一道向量数量积取值范围问题的多角度探究

陈辉坤 毋晓迪 鞠腾基

(广西民族大学数学与物理学院)

求解两个向量数量积取值范围问题,往往会涉及动态几何问题,需要采取“动”与“静”相结合的解题思路,解题难度较大,可以采取向量问题坐标化、基底化思想,或构造图形使其更直观,体会解决向量数量积取值范围问题的基本方法.

题目 已知AB是半圆O的直径,AB＝2,等腰△OCD的顶点C,D在半圆弧AB上运动,且∠COD＝120°,点P是半圆弧AB上的动点,求的取值范围.

分析1 固定△OCD的位置,采取“以静制动”的方法,使点C与点B重合,不影响最值的结果,随之,点D的位置就能固定下来.通过建立平面直角坐标系,可直接写出C,D两点的坐标,同时得到半圆O的方程,根据圆的参数方程,写出点P的坐标,再通过向量数量积坐标运算,把求解的取值范围问题转化为求三角函数的取值范围问题.

方法1 如图1所示,使点C与点B重合,以AB所在直线为x轴,以线段AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系,则半圆O的方程为x2＋y2＝1(y≥0),则点C(1,0),由于∠COD＝120°,则点

图1

设P(cosθ,sinθ)(θ∈[0,π]),则

所以

将几何图形放置于平面直角坐标系中,易求得半圆的一般方程,并利用其参数方程,顺利得到半圆上动点的坐标,最后运用坐标法计算出向量数量积的表达式,彰显用坐标法解决问题的优越性.此外,学生有必要掌握运用三角函数的有界性求解向量数量积取值范围问题的解题方法.

方法3 如图3 所示,取线段CD的中点M,连接OM,OP,PM,即由极化恒等式得

图3

图5

下同方法2.

该方法的切入点是探寻点M的运动轨迹,进而剖析线段PM的最大值和最小值.学生在解决此类问题时,需要联想到:若某线段的长度是定值,该线段的某一端点为固定的点时,另一端点的运动轨迹是圆(或一段圆弧).

分析5 构造圆内接四边形,观察并分析出点P可以在线段OD两侧运动,弧CD对应的圆心角为120°,则弧CD对应的圆周角为60°,点P在弧AB上的运动情况可分为在

弦CD两侧两种位置,根据圆内接四边形的性质,得到与的 夹 角 为∠CPD＝120°或60°,结合余弦定理和基本不等式,可分别求解出|PC|•|PD|的最大值和最小值,实现问题的解决.

方法5 如图6所示,固定点C,使其与点B重合,由圆周角定理知:当点P在弧AD上运动时,记为点P2,此时∠CP2D＝60°,即

图6

该方法的关键点是从构造圆内接四边形出发,厘清点P在圆弧上的运动位置可以细分为两类,这种思路能全面分析动态几何问题,虽然过程稍显复杂,但其中所体现出的研究问题路径值得大家借鉴.

分析6 受方法5的启发,从向量数量积的几何意义出发,基于点P在弧AD和在弧CD运动时的两种情形,分别作投影向量.根据已知的线段长和特殊角的大小,计算出向量数量积的最大值和最小值.

方法6 如图7 所 示,过 点D作DE⊥P2B于E,过C作CF⊥P1D于F,即

图7

该方法利用向量数量积的几何意义,把两个向量数量积的运算转化为一个向量的模乘另一个向量在其方向上的投影.虽然使用此方法对思维要求较高,但是其中所蕴含的数学思想值得大家思考.另外,此种方法计算量小,不容易出错,若在考试中能将该方法应用到求向量数量积问题中,可能会收获意想不到的效果.

(完)