例析实际问题中的一元一次方程

⦿ 江苏省沛县龙固中学 吕慧娟

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,实际生活中包含着丰富的数学信息,数学在现实生活也有其自己的价值,在处理现实问题时,要能从数学视角使用数学知识和数学方法寻找解决问题的方案.近几年,各省市中考对学生应用意识的考查逐渐加强,一元一次方程在实际问题中的应用是最简单的应用类型,要求学生能首先审清题意,从题意中找出已知量与未知量,然后用代数式表示题中涉及的量,找出等量关系,列出方程,最后解一元一次方程求出未知数的值,通过检验得到符合题意的解.

1 购书方案中的一元一次方程

在图书城购书,为了鼓励人们多买书,图书城会推出会员卡、贵宾卡.办会员卡时的费用较少,但买书时得到的优惠也少;办贵宾卡时的费用较多,但买书时得到的优惠也多.所以是否采用办卡消费,办什么卡最合算,必须根据购买图书的数量来决定.当然也会出现不同消费方式费用一样的现象,此时可以建立一元一次方程求出购买图书的数量.

例1为了开阔学生的视野,某校每个班级都准备开辟图书园地,八(2)班的同学每人都捐一本书,班委会成员准备购买一些新书,其谈话内容如下：

班委A 我上次在这边买了一套很好看的书,可惜有点贵,160元,据我了解这套书进价只有100元.

班委B 你可以花20元办一张会员卡,买书打八折.

班委C 哦,是的.不过我听说还有一种优惠方式,花100元办一张贵宾卡,买书打六折

(1)班委A买的书,图书城的利润是多少?利润率是多少?假如这位班委成员买了会员卡,能省多少钱?

(2)如果购买会员卡与购买贵宾卡得到同样多的优惠,那么购书的总价(指未打折前的原价)是多少?

(3)在三种购书方式中,如果办会员卡购书最省钱,求这批书的总价的范围.

解析：(1)根据题意,可以计算出班委A上次买的一套书,图书城的利润和利润率和他买一张会员卡时可以省下的钱.班委A购买图书的利润,就是售价减去进价,即60元,利润率就是这套书的利润除以进价,即60%.如果当时他办一张会员卡,可省下160-(20+160×0.8)=12(元).

(2)根据“办贵宾卡与办会员卡购书得到一样的优惠”,可以列出相应的方程求解.设购书的总价(指未打折前的原价)为x元时,则由办贵宾卡与办会员卡购书得到一样的优惠,可得20+0.8x=100+0.6x,解得x=400.

因此,如果办会员卡与办贵宾卡得到同样多的优惠,那么购书的总价是400元.

(3)根据题意,先算出办会员卡与不办卡花钱一样多时购书的总价,然后再求范围.设这批书的总价为y元,则20+0.8y=y,解得y=100.由(2)知,当购买400元的书时,两种办卡方式所花钱数相等.

因此,当购书总价在100元与400元之间时,办会员卡购书最省钱.

评注：通过此题可以发现,当购书总价小于100元时,不办卡最省钱;当购书总价在100～400元之间时,办会员卡比较化算;当购书总价大于400元时,办贵宾卡最省钱.而其中界点100元与400元,都必须根据一元一次方程求得.

2 动点运动中的一元一次方程

动点在数轴上运动时,根据运动的速度和时间,可以算出其运动的路程;根据动点出发时的坐标与运动路程,可得运动一定时间后动点的坐标.若两个点同向而行,则两动点的路程差等于两点的距离;若两个点相向而行,则两动点的路程和等于两点间的距离,据此建立一元一次方程可得运动的时间.

例2如图1,在数轴上点A表示的数为-30,点B表示的数为80.动点C从点A出发以每秒6个单位长度的速度沿正方向运动,动点D从原点出发以每秒4个单位长度的速度沿正方向运动,动点E从点B出发以每秒8个单位长度的速度先沿负方向运动,到达原点后立即按原速返回,三点同时出发.

