发展学生数学核心素养的案例研究

任亚蓉 沈威

摘 要：发展学生的核心素养成为了当前讨论愈来愈激烈的话题，培养学生的核心素养成了课堂教学的目标.本文根据研究目的，以“直线与圆的位置关系（第一课时）”教学案例为研究对象，探究其中的教学特征，建构教学路线结构图.研究发现整个教学过程主要发展了学生在数学运算、直观想象、逻辑推理三方面的数学核心素养.

关键词：数学教学；核心素养；个案研究

1 问题的提出

为了深化高中数学教学改革，研讨高中数学课堂教学落实数学学科核心素养的策略和方法，提高课堂教学质量，本文选取了“第十届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”中的教学案例“直线与圆的位置关系（第一课时）”为研究对象，教学内容来自人教版普通高中教科书《数学》（选择性必修第一册）第二章.

通过对课例视频的反复观看、对文字誊录稿逐行阅读、划分教学片段得出了研究问题.经过整理发现，教师在引导学生掌握新知的基础上带领学生体会数学思想，将其代入实际生活情境中进行应用，并将对学生数学核心素养的培养贯穿整个教学过程.其中，在数学运算素养方面，教师注重剖析学生在运算过程中出现问题的真正原因，从不同的方面深化学生对运算对象的理解，带领学生参与到运算的推导过程中；在直观想象素养方面，教师注重引导学生将数与形进行结合，实现数与形之间的转化，使得抽象问题直观化、生动化，强化学生对数与形之间对应关系的理解与应用能力；在逻辑推理素养方面，教师注重培养学生用數学思维思考问题，把握解题对象之间的内在联系，并运用归纳、类比的方法解决问题.因此，本研究主要关注教师在整个教学过程中如何对学生的数学运算素养、直观想象素养以及逻辑推理素养进行培养.

2 研究过程

2.1 划分教学片段

首先观看完整的教学视频并通读新授课誊录稿，深入教学过程并对其做教学片段的划分，划分依据是教学过程中教师问题的提出，比如，教师提出“哪位同学能结合两条直线位置关系判断方法，说说你对坐标法的认识”这算作一个教学片段，在学生对坐标法进行回顾之后，教师又提出“我们利用坐标法还能研究哪些基本图形之间的位置关系”这算作另一个教学片段.按照这种依据对教学过程划分为十个教学片段，构建教学结构图，撰写教学故事.

2.2 画教学路线结构图与撰写教学故事

根据教学过程建构“新授课”的教学路线结构图，可以直观展示“直线与圆的位置关系（第一课时）”的教学环节、教师与学生的互动等方面，如图1所示.

在教学路线结构图的基础上，运用厘清故事线的分析技术，撰写“直线与圆的位置关系（第一课时）”的教学故事.

判断直线与圆的位置关系是判断圆锥曲线位置关系的基础，本节课开始，教师引导学生回顾旧知，类比判断直线与直线的位置关系的方法，引出对坐标法的认识，通过提问“利用坐标法还能研究哪些基本图形之间的位置关系”导出课题.之后学生进行动手操作，通过移动圆形纸片与直尺来感知直线与圆的三种位置关系，利用GeoGebra呈现直线与圆看似相切的图片，通过放大使得学生感受到在观察位置关系时，利用图形进行直观判断与真实情况是存在着偏差的，从而引导学生回答“利用代数运算判断直线与圆的位置关系”.

在学生掌握了用两种方法判断直线与圆的位置关系之后，教师呈现例1，让学生应用以上的方法判断直线与圆的位置关系，并在相交的情况下计算所截弦长.作答时间结束之后，由两名学生上黑板讲解自己的解答思路：第一名学生联立直线与圆的方程得出Δ＞0，进而判断直线与圆相交，之后该学生使用了之前学过的三种公式即两点的坐标公式、弦长公式｜AB｜=1+k²｜x₁-x₂｜、｜AB｜=1+k²·（x₁+x₂）²-4x₁x₂求出了弦长；第二名学生通过比较d与r判断直线与圆相交，之后结合图形利用勾股定理求出了弦长.教师总结两名同学解题思路之后由另一名学生进行了点评.

例题结束后，教师带领学生对两种判断方法进行了总结.在第一种方法中，教师通过提问引导学生去联立方程求直线与圆的公共点，并将其等价为方程组实数解的个数，之后对方程组进行消元得到关于x或y的一元二次方程，将其记作*方程，提问“*方程的解的个数与方程组解的个数之间有什么关系”进而得出Δ＜0时直线与圆相离；Δ＝0时直线与圆相切；Δ＞0时直线与圆相交.在第二种方法中，教师仍是通过提问引导学生通过图形初步判断出两个线段长度的关系，之后通过代数运算得到d和r两个数值，并将其进行比较，得出d＞r时直线与圆相离；d=r时直线与圆相切；d＜r时直线与圆相交.最后，将d与r之比转化为了它们的差与0相比，将上述两种方法联系了起来.

