基于链式反应规律的博士生教育规模调控模型

董渊 王任模 钟晓征 韩芳明

摘要：基于博士生教育动力学模型揭示的链式反应规律，构建数学模型及相应数值求解方案，实现调控时期成长指数随时间变化情况下博士生教育规模的全面定量分析。以“十五”“十一五”期间中国博士生教育从“积极扩大”到“相对稳定”为例，给出规模调控过程的数值模拟，结果表明：招生规模增速持续高于导师规模增速、直博招生推广使得平均修读时间增加和推动质量保障体系建设等因素，造成生师比不断升高而带来的潜在质量风险是当时主要挑战；该调控是多种因素综合作用的结果，其中招生规模成长指数均值于2003—2004年从约0.20降为约0.03是关键。基于数值模拟的定量分析，有利于更好地认识博士生教育发展规律，有助于推动高层次创新人才自主培养质量的全面提升。

关键词：博士生教育；链式反应；规模调控；数值模拟；定量分析

作者简介：董渊，清华大学研究生院副院长，副研究员，北京 100084；王任模，清华大学国家卓越工程师学院副院长，六级职员，北京 100084；钟晓征，清华大学学位办公室副主任，六级职员，北京 100084；韩芳明，清华大学研究生院培养办公室高级主管，六级职员，北京 100084。

基金项目：中国学位与研究生教育学会研究课题“新时代直博招生方式的模式创新与策略研究”（编号：2020ZAA010）

一、规模调控：博士生教育规模定量分析的关键

博士生教育承担着为国家培养高层次创新人才的重要任务。“一流博士生教育体现一流大学人才培养的高度”[1]，“而一流大学群体的水平和质量决定了高等教育体系的水平和质量”[2]。21世纪以来各国博士生教育发展迅猛，博士学位授予规模不断增长[3]。博士生教育发展规律研究是长期广受关注的重要话题[4]。学位授予规模常常作为一个国家或地区创新能力的重要指标，美国国家教育统计中心（National Center for Education Statistics，NCES）给出基于多元线性回归模型的博士学位授予规模定量预测方法并定期发布预测数据[5]；基于动力学模型的研究揭示美国学术类博士学位授予规模符合具有周期波动特性的分段指数规律，并给出相应的定量预测[6]；研究生教育学位产出方程构造博硕士学位授予规模和教育投入的数理模型，给出40年来中国学位授予规模定量演化过程的数值模拟，指出21世纪初10年间政策调整取得了明显效果，博士学位授予规模增速明显放缓[7]。

由于博士生培养的长周期特性，需要综合考虑招生、在学和学位授予等规模数据进行全面定量分析，而政策变化导致的规模调控是难点所在。王传毅等人考虑招生、退出规模影响，给出招生增长率、完成率和流失率保持稳定条件下，用于美国博士生在学规模定量测算的时间序列模型[8]。张炜和汪劲松基于增长趋势对中国博士招生规模、学位授予规模进行定量预测，并由招生规模变化趋势进行学位授予规模预测，发现两种方案得到的学位授予预测结果存在较大差异，指出教育政策变化是规模预测影响最大而又难以准确把握的关键因素[9]；博士生教育动力学模型揭示主要规模数据可以用链式反应类似的数学方程描述，给出平稳发展阶段的解析解，指出规模数据符合分段指数变化规律[10]。

基于上述工作，本文探索适用于规模调控时期，综合考虑指导教师规模、招生规模、在学规模和学位授予规模的数学模型，及相应的求解方案，以实现基于数值模拟的博士生教育规模调控定量分析。

二、基本原理：博士生教育规模调控模型及其求解

1.博士生教育的链式反应规律

2.博士生教育规模调控模型

规模调控时期，处于具有不同成长指数的平稳发展阶段之间，（ ） tμ随时间变化，上述常数近似假设不成立。为此需讨论更为一般的模型和求解方案，以实现各种情况下的全面定量模拟和规律分析。