图1

(1)三个动点运动7秒时,C,D,E三点在数轴上所表示的数分别为______,______,______.

(2)当点D与点E距离为44个单位长度时,求此时点C在数轴上所表示的数.

(3)若点E回到点B时,三点停止运动,当三个动点运动过程中.

①是否存在某一时刻,点D在点C和点E之间,且与点C和点E的距离相等?若存在,请求出时间;若不存在,请说明理由.

②是否存在某一时刻,这三点中是否还有一点(除点D外)恰好在另外两点之间,且与两点的距离相等?若存在,请直接写出时间;若不存在,请说明理由.

解析：(1)根据动点的运动速度、时间及出发点的坐标可得结果.点C表示的数为-30+6×7=12,点D表示的数为4×7=28,点E表示的数为80-8×7=24.

(2)根据题意列出一元一次方程求解.设运动时间为t秒,则4t+8t=80-44或|4t-80|=44(t>10),解得t=3或t=31.故点C表示的数为6×3-30=-12,或6×31-30=156.

答：点C在数轴上所表示的数是42.

(3)根据动点在数轴上的运动列出一元一次方程即可求得结果.

评注：由数轴上点的坐标,可以求出此点到原点的距离.在原点两侧的点,两点之间距离等于它们坐标绝对值的和;在原点同侧的点,两点之间的距离等于它们坐标差的绝对值.对于数轴上的点,学会把点的坐标转化为线段的长,或者由线段的长转化为点的坐标.

3 日历表中的一元一次方程

在日历表里,左右相邻的两个数,差距为1,上下相邻的两个数,差距为7.如果用正方形框住四个数,那么左上与右下两个数的差是8,右上与左下的两个数的差是6.如果用一个十字架去框住五个数,那么已知这五个数的任意一个数可以算出其他四个数,设其中一个数为x,可以用代数式表示出其他四个数,已知这些数字的和,利用一元一次方程,可以求出其中每一个数字.

例3某年十月份的月历如图2所示,如果用一个凹字型方框去框月历中的数字,设被框住的数字分别是a1,a2,a,a3,a4.

图2

(1)直接写出a1=______,a3=______(用含a的式子表示);a4-a2=______.

(2)如果将被圈住的五个数字相加,所得数字之和随着凹字型的的移动有所不同,小明说可能为106,小敏说可能为90,你觉得他们谁说得对?

(3)如果凹字型被圈住的几个数为b1,b2,b,b3,b4,且b等于a的2倍与1的和,那么符合条件的b的值有多少个?

解析：(1)因为a1=a-8,a2=a-1,a3=a+1,a4=a-6,所以a4-a2=a-6-(a-1)=-5.

故答案为：a-8;a+1;-5.

(2)由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=106,解得a=24;由(a-8)+(a-1)+a+(a+1)+(a-6)=5a-14=90,解得a=20.8(不符合题意,舍去).

故小明的说法对,小敏的说法不对.

(3)a的值可以为9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,因此2a+1的值可以为19,21,23,29,31,33,35,37,43,45,47,49,51,57,59,61.由于b的值可以为9,10,11,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,28,29,30,且b=2a+1,因此b的值可以为21,23,29.

评注：在凹字型框住的五个数字里,凹头的两个数字差为2,凹底的三个数字相邻两个数字的差为1,凹字两边上下每对数字的差均为7.在观察日历表中不同图形框住的几个数字之间的规律时,只观察数字之间的差即可,且任意观察一种情况即可发现规律.

实际问题中的一元一次方程,还包括工程问题中的一元一次方程.在工程问题中,常需要利用各部分工作量之和等于总工作量建立方程,根据工作量等于工作时间与工作效率之积列代数式.在一元一次方程的应用中,还要注意设未知数的方法,能直接设未知数尽量直接设,对于直接设却不易列方程的,可以找出关键的未知量设元或者设辅助元.在背景复杂的应用题中,要排除无关信息的干扰,善于抓住与数量有关的信息建立代数式或方程,从而求解.