有限视场下的攻击时间和角度多约束制导律

王江，刘经纬，崔晓曦，范卫鹏

（1.北京理工大学 宇航学院，北京 100081；2.中国兵器工业导航与控制技术研究所，北京 100089；3.西北工业集团有限公司，陕西，西安 710043）

传统的制导律主要用于目标打击，目的是实现飞行器对目标的精确碰撞.然而，现代战争中精确打击任务的需求越来越多样化、复杂化，制导律需要满足越来越多的约束条件，例如攻击角度控制制导(impact-angle-control guidance, IACG)和攻击时间控制制导(impact-time-control guidance, ITCG)，目前关于IACG[1-8]和ITCG[9-15]的研究已有很多.为进一步提升攻击效率，同时控制攻击时间和角度的制导律(impact time and angle control guidance, ITACG)近年来备受关注[16-21]，然而在考虑实际的导引头视场约束时，上述研究的求解框架将不再适用.

实现攻击角度或时间约束，往往需要进行弹道机动，导引头带来的视场角受限问题会严重影响制导性能，若不加限制地进行弹道机动则有可能丢失目标并导致任务失败.特别是对于配备捷联导引头的导弹，其相对于云台导引头的视场较窄，因此考虑导引头的视场约束是不可或缺的.许多文献研究了具有视场限制的IACG[6-8]和ITCG[13-15]问题.然而，针对视场限制条件下ITACG 的研究较少.ERER 等[22]提出了一种基于非线性最优控制框架的ITACG，且考虑了诸如视场和加速度限制等实际需求，但该方法需要具有数值计算的开环过程，这在实际应用中可能会导致制导性能下降.SHIM 等[23]提出了一种无需任何数值程序的ITACG，通过李雅普诺夫稳定性理论保证终端性能，同时考虑了视场等约束.KIM 等[24]提出了一种基于滑模控制方法的视场角成型ITACG，这种制导律依赖于明确设计一个视场角剖面以确保满足期望的攻击时间、角度和视场约束，限制了终端约束的实现精度.唐杨等[25]设计了一种基于两阶段制导算法的ITACG 以导引无人机飞行，并且满足加速度约束和视场限制.虽然以上研究[23-25]所设计的ITACG 为解析形式，但由于它们是基于非线性控制方法而不是在最优控制框架下推导的，在解决最优性问题上会受到一定局限.此外，上述处理方法多是在制导律中引入切换逻辑，这可能导致制导策略切换瞬时加速度指令的跳变，不利于实际使用[23-25].

本文设计了一种新型多约束制导律，在满足导引头视场限制的条件下，同时控制攻击时间和角度.首先基于最优控制理论设计了攻击角度控制项，并解析预测相应的剩余飞行时间.随后利用最优误差动力学设计了攻击时间控制项，使攻击时间误差收敛到0.基于特定的限制函数保证了前置角始终满足视场约束，并严格证明了前置角的有界性及收敛性.最后，通过数值仿真验证了所提出制导律的有效性.本文的创新点在于，采用预测校正的思想，在最优控制理论的框架下，提出了一种有限视场下的攻击时间和角度多约束制导律，与现有方法[22-25]相比，可有效降低能量消耗，无需切换逻辑或迭代计算，具有解析形式且参数物理意义明确，有利于工程应用.

1 问题描述

本节给出了本文要解决的制导问题以及交战双方的运动学模型.在此之前，引入以下几点基本假设：

假设1：末制导过程时间较短，假设导弹速度为常值；

假设2：考虑攻角足够小，即导弹速度方向与弹体轴线重合，则导引头视场角可以近似为前置角[24].

纵向平面内导弹攻击固定目标的制导模型如图1所示，图中XOY为惯性坐标系；vM为导弹速度；aM为制导指令；r为导弹和目标的相对距离； θ 、 λ 和 σ分别为导弹速度倾角、弹目视线角和前置角.

图1 导弹制导模型Fig.1 Missile guidance model

在二维平面XOY上，导弹的运动学方程为

制导的最终目的是准确命中目标，此约束条件可以表示为

式中tF为末导时间.

在保证命中目标的基础上，终端攻击角度约束可以表示为

式中 λF为期望的终端攻击角度.

为了实现对固定目标的同时攻击，攻击时间约束可以表示为

式中td为期望的攻击时间.

为了在制导过程中保持目标锁定，导引头的视场约束可以表示为

式中σmax为导引头最大可用视场角.

综上所述，本文中的制导问题是设计制导律在不违反视场限制式(8)的前提下，同时满足攻击约束即式(5)～(7).