以系统的观点梳理规模数据的相互影响关系如图1。其中指导教师规模S、招生规模A为输入数据；在学规模E为内部数据，年度招生比α、年度生师比ρ、年度学位授予率β和年度退出率ε等为系统特征参数；学位授予规模C、退出规模Q为输出数据。

（3）输出数据。学位授予规模为当年获博士学位人数，含毕业且获学位者、同等学力申请获得学位者，和往年退出并于当年补授学位者等。退出规模为当年不再计入在学规模且未获学位的人数①。输出数据受到质量保障体系、经济支持情况和外部学术、产业就业环境的影响。

（4）规模调控模型。等式（1-6）和（9-10）构成的常微分方程组，为参数（ ） tμ随时间变化情况下博士生教育的数学模型，可描述博士生教育规模调控变化，称为博士生教育规模调控模型。

3.博士生教育规模调控模型的数值求解

三、中国案例：21世纪初中国博士生教育规模调控数值模拟

博士生教育规模遵循分段指数变化规律，规模调控模型给出成长指数（ ） tμ随时间变化情况下的通用数学描述。下面以21世紀初中国博士生教育数据为例讨论规模调控时期的数值模拟，并探讨调控机理。

单自然对数坐标下中国历年博士生教育数据②及分段线性拟合结果如图2，可以看出其发展具有明显的分段特征，其中2001—2010年间中国博士生教育规模增速明显下降，“2006年以来，我国博士研究生规模进入了稳定发展期，招生增幅控制在3%以内”[12]。全国教育事业第十个五年计划明确“采取各种措施积极扩大高等教育规模”[13]，国家教育事业发展“十一五”规划纲要则提出“高等教育要适当控制招生增长幅度，相对稳定招生规模”[14]。考虑“看得见的规划之手”在国家治理中的重要作用[15]，可以认为中国博士生教育在这十年间经历了从“积极扩大”到“相对稳定”的有效调控。

聚焦2001—2010年，首先求解参数反问题，根据历年规模数据建立系统特征参数并进行讨论。其次进行输入规模数值模拟。之后求解正问题，基于已建立的特征参数和输入规模模拟数据，求解输出规模数据，为后续基于特征参数和规模数据进行规模调控机理讨论提供基础。

1.求解参数反问题：建立系统特征参数

已知历年输入、输出规模数据，根据等式（3-6）的定义，逐年计算博士生教育系统特征参数的值，并进行分段线性拟合，绘制如图3。

图3上半部分给出年度招生比（ ） tα和年度生师比（ ） tρ数据，及分段线性拟合结果。年度招生比是反映输入变化的重要指标，总体呈分段线性变化趋势，从20世纪90年代中期到21世纪初不断增长，2002年达到峰值约1.9，之后逐年下降，2015年达到谷底约0.9，之后逐步回升，近年来均值略低于1.0。年度生师比是博士生教育规模调控的重要观测指标，同样呈分段线性变化趋势，从20世纪90年代中期到21世纪初不断增长，2005年达到峰值近5.0，之后逐步下降，2015年接近3.7，之后下降趋缓，其均值约为4.0。

图3下半部分给出年度学位授予率（ ） tβ和年度退出率（ ） tε数据，及分段线性拟合结果。其中年度学位授予率，20世纪90年代中期平稳发展，均值大约维持在0.20，21世纪初前5年降低到约0.17，之后回升到略高于0.20并逐步缓慢下降。年度退出率，从20世纪90年代中期自约0.04下降到约0.01，2010年前后进一步下降并维持在约0.004的位置。