对两种方法进行总结之后，教师呈现“在已知一点及圆的方程的情况下求圆的切线方程”例题（1）题由一名学生进行讲解，该学生根据斜率k存在或不存在进行了分类讨论，最后得出了三条切线，由于斜率k不存在时得出的切线方程不符合题意，所以舍去，最终得出两条切线方程；（2）题学生进行板演，教师对其进行了讲解；（3）～（5）题由另一名学生进行讲解，该学生结合图象，观察到点在坐标系中的位置都比较特殊，进而直接通过图象得到了切线方程，在（5）题中，教师还叫一名学生进行了板演，该学生解题方法不同于上面那名同学，而是通过d与r计算得出斜率k，从而得出切线方程.最后，通过同学们的板演、讲解，教师与学生讨论了“求出来的切线为什么有两条？从几何图形上思考会具有什么样的特点？”两个问题.

在学生经历了判断直线与圆的位置关系、求解弦长及切线方程后，教师与学生共同总结在本节课学到了什么，学生的回答为：我们不仅学习了判断直线与圆位置关系的两种方法，一种是联立方程，另一种是比较圆心到直线的距离与半径，以及学会了求弦长，切线的方程，在这过程中体会到了数形结合的思想.教师带学生又进行了一次梳理：我们是通过动手操作、图形观察回忆起了直线与圆的三种位置关系，通过建立坐标系将相关的几何要素代数化，进而得到了解决直线与圆的位置关系的两种代数方法，又研究了过一点求切线的问题以及求弦长的问题，并且本节课的内容是在数形结合及转化化归两大重要的数学思想的支撑下完成的.

为巩固学生本节课所学内容，教师为此呈现了两道例题，在第一题中已知直线与圆的方程，让学生判断它们的位置关系；在第二题中，已知直线方程，并且该直线与圆相切，要求求出圆的方程.在学生们完成之后，教师在课堂上对其进行了批改，了解学生对本节课所学内容的掌握情况.

最后，教师带领学生梳理了用坐标法判断几何问题的步骤.第一步，建立恰当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的幾何要素，比如点，线，圆等.把几何问题转化为相应的代数问题；第二步：通过代数运算来解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.

3 研究发现

3.1 培养学生数学运算的能力

数学运算是在理解运算对象的前提下，运用掌握的运算法则解决问题的素养，是数学学科核心素养之一，在数学教学实践中基于法则展开数学运算有着丰富的内涵和层次^［3］.在运算中，学生经常会出现问题，教师会将原因视为粗心^［4］，不会花很多的时间剖析学生在运算过程中出现问题的真正原因.因此，在数学教学过程中，教师要重视学生出错的真正原因，加强学生对运算对象的概念的理解，重视公式的产生、发展和推导的过程.此外，教师还应引导学生思考不同的运算思路，通过比较，选择最优的运算思路.

本节课中，教师通过两道例题，引导学生如何准确判断直线与圆的位置关系以及如何在相交的情况下求切线.第一题是在平面直角坐标系中呈现了一个圆、一条直线以及三个点的坐标，其中，第（1）题是求直线与圆的方程，第（2）是判断直线与圆的位置关系，教师呈现（1）（2），循序渐进地引导学生要利用直线与圆的方程去判断直线与圆的位置关系.学生利用两种方法即联立方程、比较d与r得出了直线与圆的位置关系.这道题不仅需要学生会联立方程进行运算、掌握点与直线之间距离的运算法则，而且还要理解运算对象即联立方程、d与r的内涵，进而通过判别式Δ或者比较d与r得出直线与圆的位置关系.第（2）题在第（1）题的基础上增加了难度，学生先判断位置关系，如果二者相交还需求出弦长.这里学生判断位置关系的方法与第一题一样，在求弦长时，两名学生通过三个公式以及勾股定理进行了运算，在运算的过程中，其中一名学生将公式中的每一个字母分别对应到了本题中，真正理解了运算对象的内涵，另一名学生利用数形结合的思想，通过勾股定理计算出了弦长，这种运算步骤简单，运算量小，不容易出现错误，是一种较为优化的运算思路.在两道题中，均培养了学生是数学运算素养，并且学生还将运算过程进行了展示，提高了他们的数学交流表达能力，加深了其对相应运算程序及其所蕴含的数学知识的理解^［5］.

