课堂教学效果有着重要的作用。上文结合初中数学课程的相关内容对如何在课堂上启发学生的逆向思维提出了几点建议，为相关研究提供了参考，但是其中依然存在诸多不足。所以在新课程标准逐步落实的过程中，教育工作者应进一步加强教研，围绕数学课程的特点进行探究，以更加有效的方式引入逆向思维，促进学生学科核心素养的发展。