聚焦立体几何与其他知识的交会

张立芳

(贵州省都匀第一中学)

在知识点交会处命题,是近年各类数学试题设计的特色,有利于考查学生对相关知识的综合运用能力.基于此,本文着重通过归类举例的方式,具体说明立体几何与其他知识常见的交会问题,旨在进一步提高学生的空间想象能力以及综合运用能力.

1 立体几何与归纳推理的交会

例1 已知ABCD-A1B1C1D1为单位正方体,黑、白两只蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为“走完一段”,白蚂蚁爬行的路线是AA1→A1D1→…,黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→…,它们都遵循如下规则:所爬行的第i＋2段与第i段所在直线必须是异面直线(i∈N∗).设黑、白蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处,这时黑、白两只蚂蚁的距离是________.

如图1 所示,由题意知白蚂蚁爬行的路线 为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA,即过6 段后又回到起点,可看作以6为周期,由2020÷6＝336…4,白蚂蚁爬完2020 段后回到点C.同理,黑蚂蚁爬行的路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA,黑 蚂 蚁 爬 完2020 段 后 回 到点D1.

图1

综上,黑、白两只蚂蚁的距离是2.

本题设计比较好,具有较强的创新性.试题以熟悉的正方体为载体,侧重考查了异面直线与归纳推理的综合运用,解题关键是先根据图形获得黑、白蚂蚁爬行的路线具有周期性,再利用周期性简捷求解目标问题.

2 立体几何与古代数学文化的交会

例2 如图2所示,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为________.

图2

图3

本题将金字塔中所蕴含的空间几何关系进行恰当挖掘,充分彰显了古埃及数学文化的源远流长,展示了巧夺天工的古代建筑,试题能够让广大考生进一步体会到古代埃及文明的无比璀璨.

3 立体几何与基本不等式的交会

易知圆锥侧面积最小时,圆锥的侧面和底面都与球相切.如图4所示,过球心作截面,设圆锥的底面半径CD＝R,母线长AC＝l,内切球的半径OE＝r.根据小球的体积为,可得其半径r＝1.因为△ABC的内切圆的半径

图4

本题对空间想象能力的考查较强,为了保证圆锥侧面积取得最小值,首先要满足圆锥的侧面和底面都与球相切,据此数形结合可获得等量关系式,然后进行适当换元,再运用基本不等式,巧求目标最小值.

4 立体几何与函数图像的交会

例4 如图5所示,在棱长为1的正方体中,E,F,G,H分别为A1B1,C1D1,AB,CD的中点,点P从G出发,沿折线GBCH匀速运动,点Q从H出 发,沿 折 线HDAG匀速运动,且点P与点Q运动的速度相等,记以E,F,P,Q四点为顶点的三棱锥的体积为V,点P运动的路程为x,在0≤x≤2时,V与x的图像应为( ).

图5

图6

本题设计比较创新,具有一定的难度,试题将有关立体几何知识与分段函数的图像进行了有机融合,侧重考查了“数形结合思想”“分类与整合思想”在解题中的灵活应用.

(完)