2 制导律设计

本节推导了有限视场下的攻击时间和角度多约束制导律aMΓ，其表达式为

式中：aPNG项用于对目标的拦截；aIAΓ项用于满足终端攻击角度约束；aITΓ项用于实现期望的攻击时间.本节将对此3 项分别进行设计.

2.1 攻击角度控制项设计

根据小角度假设，对式(1)～(4)进行变量代换，可以得到如下系统方程

为了降低控制能耗，考虑弹目距离加权的伪控制量积分型性能指标，其表达形式为

式中：制导增益系数m为不小于0 的常数.当m=0时，制导律实现了能量最优；m>0时，r-m允许控制量的权重随着r趋近于0 而增加.m越大，弹道末端对制导加速度的“惩罚”越厉害，导弹能有额外的控制能力来应付未知的终端扰动.

注1：在式(12)所示的性能指标中，定义权函数W(r)=r-m，伪控制量u=，可将式(12)改写为因此，最小化性能指标J可保证系统的加权控制能耗W(r)最优，由于权函数W(r)>0，最小化J有利于减小相应的攻击角度控制指令，进而有助于降低系统的控制能耗.

边界条件为λ(r0)=λ0,η(r0)=η0和λ(0)=λF,η(0)=0，其中r0、 λ0、 η0分别是r、 λ 、 η的初值.根据庞特里亚金极小值原理，得到开环的最优控制解[26]为

将式(13)代入式(11)，并求解微分方程可得

式中：

将式(13)中的初始状态替换为当前状态，得到闭环形式的最优控制解为

为方便分析，将伪控制指令式(15)分解为

由小角假设，sinσ ≈σ，可用 η表示导弹前置角σ的变化规律.由式(14)可知[27]： η的单调性取决于系数C1和C2的符号，若二者同号， η会单调收敛到0.若二者异号， µ在某些情况下会抑制 η的收敛，图2 所示为当λ0-λF= 70°时，m取不同值的量纲一 η¯ 和 η变化曲线，取归一化变量u=1-r/r0，可以看出 η会先增大然后收敛到0，这可能会使得前置角超出视场限制，造成导引头丢失目标.此外，由式(16)可知，比例导引项u¯控制下的 η¯为单调函数，利于前置角收敛，因此造成初始段 η增大的原因在于u.所以，为避免违反导引头的视场约束，在u中引入限制函数[13]Γ(σ/σmax)以实现：|σmax|→σmax时，Γ(x)→0，使得→0，进而u→，可使σ →0.

图2 不同 m下的量纲一 和 η曲线Fig.2 Normalized and η profiles of different m values

根据上述分析，限制函数Γ(x)满足如下性质：①Γ(x)连续可微，对于任意x∈[-1,1]；②Γ(-1)=0，Γ(1)=0 ，Γ(0)=1.选取满足上述性质的典型函数Γ(x)=其中n>0为控制曲率的系数.不同n下的Γ(x)曲线如图3 所示，由图可知：当|x|<1时，|σ|→σmax越大，Γ(x)→1越接近于1，对攻击约束的限制作用就越弱，且当|σ|→σmax时，Γ(x)收敛到0 的曲率越大.

图3 不同 n下的限制函数Γ(x)曲线Fig.3 Restriction function Γ(x) profiles for various n values

2.2 攻击时间控制项设计

在给定期望攻击时间后，为实现攻击时间的精准控制，必须实时获得时间控制误差.因此，需得到在攻击角度的精确制导律作用下的剩余飞行时间，使用泰勒展开可将式(15)的剩余飞行时间近似为[19]

式(14)表明当r→1时，σ →1，由限制函数定义可知Γ(x)→1，则攻击角度控制指令式(17)～(18)在制导过程中会逐渐退化为式(15)，这意味着虽然初始阶段对剩余飞行时间的估计误差较大，但随着导弹接近目标，式(19)的估计精度会越来越高.

定义当前时刻的攻击时间误差εt=td-tgo-t.将式(19)代入并对时间t求导，整理可得

由于对攻击时间进行控制同样可能造成导引头丢失目标，因此选择式(21)所示的最优误差动力学来处理攻击时间约束

式中K>0为制导增益系数.

解式(21)可得攻击时间误差的解析式为

式中 εt0为误差的初始值.由3.1 节的分析可知，前置角在制导过程中始终满足不等式|σmax|→σmax，可得KΓ(σ/σmax)>0，因此解析式(22)所示的攻击时间误差 εt会在导弹命中目标时收敛到0，即攻击时间误差εt的有限时间收敛上界为导弹飞行时间tF.此外， εt的收敛速度取决于制导增益K：由于tgo/tF≤1，增大K可以提高 εt的收敛速度.

