基于提升高中数学运算核心素养的变式教学——以“数学必修第一册(利用基本不等式求最值)”教学为例

广东省广州市第二中学(510530) 李 碧

1 数学变式教学的基本内涵

概念性变式和过程性变式是数学变式教学的两种策略,概念性变式通过构建合适的变异空间,让学生体验学习对象,从而对学习对象的本质形成更深理解,而过程性变式的目的在于提供适当的铺垫,帮助学生建立学习对象与已有知识之间内在合理的联系. 其中,概念性变式有三类: (1)通过直观或具体的变式引入概念;(2)通过非标准式突出概念的本质;(3)通过非概念性变式明确概念的外延. 过程性变式用于问题解决的教学中,在未知(复杂)问题与已知(简单)问题之间进行适当铺垫,作为化归的台阶,通过构造问题多层次的变式,使学生对问题解决的过程及问题本身的结构有一个清晰的认识,是学生积累活动经验,提高问题解决能力的一条有效途径.

2 高中数学运算

《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》指出数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养. 数学运算主要表现为: 理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果. 通过高中数学课程的学习,学生能进一步发展数学运算能力;有效借助运算方法解决实际问题;通过运算促进数学思维发展,形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.

3 基于提升高中数学运算素养的变式教学实践

基于《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》对高中数学运算核心素养的要求,笔者认为,理解运算对象是关键,探究运算思路是难点. 本文结合新教材,运用变式教学,以数学必修第一册(利用基本不等式求最值)教学为例,就高中数学运算核心素养水平的提升谈自己的思考和实践.

3.1 概念性变式策略理解运算对象

例题(数学必修第一册45 页): 已知x＞0,求的最小值.

教材上这题直接用基本不等式就可以解决,但很多学生会忽略对等号成立的说明. 笔者以前以为是学生对基本不等式成立条件的忽略,其实主要是学生对运算对象不理解. 在讲解这个问题时,笔者提前引导学生理解最小值的概念: 取到最小值时要有对应x的值. 学生在后续用基本不等式求最值时基本都会考虑等号成立的条件.

变式1: 已知x∈R,求的范围.

变式1 在例题的基础上,强化了学生对运算对象和运算规则的进一步理解,同时,也通过运算,提升了学生分类讨论和转化的数学思想. 变式1 是根据概念性变式的第一类: 基于直观或具体的变式进行的设计.

变式2(数学必修第一册48 页):已知x＞1,求的最小值.

变式3(数学必修第一册45 页): 已知x,y都是正数,且xy,求证:.

变式3 的运算对象结构形式复杂,初看与基本不等式形式不符合. 部分学生想到用分析法两边平方化简,这种证明方法当然值得肯定. 若学生继续思考运算对象的特点,就会发现,虽然不等式左边是分式,但仍然是和与积的形式,可以将和转化为积,利用基本不等式证明,问题就很容易证明了.变式3 的选取是根据概念性变式的第二类: 通过非标准式突出概念的本质,此题虽然不是求最值,但学生通过使用基本不等式,加深了对运算对象的理解.

变式4: 已知x＞0,求的最小值.

变式3 做了铺垫后,变式4 就很容易解决了. 在相同的条件下,若进一步将求最小值变为求的最大值. 结合上一节不等式的性质,学生也能很容易理解运算对象.

变式5: 若a＞0,b＞0,,求的最小值.

变式5 对运算对象的理解要求更高, 对于高一的学生,建议做思考题,给学有余力的学生自主思考,课后教师再给出转化思路:. 当然变式5还有其他解法,这里不展开说明. 也可在变式5 前做一个铺垫: 若a＞0,b＞0,(a-1)(b-1)=1,求的最小值. 这样也许会让学生进一步理解变式5 的条件,但由此也失去了通过运算培养学生发散思维的价值. 这里需要教师根据学生实际情况灵活处理.

以上的变式可以让学生理解,用基本不等式可以快速解决运算对象结构上是求和、求积或者和与积同时出现的问题,并且要关注参数的取值范围. 若运算对象不符合上述结构,可以通过适当的运算进行转化. 若是转化不成功,需要考虑其他解决办法.

通过对运算对象的变式,学生能形成对运算对象多元表征的能力,能够灵活的从一种表征方式转换成另一种表征方式.