可以看出，特征参数年度招生比α（ t ）、年度生师比ρ（ t ）和年度学位授予率β（ t ）在2001—2010年间发生了趋势性的变化，能够反映规模调控的实际情况。其中与输入相关的年度招生比α（ t ）随时间起伏变化明显，能够快速响应调控，及时反映输入变化。与输出相关的年度学位授予率β（ t ）和年度退出率ε（ t ）随时间变化较为平稳，更接近于分段常数。参考等式（11）可知，在一定时段内分子、分母规模数据成长指数比较接近，对应学位授予规模、退出规模与在学规模的增长趋势基本同步。反映教育体系的培养能力和质量保障能力在相应时段内较为稳定，这是各培养单位实力的综合体现，也是各培养单位内部质量保障体系、行政主管部门质量监管、第三方机构质量监督等综合作用的结果。但是，年度学位授予率和年度退出率分段变化的影响因素比较复杂，仅仅是数值上的变化可能不好判断是培养能力的提升还是质量保障能力（比如分流机制较少地发挥作用）的下降，需要进行更为深入的综合分析。

2.数值求解：输入数据模拟

表1给出实际值和数值解之间的比较。指导教师数值解的均方根误差为1.81%，其中最大误差为4.08%。招生规模数值解的均方根误差为1.80%，其中最大误差为2.80%。

同样以2001年为初始时刻、2001年规模数据为初值、0.001年为步长，仍选用经典的四级四阶龙格-库塔方法，计算得到的2001—2010年在学规模和学位授予规模数值解，单自然对数坐标显示如图5下半部分，同时绘出实际数据作为对比。

表2给出实际值和数值解之间的比较。在学规模数值解的均方根误差为1.36%，其中最大误差为2.46%。学位授予数值解的均方根误差为2.88%，其中最大误差为5.27%。在学规模为系统内部数据，其数值比相应年份的输入、输出数值大很多，受外部变化影响较小，发展更为平稳，计算误差较小。

已知系统特征参数和输入数据，给定初值，求解调控模型正问题，可以得到与实际规模数据近似程度较高的数值解，表明模型对调控时期的规模变化具有良好的描述能力，所采用的数值求解方法具有良好的可行性。与基于研究生教育学位产出方程数理模型给出中国博士学位授予规模定量演化过程的数值模拟结果[7]相比，本文的学位授予规模数据给出相似的变化趋势，表明两种方法都能有效模拟21世纪初从“积极扩大”到“相对稳定”的调控过程。而本文模型能够实现调控过程的全面定量分析，可同时给出具有较高近似精度的指导教师、招生、在读和学位授予规模数值模拟结果。

四、案例分析：博士生教育规模调控机理讨论

综上，基于博士生教育调控模型很好地实现了本世纪初中国博士生教育规模变化情况的全面定量数值模拟，深入分析此案例，初步识别出招生规模、指导教师规模等能够直接改变输入规模数据的直接影响因素，以及招生选拔方式、质量保障体系、经济支持、科技发展等间接影响规模调控的因素。

1.直接影响因素

（1）招生规模。输入数据招生规模是计划性調控的关键影响因素。考虑博士生从入学到获得学位需要经历较长的时间，调控效果通常按一定时间节奏逐步显现，可观察到明显的“规模潮涌”现象。单独调整招生规模，会改变年度招生比，新生入学后会导致在学规模调整，进一步会导致年度生师比和学位授予率变化，经过一段时间的发展，学位授予规模也将发生调整。对比图4、图5上半部分，博士招生成长指数于2003—2004年下调，之后在学规模成长指数于2005—2006年下降，最后学位授予规模成长指数于2007—2008年完成调整。

（2）指导教师规模。输入数据中的指导教师规模也是计划性调控的重要影响因素。通常按照一定的年度招生比测算并安排下一年度的招生计划数。因此，指导教师规模会影响下一年度的招生规模，进而达成调控目标。另外，需要维持一定年度生师比以保持培养能力和培养质量。自20世纪90年代到21世纪初，博士生招生规模增速持续高于指导教师规模增速，使得年度生师比数值不断升高，一度引发了业内关于培养质量风险的担忧，有专家提议要“稳定博士生招生规模、着重提高培养质量”[17]。

