对一道椭圆中平面向量数量积为定值模考题的拓展

北京市第十二中学高中部(100071) 刘刚

1.试题呈现

题目(2021 年4 月北京市丰台区高三二模) 已知椭圆,过点(-1,0)的直线l交椭圆C于点A,B.

(1)当直线l与x轴垂直时,求|AB|;

(2)在x轴上是否存在定点P,使为定值? 若存在,求点P的坐标及的值;若不存在,说明理由.

试题考查了椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量数量积坐标公式以及定值问题,考查了直观想象、数学运算等数学核心素养.试题构思巧妙,内涵丰富,是一道具有研究性学习价值的好题.第(1)问求得;第(2)问存在定点,使为定值.下面对第(2)问进行拓展,供大家参考.

2.试题拓展