一道希望联盟夏令营试题的一般性结论的研究

陕西省西安市高新第三中学(710075)吕二动

题目1(2022 年中国数学联盟夏令营试题) 已知∆ABC为锐角三角形,A,B,C为其三个内角, 则2 cotA+3 cotB+4 cotC的最小值为____.

笔者是第二次看到此题,与第一次看到的题目有所不同,只是把原来设定的非直角三角形改为锐角三角形.其解法没有本质变化,若将此问题的一般性结论的解法总结出来,会对读者有一定的帮助!

一、试题推广

题目1 的一般性结论已知x,y,z> 0, 且2(xy+yz+zx) >x2+y2+z2,A,B,C为其三个内角, 则xcotA+ycotB+zcotC的最小值为

二、类似题目

引理对于任意的实数x,y,z, 在∆ABC中, 有x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC.

证明因为A+B+C=π,所以

故x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC成立.

以下三个问题都根据引理求解,限于篇幅,留给有兴趣的读者.

1.已知a,b,c是正实数,且ab+bc+ca=1,对于任意的实数x,y,z有

2.设实数x,y,z, 且xyz> 0, 则在∆ABC中有.

3.设实数x,y,z,且xyz>0,则在∆ABC中有

本文给笔者的启示是: 数学问题要善于总结和思考,更需要数学爱好者静下来,沉下来,动起来.成功从来不是一蹴而就的,需要我们在不断地探索与实践中,深耕前行.只有不断探究,才能在数学研究这条道路上走的更长远.