3.2 培养学生直观想象的能力

数学中的直观想象属于理性思维，需要借助数学抽象，得到情境中数量关系和空间结构的本质属性^［6］.直观想象素养的核心表现是数形结合思想的形成^［7］，借助几何图形把握数学问题的本质，实现数与形之间的转化，将抽象问题变得简单化、直观化.在代数教学过程中，利用几何图形可以让学生更加深刻的理解其中所蕴藏的涵义，使问题变得更加形象；在几何教学过程中，通过数量关系解决图形问题，可以增加解题的严谨性.

在本节课的第三环节中，教师很好地将数与形结合在一起，使得学生体会到了数形结合的思想方法.该环节要求学生求不同条件下的圆的切线方程，本题难点在于如何确定切线的条数，比如第（2）题，已知圆O：x²+y²=1，切线过P（1，2），求切线方程.如果直接假设切线的斜率为k的话，通过代数运算得出k=?，此时可以得出一条切线，但是如果借助图形进行思考，不难发现P（1，2）是在圆外的，所以过P（1，2）的切线是有两条的.只利用代数运算忽视了斜率k不存在的情况，不能正确地进行解题.在另一题中，已知圆O：x²+y²=1，切线过P（2，1），求切线方程.学生此时考虑到了斜率k存在和不存在的两种情况，通过代数运算得出斜率k存在时，切线方程分别为y=1，4x-3y-5=0，斜率k不存在时，方程为x=2，在平面直角坐标系表示该圆与得出的三条切线就会发现，通过斜率k不存在得出的切线方程是不符合题意的，所以该题的切线只有两条.由图形到代数运算，再由代数运算到图形，进一步检验了解决问题方案的正确性，体现了数形结合的思想方法.数与形二者之间的转化，使得解题更加的严谨，因此，在教学过程中，教师要引导学生用几何的眼光去观察图形，用代数的方法去解决问题，从而培养学生的直观想象素养.

3.3 培养学生逻辑推理的能力

数学推理反映了一种基本的数学思想，并且也是一种主要的数学方法^［8］.逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的思维过程，它主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎^［9］.当前提倡会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，培养学生的逻辑推理素养就是促进学生会用数学思维思考世界的重要力量^［10］，我们应对其加以关注.

在本节课的各个教学环节中，教师都在引导学生进行逻辑推理.在学生知道用代数运算判断直线与圆的位置关系之后，首先建立了平面直角坐标系，写出直线与圆的方程，之后类比直线与直线的位置关系的判断方法，将直线与圆的方程进行联立，并推理出直线与圆的公共点的个数可以等价为方程组实数解的个数.学生联立直线与圆的方程后，通过消元得到关于x或y的一元二次方程，并将其记作*方程.通过教师的引导，学生推出*方程解的个数与方程组解的个数是一样的，进而得出*方程解的个数和直线与圆的公共点的个数也是一样的，所以可以用借助*方程计算判别式Δ并与零相比较，当Δ＜0时，*方程无解，即直线与圆无公共点，属于相离；当Δ=0时，*方程有一解，即直线与圆有一个公共点，属于相切；当Δ＞0时，*方程有两解，即直线与圆有两个公共点，属于相交.在这一过程中，通过严谨的推理，得出可以先计算*方程的判别式Δ，再将其与零相比较来判断直线与圆的位置关系，加强了学生的逻辑推理意识，提高了学生的思维能力，培养了学生的逻辑推理素养.

4 结论

本节课遵循着“导入—新课讲授—应用—小结—练习—布置作业”的步骤，通过教师的引导使得学生掌握了判断直线与圆位置关系的两种方法，并在此基礎上，学生能够解决直线被圆截得的弦长问题以及过一点与圆相切的直线方程问题，初步实现了本节课的教学目标.此外，学生经历了把平面几何问题转化为代数问题，通过代数运算解决代数问题，把代数运算的结果翻译成几何结论的过程，体会了坐标法研究平面几何问题的基本思想，提升了学生分析问题的能力以及总结归纳的能力，增强了数学应用意识，发展了数学运算、直观想象、逻辑推理三方面的数学核心素养.为了使学生深层次的理解数学本质，参与到数学知识的产生、发展过程中，教师可以在教学中融入数学文化，展示数学的人文特征，激发学生学习兴趣.在应用方面，教师可以借助生活情境，使得学生将所学知识应用到生活中去，感受数学的应用价值，体会数学与生活之间的联系.在引导学生掌握知识内容的同时，教师还应注重探索提升学生综合素质的路径，将发展学生的核心素养真正落实在教学中.

参考文献：

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