构造对偶式解题研究

山东省寿光市实验中学(262700)徐静

在数学解题中有时候可以根据题目提供的已知信息中的某个数学式A 的结构特征,构造与该数学式结构相似的式子B(称B 为A 的对偶式),通过对A,B 这一组对偶式进行运算,从而消去多余的内容,使原问题得到解决,这种解题方法称为对偶式解题法.本文对构造对偶式解题进行研究,以期抛砖引玉.

1 构造对偶式策略研究

1.1 奇偶策略

奇偶策略适用于解决由整数构成的不等式证明问题,其核心是将原式中的数进行奇偶转换,从而构造出原式的对偶式,并借助于原式及其对偶式的关系解决问题.

评析本题利用奇偶策略, 通过构造M的对偶式, 并利用M,N之间的关系使原不等式得证,运算量更小,解题过程更简.

1.2 互余策略

互余策略用于解决由三角函数构成的数学问题,其核心是将原式中的角或函数换为其余角或余函数,从而构造出原式的对偶式,并借助于原式及其对偶式的关系解决问题.

例2求值: cos280◦+cos250◦+cos 80◦cos 40◦.

解令M= cos280◦+cos250◦+cos 80◦cos 40◦,N=sin280◦+sin250◦+sin 80◦sin 40◦,所以,M+N=2+cos 40◦,所以,,故.

评析本例利用互余策略,将原式中的三角函数换为其余函数,从而构造了原式的对偶式,利用两式的关系迅速求得原式的值.

1.3 和差策略

和差策略构造对偶式的常见类型为:M+N,M-N;;M2+N2,M2-N2等等.

例3已知a,b,c,d∈R,a2+b2+c2+d2≤1,

证明

证明令

评析本例利用和差策略,构造了原式的对偶式

利用两式的关系迅速证明了原不等式成立.

1.4 轮换策略

轮换策略是指在多项式或者数学式中的多项式部分对两个或两个以上的字母进行轮换或部分进行轮换.

例4已知a,b∈(1,+∞)证明:.

证明令对其分子进行轮换构造对偶式,则

即M≥N.又

所以,M≥8.

评析轮换策略有时是整体轮换有时是部分轮换,本例中只对分子进行轮换构造了对偶式,通过对互为对偶式的两式进行研究使原不等式得证.

1.5 定值策略

定值策略是指构造对偶式后,互为对偶式的两式之间通过运算可以出现定值.

例5已知,求值:

解构造f(x) 的对偶式, 显然,.所以,

评析对偶式的出现,使问题的求解过程大大简化.

1.6 倒序策略

倒序策略适合于数学式中存在着结构或者大小方面的”对称性”时构造对偶式所使用的策略.

例6已知n∈N∗,证明:.

证明令M=n!=1·2·3···n,N=n·(n-1)·(n-2)···3·2·1,则

评析本例中的对偶式即是倒序构造,同时又是一种自对偶.

2 构造对偶式解题的题型研究

构造对偶式解题可以求解的题型非常广泛,仅列以下几种类型.

2.1 证明等式

例7已知,求证:.

分析本例如果使用二项式定理知识进行证明,证明的过程肯定相当繁琐,根据题目提供的已知信息可以考虑构造对偶式进行证明,过程相对简捷.

证明, 构造其对偶式, 因为, 所以.两式相乘得, 所以.

2.2 证明不等式

例8求证: 2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

分析此三角不等式,运用一般方法不容易证明,可以根据式子的特点构造互余的对偶式辅助解题.

证明令M= 2sin4x+ 3sin2xcos2x+ 5cos4x,N=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x,则

又M-N= 3(cos4x-sin4x) = 3 cos 2x, 以上两相加得,≤10,所以M≤5.

2.3 求值

例9已知,求x3-4x2+5x-7 的值.

分析原题中,可构造其对偶式,构造以x,y为根的二次方程,并用此方程表示所求数学式,进而求出所求的值.

解构造的对偶式,构造以x,y为两根的二次方程x2-4x+2=0,又x3-4x2+5x-7=x(x2- 4x+ 2) + 3x- 7, 因为x2- 4x+ 2 = 0, 所以.

2.4 求函数值域

例10已知函数f(x)满足,求f(x)的值域.

分析根据题目的特点,用代替x得到原式的对偶式,可联立后进行解题.

2.5 解方程

例11解方程:.

分析如何通过平方去根号的思路解方程会导致运算量相当大,如果依据和差策略从构造对偶式的角度解方程,运算量会明显减少[2].

解构造的对偶式, 两式相乘得, 2x- 4 - (x+ 5) =m, 所以,m=x-9,所以,将上式与原方程相加得,,平方并整理得x2-24x+80=0,解得x=20 或x=4(舍去).

2.6 求数列通项

例12已知数列{an} 满足a1= 1,a2= 3,an+2=3an+1-2an,求an.

分析根据题目提供的信息可以考虑通过构造对偶式进行求解.

解根据an+2= 3an+1- 2an可以构造对偶式an+2-an+1=2(an+1-an),an+2-2an+1=an+1-2an,由an+2-an+1=2(an+1-an)知数列{an+2-an+1}是公比为2,首项为2 的等比数列;由an+2-2an+1=an+1-2an知数列{an+2-2an+1}是常数列,常数为1.所以an+1-an=2n,an+1-2an=1,所以an=2n-1.

2.7 求数列的和

例13已知an-1=nd,n∈N∗, 设,求Sn+1.

分析根据题目提供的信息, 可以使用倒序策略构造Sn+1的对偶式, 结合组合数的性质可求得Sn+1.

解,可用倒序策略构造其自对偶的对偶式,两式相加得,

通过上述内容可以看出, 构造对偶式可以开拓解题思路、提高解题效率、提高运算的准确率,同时,构造对偶式解题可以进一步培养思维的发散性, 发展和提升数学核心素养[3].