2.间接影响因素

（1）招生选拔方式。不同的招生选拔方式针对不同生源群体、采用不同考核方式以筛选具有不同特质的可造之材。招生选拔方式的变化会导致博士生生源结构变化，进而影响在学规模和培养质量。直博招生从在读本科生中选拔优秀年轻人，使得博士生的年龄结构和知识结构发生重要变化。与具有硕士学位的普博生相比，本科起点的直博生需要经历更长的培养时间。直博招生方式于1991年由清华大学率先试点[18]，并于2001年之后在全国逐步推广[19]。在同等招生规模增速的情况下，直博生占比增加导致博士生平均修读时间增加，进一步加剧了年度生师比数值的攀升。

（2）质量保障体系。在其他因素大致不变的情况下，提高质量要求会导致年度学位授予率下降，使得学位授予规模下降、修读时间增加。我国1999年开展首次全国优秀博士学位论文评选，随后推行学位论文抽查[20]，并推动“建立健全研究生教育评估制度，完善质量保证体系”[21]。相应地，图3和图5拟合数据显示，在招生规模、指导教师规模和在学规模成长指数基本稳定的情况下，世纪之交博士学位授予规模成长指数略有下降，学位授予率也出现下降。自2005年起教育部对博士学位授权点进行定期评估[22]，经过几年努力“基本建立起一个比较完善的博士研究生质量保障体系”[23]。可以看到，2005—2006年之后学位授予成长指数略低于在学规模成长指数，对应着年度学位授予率呈线性下降趋势。

（3）经济支持。适度的经济支持有利于博士生安心学业，能够降低退出率。1995年，面向21世纪、重点建设百所左右高校和一批重点学科点的“211工程”经国务院批准后正式启动[24]。经过分批滚动、持续支持，建设高校办学条件、学科水平和育人能力大幅提升[25]。可以看到，博士生年度退出率均值在1996—1997年出现下降。2006年，教育部开始支持和推动部分高校开展研究生培养机制改革试点工作[26]，2009年改革试点范围扩大，并鼓励地方选择所属高校进行改革试点[27]。其思路是强化科研导向、改革和完善研究生奖助体系，核心是用科研经费支付部分培养成本以实现在科研实践中培养研究生的目标[28]。可以观察到，博士生年度退出率均值在2009—2010年再次下降。

（4）科技发展。科技发展关键在于创新，博士生已经成为我国高校科学研究和技术发展队伍中的骨干力量，因而科技发展对博士生教育的影响更为深刻。2006年召开全国科技大会，提出自主创新、建设创新型国家的发展战略，随后发布《国家中长期科学和技术发展规划纲要（2006—2020）》[29]。这对于中国科技发展具有里程碑意义，对于中国博士生教育发展也具有深远影响。首先，规划纲要明确提出学科领域、研究方向，甚至研究内容和研究人才方面的需求。其次，科技发展可以为研究生教育提供更好的支持，有利于博士生安心学业，开展高水平研究工作并产出高水平创新成果。第三，科技发展可以为博士学位获得者提供更多具有竞争力的工作机会，有助于提升年度博士学位授予率，并有利于吸引更多优秀人才攻读博士学位。然而，科技发展也会进一步加剧研究机构与高校竞争博士学位获得者，甚至导致博士生指导教师流失，这可能是造成指导教师成长指数于2005—2006年间出现下降的一个重要因素。相關的作用机理尚需更为深入的研究。

3.质量导向的综合调控

（1）质量是规模调控的主要目标，年度生师比是核心指标。20世纪90年代中期以来，随着经济和科技发展，我国推行了一系列重要的研究生教育改革举措。“211工程”建设启动实施，博士生年度退出率明显降低。21世纪初，直博招生方式推广带来生源结构调整，使得博士生平均修业年限增加。世纪之交质量保障体系建设措施相继推行之后，博士学位授予规模成长指数下降。相关改革举措导致年度生师比不断升高而带来的潜在质量风险，是21世纪初十年间博士生教育发展面临的主要挑战。

