无穷小在极限概念学习过程中的作用

王军昌 吕长青

摘 要：极限是初学高等数学的大学生面对的第一个重要概念.充分理解并准确把握函数极限也是学习高等数学者必须要过的坎.本文从一个高等数学学习者视角来深入剖析极限的语义、逻辑和关键点，把无穷小的性质、阶的比较以及等价等知识应用于极限概念的理解和某些有关极限的计算.这对深入理解极限概念和巧妙地计算某些函数极限都是饶有意义的研究与探索.

关键词：数列；数列极限；函數极限；无穷小；等价无穷小

4 结论

本文从数列极限、函数极限的定义着手，研究分析概念中任意给定正数ε（不论多么小）的“任意小”的意义.剖析极限定义的语义与逻辑，从学习者的角度来认识函数无限逼近定数的数学语言的精确表达.基于极限定义得到无穷小的深刻认识，即极限为零的函数在自变量的趋近过程中被视为无穷小.无穷小不是很小的定数，而是自变量足够靠近定值（或者在数轴上走得足够远）的时候函数的绝对值可以任意小.无穷小亦可刻画描述函数极限，函数的极限为定值等价于自变量足够靠近定值（或者在数轴上走得足够远）的时候函数值与该定值的差是无穷小.从本文的论证中不难看到无穷小在极限四则运算法则的论证方面有强有力的应用.由于非零无穷小的倒数是无穷大，基于这一事实可巧妙地证明一些函数为无穷大，这在本文中给出了举例说明.利用等价无穷小的因子替换可以巧解一些极限求解问题，这也是无穷小一个重要应用.

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