3.2 过程性变式探究运算思路

同一道题,因为运算思路不同,导致运算路径也会有差异. 教师在平时的教学中,引导学生理性对待运算: 首先思考算法流程,若没有较优的算法,应该按照常规解法认真做好每一步的运算. 算完后再思考,是否可以优化运算思路. 在解题过程中进行一题多解或一题多变,并不等于不要常规的算法思路,每种算法思路蕴含着不同的数学思想,学生在尝试多种解题思路后,会让他们明白各种思路的优越性,从而选择最优解法,掌握其算法思路,形成自己的解题策略.

例题: 若正数x,y,满足x+3y= 5xy,求3x+4y的最小值.

这是一道用基本不等式求最值的经典问题. 很多参考资料和教师总结为:“1”的代换或者“1”的妙用. 令教师们意外的是,课堂上学生接受得很好,但测试成绩不尽人意. 原因是这个思路是教师或者参考书总结的,技巧性太强,对于学生而言,这个思路并不自然,学生不能透彻理解问题的本质,只能靠记忆,时间一长就忘记了. 所以,笔者建议,对于这道题,应该有不同的解法,教师通过引导学生探究不同的运算思路,总结出运算思路的根源.

解法一分析: 由x+3y= 5xy得:, 则.

解法二分析: 由x+ 3y= 5xy得:, 则.

以上两种方法殊途同归,显然方法一更简单,但方法二思考更自然. 作为教师,应该引导学生对运算思路做深入思考,并能通过探究,优化和丰富运算方法.

这题还有其他解法,例如令3x+4y=t,通过代换,将x+3y= 5xy转化为,再转化为二次方程根的分布问题,这里隐含y＞1 5 这个条件.

此题可以引导优秀学生继续研究其他运算思路. 但不管哪种方法,作为教师,应该引导学生对解法每一步进行逻辑分析. 最后,引导学生回看不同的解题方法,其实只有两种思路: (1)通过消元,转化为一个变量; (2)保留两个变量,用基本不等式或者方程思想求解.

变式1:x＞1,y＞1, 且满足x+y=xy, 证明:最小值为.

例题做了铺垫后,设计变式1 是为了促进学生进一步优化和丰富运算思路. 此题解法与例题类似,但通过变式增加了运算思路的难度.

变式1 最优的解法思路如下: ∵x+y=xy,

变式2: 小云家后院闲置的一块空地是扇形AOB,计划在空地上挖一个矩形游泳池,有如下两个方案可供选择,经测量,∠AOB=60°,OA=2.

(1)在方案1 中,设OE=x,EF=y,求x,y满足的关系式;

(2)试比较两种方案,哪一种方案游泳池面积S的最大值更大,并求出该最大值.

解(1) 连接OC, ∵OE=x,EF=y, ∠AOB= 60°,OA= 2, ∴, 在RtΔOCF中(x+y)2+,∴x,y满足的关系式为4x2+2xy+y2-4 =0(其中x∈(0,1),y∈(0,2));

(2) 方案1: 设游泳池DEFC的面积为S(1), 由(1) 得4x2+ 2xy+y2= 4 ≥2xy+ 4xy= 6xy, ∴,当且仅当2x=y, 即时等号成立,∴;

方案2: 设游泳池DEFC的面积为S(2), 取CF的中点M,连接OM,OC,设OE=m,EF=n,在RtΔOCM中, 所以,∴,当且仅当时等号成立, ∴, 而,则S(1)max＞S(2)max,所以选择第一种方案,此时游泳池面积的最大值为.

变式2 是借助基本不等解决实际问题. 在运用基本不等式求最值的过程中,理解了运算对象,深入探究了运算思路,学生解决变式2 也不容易,因为变式2 渗透了将实际问题翻译成数学问题的建模思想. 设计变式2 是为了有效借助运算方法解决实际问题.

通过一题多解,一题多变,有助于提高学生思维的灵活性,学生能根据具体的问题灵活的选择算法策略.

4 反思

高中数学运算核心素养的提升是一个连续的,不断上升的过程,也与其他数学素养相互交融,是一个有机整体. 变式教学可以激发学生对数学对象多维度的思考,促进对运算思路逐步深入的探究. 在教学实践中,怎样设计变式问题值得进一步深入研究.