（2）规模调控是多种因素综合作用的结果，其中招生规模调整是关键。“十五”时期的2003—2004年，博士生招生规模增速明显降低，由“积极扩大”转向“相对稳定”，之后在学规模成长指数、指导教师规模增速也于2005—2006年下调。随着成批直博生获得学位，可能由于招生方式带来的生源质量变化、质量保障措施的作用以及调控之后在读规模的下降，学位授予率于2005—2006年回升到略高于21世纪初的数值，学位授予规模成长指数也于2007—2008年完成调整后进入平稳发展阶段。

五、总结与展望

推动基于数值模拟的博士生教育研究。基于动力学模型，根据成长指数的变化特征，将博士生教育划分为成长指数可近似为常数的平稳发展阶段和成长指数随时间变化的调控时期。给出数学模型和数值求解方案，可用于博士生教育规模调控定量模拟和发展规律分析。本文以“十五”“十一五”期间中国博士生教育规模调控为例，求解参数反问题并分析其发展趋势，求解正问题进行规模数值模拟，得到了具有良好近似程度的结果，检验了模型的描述能力和求解方案的可行性。

基于数值模拟的规模调控机理分析。本文给出了规划文本中“积极扩大”“相对稳定”对应的博士生招生规模成长指数的量化表述，指出调控主要目标是质量，而调控过程呈现“规模潮涌”现象，招生规模、在学规模和学位授予规模依节奏逐次变化；探索规模调控时期系统特征参数和主要规模数据变化关系，分析招生规模、指导教师规模等直接影响因素，及招生选拔方式、质量保障体系、经济支持和科技发展等间接影响因素的作用机理，认为调控通常是几种因素综合作用的结果，其中招生规模调整是关键。

探索带有反馈的规模调控模型。文中基于博士生教育规模数据和相关参数之间的关系来讨论规模调控。作为博士生教育系统输出的学位获得者，能够以指导教师身份作为系统输入，开启新的博士生培养工作。学位获得者离开或者以指导教师身份加入博士生教育系统的比例，对于博士生教育的发展具有重要影响，需要探索带有反馈机制、能够刻画相关特性的数学模型。

推进新时代博士生规模调控研究。新时代中国研究生教育迎来改革发展的战略机遇期[30]。国家教育事业发展“十三五”规划明确“稳步扩大研究生培养规模”[31]，2020年中国研究生教育会议明确了未来改革方向和发展路径[32]。“十四五”规划进一步明确“加强研究生培养管理，提升研究生教育质量，稳步扩大专业学位研究生规模”[33]。为此，需要进一步探讨模拟方法，对新时代中国博士生教育从“稳定规模”到“稳步扩大”规模调控进行深入研究，给出趋势分析和相关建议。

中国已经迈上全面建设社会主义现代化国家的新征程，“全面提高人才自主培养质量”[34]是研究生教育面临的新任务。需要继续深入开展基于数理分析的研究生教育研究，采用数值模拟方法揭示定性分析背后的定量关系，更好地认识相关规律，以推动博士生教育高质量发展，更好地服务于国家和社会对高层次创新人才的迫切需求。

（致谢：中国学位与研究生教育学会前会长赵沁平院士“进行相关系列研究”和关注科技发展对博士生教育规模影响的指导，清华大学王传毅老师关于离散时间序列模型的指点，与教育部发展规划司龚卫华等同志关于本世纪初博士生教育规模变化的讨论，匿名评审专家对学位授予规模和退出规模关系、学位授予率和退出率变化趋势分析等建议，对本文工作具有重要帮助，在此表示感谢。）

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（责任编辑 刘俊起）

①退出规模含退学者、结业或毕业但当年未获学位者，未包含在目前公布的统计数据中，可通过在读、招生和学位授予规模推算得到。前述后者后续如获得博士学位，将按发证年份记入学位授予规模。

②1981年学位条例实施以来数据，不含港澳台。招生、在学、授予数据来自中国学位与研究生教育发展年度报告课题组《中国学位与研究生教育发展年度报告2019》《中国学位与研究生教育发展年度报告2020》，北京：社会科学文献出版社；1981年指导教师数据来自国务院学位委员会办公室公开信息，其余数据来自《中国教育统计年鉴》。