初中数学概率问题的不同解法分析

⦿ 江苏省宜兴市桃溪中学 吴 刚

概率问题已成为中考命题的热点和亮点.初中数学中的概率问题大多与生活实际问题联系紧密,非常具有实践意义.因此,让学生在解决实际问题的过程中感受概率知识的运用可以加深对数学概念的理解.

1 列举法

例1一个音乐大厅有2个出口和3个入口,来音乐大厅的人可以从任意一个入口进入,参观结束后也可以从任意一个出口离开.音乐选手小明从1号入口进入,并且从1号出口离开的概率是多少?

解：将“小明从1号入口进入,并且从1号出口离开”记作事件M.

一次出入的所有可能出现的结果有：1入1出,1入2出,2入1出,2入2出,3入1出,3入2出.

所以,所有等可能的结果一共有6种,其中事件M包含的情况只有1种.

例2明明和朋友们在玩一个抽卡片的游戏,有两堆卡片,第一堆卡片有三张牌(用数字卡片1,2,3表示),第二堆卡片也有三张牌(用数字卡片4,5,6表示).明明在不看卡片下面数字的情况下,分别从两堆中各随机抽取一张,明明抽到卡片2和卡片6的概率是多少?

解：将“明明抽到卡片2和卡片6”记作事件M.

一次抽取所有可能出现的结果有(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),一共有9种.其中事件M包含的情况只有1种.

2 画树状图法

例3如图1所示,有一个被平均分成三个扇形的装置转盘A和一个被平均分成四个扇形的装置转盘B,A盘和B盘分别各转动一次.在转动过程中,指针是保持不动的,指针若刚好在分割线上停止,则重新再转一次,直到指针所停区域为数字时停止,求A和B两个转盘停止之后,两个转盘指针所指区域内的数字之和小于6的概率.

图1

由图2a可知：3417.82 cm-1νOH、3076.8 cm-1ν=C-H、1633.69 cm-1νC=C、1273.00 cm-1ν=C-O，表明20%vol酒的致浊物中可能含有酚类化合物；2939.48 cm-1νasC-H、2864.26 cm-1νsC-H和1423.45 cm-1δCH吸收峰以及在波数高于1633.69 cm-1处吸收峰与其重叠致使1633.69 cm-1不对称峰形表明，致浊物中可能含有蛋白质类和高级脂肪酸酯类化合物。结果表明，低度酒的致浊物可能是蛋白质与酚类化合物缔合[28]，并混有少量高级脂肪酸酯类化合物。

图2

解：将“数字之和小于6”记作事件M.

由图2可知,所有等可能的结果一共有12种,事件M包含的情况有6种.

例4如图3所示,有两个被平均分成三个扇形的装置转盘A和装置B,装置A上的数字是3,6,8,装置B上的数字是4,5,7,小东和小明分别转A盘、B盘,哪一方转到的数字大则哪一方获胜(指针若刚好在分割线上停止,则重新再转一次,直到指针所停区域为数字时停止),请问这个游戏公平吗?

图3

解：由图4可知,一次试验的所有等可能的结果一共有9种.

图4

因此,这个游戏并不公平.

3 列表法

例5转动如图5所示的转盘,转盘分别都被平均分成五部分,各旋转一次,将所得的数字相加,它们的和是3的倍数的概率是多少?

图5

解：将“它们的和是3的倍数”记作事件M.

由表1可知,一次试验所有可能出现的结果一共有25种,事件M包含的情况共有9种.

表1

根据上述不同的求概率问题的例题分析,可以得到利用列举法、画树状图法以及列表法求事件概率的方法.针对不同类型问题,采取相对应的解题方法进行解答.在解题过程中,应加强对问题条件的分析应用,借助已知条件和相关性质去灵活解答,以此提高解题的效率;同时,也应谨记各部分的注意事项,记住各种方法的适用范围,在考试中灵活运用,避免出现错误.