经文献[5]验证，采用式(21)所示的误差动力学可以最小化性能指标式(23)

注2：在式(23)所示的性能指标中，定义权函数

联立式(20)和(21)，可得用于消除攻击时间误差的反馈项为

由式(17)、(18)和(24)，得到有限视场下的攻击时间和角度多约束制导律的表达式为

由限制函数定义可知，当|σ|→σmax时，Γ(x)→0，因此aMΓ→aPNG，这意味着制导律式(25)约束终端攻击角度和攻击时间的能力降低，并且会逐渐退化为导航系数M=2(m+2)的比例导引律，此时前置角在比例导引律的作用下，将单调减小，保证了导弹在整个制导过程中始终满足视场约束.

注3：本文所提制导律(25)由三项和的形式组成，且对此三项分别进行设计.其中，攻击角度控制项对应的性能指标为式(12)，攻击时间控制项对应的性能指标为式(23).定义权函数

因此可将性能指标式(12)和式(23)分别改写为

由于权函数W(r)和W(τ)均大于0 且u和aITΓ均为控制量，可将性能指标式(12)和式(23)统一表示为的形式，这意味着本文方法虽然无法保证全局最优性，但由于权函数W>0，因此最小化J有利于减小制导指令a2，进而有助于降低系统的控制能耗.

注4：本文所提制导律(25)主要包含3 个设计参数：m、K和n.其中，m≥0和K>0为制导增益系数；n>0为限制函数中控制曲率的系数.

3 导弹前置角的有界性及收敛性证明

3.1 有界性证明

本节基于李雅普诺夫函数方法分析导弹前置角在制导过程中始终满足不等式约束(8).

将式(4)对时间求导，并将制导指令式(25)代入，可得

选择关于前置角的李雅普诺夫函数W(σ)=0.5σ2，对时间求导可得

当σ=±σmax时，有Γ(1)=Γ(-1)=0，此时

这意味着当σ=σmax时，σ<0；当σ=-σmax时，σ>0.也就是说，若|σ0|≤σmax，那么在t>0的整个制导过程中前置角始终满足|σ|≤σmax.

②若W˙>0，由于函数W(σ)在区间[-σmax,σmax]上一阶连续可导且满足则存在小的正常数 δ，使得由于σmax-δ ≠0，所以此时=0，这表明 σ在t>0时被限制在区间[-σmax+δ,σmax-δ]内.

综合①和②的分析可知，若初始条件满足|σ0|≤σmax，则本文方法式(25)可使得 σ在t>0时始终满足约束条件|σ|<σmax.

3.2 收敛性证明

观察式(26)可知，由于其包含了非线性项sinσ和Γ(σ/σmax)，故很难求得解析解.本节采用数值法，在不同的初始条件下，选取不同的制导增益系数求解非线性微分方程式(26)，以分析前置角 σ的收敛特性.为便于分析，引入归一化变量ν=t/tF，将式(26)中的自变量替换为 ν，并将攻击时间误差的解析解(22)代入式(26)可得

式中：攻击角度误差ελ=λ-λF；ελ0=λ0-λF为攻击角度误差的初始值； εt0为攻击时间误差的初始值.选取一些特定的初始状态直接求解式(29)，制导增益系数分别取m=0、K=8、n=5以及m=0.5、K=12、n=9，初始条件取 σ0= 0°、30°、60°、90°， εt0= 5、25 s，ελ0= 30°、45°和σmax= 90°.非线性微分方程式(29)的数值解如图4 和图5 所示.

图4 m=0、K=8、n=5下的前置角变化曲线Fig.4 Lead angle profiles withm=0、K=8、n=5

图5 m=0.5、K=12、n=9下的前置角变化曲线Fig.5 Lead angle profiles withm=0.5、K=12、n=9

从图4 和图5 所示的结果可以看出， σ的值在[0°, 90°]之间不等，并不是全过程符合小前置角假设，但当ν →1时，前置角 σ皆收敛为0，这表示所提制导律能够保证导弹在碰撞时刻准确命中目标，因此系统是稳定的.

4 数值仿真

本节通过数值仿真和对比研究，验证提出的制导律式(25)在不同场景下的性能.导弹初始位置(0,0) km，目标位置(20, 0) km，导弹初始前置角 σ0= 30°，速度vM= 300 m/s，最大可用过载amax=10g，控制能量定义为.选择Γ(x)=作为限制函数.

4.1 有效性验证

期望的终端攻击角度、攻击时间和导引头最大可用视场角分别取(λF,td,σmax) = (-60°, 80 s, 45°)、(-75°,85 s, 50°)、(-105°, 100 s, 60°)，制导系数m、K和n分别取0、8 和5，仿真结果如图6 所示.

图6 不同 λF 、 td 和σmax 时式(25)的仿真结果Fig.6 Simulation results of Eq.(25) with a different λF 、 td andσmax

图6(a)～图6(c)分别为导弹轨迹、弹目视线角和前置角变化曲线，可知所提制导律(25)实现了不同的期望终端攻击角度和攻击时间，并且能够将前置角约束在可用范围内.加速度指令和限制函数变化曲线分别如图6(d)和6(e)所示，可以看出当 σ接近边界值σmax时，为满足视场约束，限制函数会迅速减小以降低控制攻击角度和时间的能力，之后，限制函数随着前置角的减小而逐渐收敛至1，说明角度和时间约束项的作用逐渐增强，从而获得期望的终端攻击角度和攻击时间.从图6(c)中进一步观察可知，前置角在整个制导过程中始终小于 λF，并在指定碰撞时刻收敛到0，这与第3 节中的理论分析一致.

4.2 不同系数对制导性能的影响

初始仿真场景不变，期望的终端攻击角度、攻击时间和导引头最大可用视场角为(λF,td,σmax) = (-40°,74 s, 40°)，本文方法(25)中制导系数的选取如表1 所示.

表1 制导系数设置Tab.1 Guidance coefficients setting

图7(a)～图7(c)分别为导弹轨迹、弹目视线角和前置角变化曲线，可知不同制导系数m、K和n下的本文制导律(25)都实现了视场限制以及期望的终端攻击角度、攻击时间.进一步观察图7(c)可知，n越大，前置角越接近边界σmax，因此导弹轨迹在制导初始阶段越弯曲.加速度指令和攻击时间误差变化曲线如图7(d)～7(e)所示，可以看出n和K的取值越大，攻击时间误差收敛得越快，初始加速度指令越大，控制能量消耗也越多.此外，制导增益系数m=0时，所提制导律实现了能量最优，而当m>0时，末端加速度指令趋于0.因此，在实际应用中，应选择合适的制导系数来满足不同的任务需求.

4.3 不同制导律对比研究

本节将所提制导律(25)与另外两种具有导引头视场限制的同时控制攻击角度和时间的制导律进行比较，分别为文献[23]中基于切换增益制导的ITACG(SGG-ITACG)和文献[24]中基于滑模控制的ITACG(SMC-ITACG).

SGG-ITACG 定义为[23]：

式中：增益k取决于 σ的值，定义为

式中：k0、k1和k2为设计参数；Eˆ为预测的攻击时间误差；D为期望的剩余飞行时间.设计参数的取值与文献[23]中相同.

SMC-ITACG 定义为[24]:

式中： σd为导弹前置角的期望值，制导参数分别取k1=0.78，k2=1.

设置攻击约束td= 80 s、 λF= -60°和σmax= 45°，制导增益系数取m=0、K=8和n=5，其他仿真条件不变，3 种制导律的仿真结果如图8 所示.表2 所示为3 种制导律的性能对比.

表2 3 种制导律性能对比Tab.2 Comparison of performances of three guidance laws

图8 3 种制导律仿真结果Fig.8 Simulation results with three guidance laws

由图8(a)和图8(c)可知，3 种制导律都在视场限制下准确命中目标.如表2 所示，3 种制导律均满足了攻击时间和终端角度约束，且误差较小.如图8(d)所示，由于制导律中切换逻辑的引入，SGG-ITACG的制导加速度出现抖振，而SMC-ITACG 需要很大的初始制导加速度且存在指令跳变问题，这都将会导致制导回路的不稳定.相比之下，本文方法式(25)的加速度指令更加平滑.由图8(e)和表2 中的控制能量可知，与SGG-ITACG 和SMC-ITACG 相比，式(25)消耗的控制能量最少，这是因为本文提出的制导律是在最优控制框架下设计的.

5 结 论

针对考虑导引头视场限制的战术导弹攻击时间和角度可控问题，设计了一种由比例导引项、攻击角度控制项和攻击时间控制项三项构成的多约束制导律，分别用于实现命中目标、期望的终端攻击角度和预定的攻击时间.基于限制函数的方法设计攻击角度控制指令项和攻击时间控制指令项，确保了导弹前置角的有界性.所提制导律能够满足攻击时间和角度约束，同时防止前置角超出规定的限制.与现有的基于切换增益制导律和基于滑模控制制导律相比，本文提出的制导律可有效降低能量消耗，不涉及切换逻辑或迭代计算，解析形式且各参数物理意义明确，具有良好的工程应用价值.