用坐标法解题——以近几年强基计划校考试题为例

李 勇

(贵州省息烽县第一中学)

强基计划校考试题一般都有一定的难度,对考生的要求比较高,因此考生在解题时选择正确的方法解答就显得非常重要了,如果方法选得不好,就会遇到大量运算,消耗大量时间,而且还不一定能得出结果,如果方法选得好,可能会减少运算,耗时较少,正确率也较高.本文以近几年的强基计划校考试题为例,说说坐标法在求解向量问题、三角形问题、立体几何问题等方面的应用.

例1 (2022年复旦大学)已知|a|＝4,|b|＝2,,求|b－c|的最小值.

如图1所示,建立平面直角坐标系,则a＝(4,0),b＝(1,3).

图1

方法1 设c＝(x,y),由c2－a•c＝5,得x2＋y2－4x＝5,则(θ为参数),所以

本题的已知条件给出了两个向量的模长和它们的夹角,具备建系的条件,因此我们可以考虑用坐标法来解答此题.为了减少运算量,我们把两个向量的起点作为坐标原点,把其中的一个向量放在x轴上,这样一来,a,b的坐标都很容易求出,而且结果还非常的简洁.接下来先设出c的坐标,然后根据题目的条件得到c的坐标满足的条件x2＋y2－4x＝5,再用参数法或几何意义法求解.

例2 (2022年上海交通大学)已知|a|＝|b|＝,则(a＋b)•(2b－c)的最小值为( ).

由|a|＝|b|＝1,可得‹a,b›＝60°.如图2所示,建立平面直角坐标系,则a＝(1,0),

图2

方法1 设c＝(x,y),则x2＋y2＝1,所以,(θ为参数),故

方法2 设c＝(x,y),则x2＋y2＝1,故

本题给出了两个向量的模长,没有给出它们的夹角,但却给出了它们的数量积,我们可以通过它们的模长和数量积计算出它们的夹角(或余弦值).这样一来就具备了建系的条件,所以我们考虑用坐标法来解答此题.为了减少运算量,我们把向量a,b的起点作为坐标原点,a所在的直线为x轴建系.接下来先设出c的坐标,然后根据题目的条件得到c的坐标满足的方程x2＋y2＝1,最后用参数法或平移法求解.

例3 (2022 年上海交通大学)已知△ABC,M为平面内的一点,( ).

由题意不妨设△ABC为等腰直角三角形,且AB＝AC＝1.如图3 所示,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,1).设M(x,y),则.因为

图3

所以

本题是三角形与向量的综合问题,试题对三角形的边、角没有什么条件限制,因此我们可以把三角形特殊化,用特殊取代一般,这样就使得问题简单了.这是求解选择题、填空题常用的一种思想和方法.由条件,不妨令A＝90°,AB＝AC＝1,这样就可以用坐标法来解答本题.接下来先设出M的坐标,根据已知条件算出M的横、纵坐标,然后计算出△ABM和△ACM的面积,进而计算出△BCM的面积,即可求解本题.

例4 (2020年武汉大学)设圆O的半径为3,其一条弦AB＝4,P为圆O上任意一点,则的最大值为( ).

A.0 B.1 C.3 D.4

以AB的垂直平分线为y轴,以与AB平行且过圆心O的直线为x轴,建立如图4所示的平面直角坐标系,则A(－2,－ 5),B(2,－ 5).

图4

图5

图6

图7

图8

本题是圆与向量的综合问题,具有一定的难度,不过我们可以根据圆的对称性来建立坐标系,把两个向量的数量积的最大值问题转化成代数式的最大值问题.

例5 (2020年上海交通大学)已知边长为a的正△ABC,D,E分别在边AB,BC上,满足AD＝BE＝a,连接AE,CD,则AE与CD的夹角为________.

方法1 是向量法中的“非坐标法”,构造向量,然后利用向量的数量积公式求解.方法2是坐标法,先根据条件建立平面直角坐标系,然后求出有关点的坐标,以及直线AE和CD的斜率,最后用夹角公式求解.

例6 (2021年复旦大学)AD是△ABC的角平分线,AB＝3,AC＝8,BC＝7,求AD的长.

因为∠BAC的角平分线交BC于点D,所以

本题是纯粹的解三角形问题,因此绝大多数的学生首先想到的是用正弦、余弦定理配合角平分线的有关性质来解答,但是使用它们解答,不仅运算量大,而且涉及的知识点多,特别是角平分线的有关性质,许多学生是不知道的,因此不易下手.不过本题也没有那么复杂,因为本题涉及的∠BAC可用余弦定理求出来,因此我们可以建系,用坐标法来解,这降低了试题的难度,提高了解题的效率.

例7 (2022年上海交通大学)空间中到正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1,AB,CC1距离相等的点有( ).

A.无数个 B.0个 C.2个 D.3个

点P到棱AB的距离为

P到棱A1D1的距离为

P到棱CC1的距离为

所以

解得x＝y＝z,所以点P的轨迹为直线DB1,所以有无数点,故选A.

在求解以正方体为背景的立体几何问题时,我们可以优先考虑建系,用坐标法来解决,这样可以降低解题难度,提高解题效率.

例8 (2022年南京大学)在棱长为6的正四面体ABCD中,M为平面BCD上一点,且|AM|＝5,设异面直线AM与BC所成角为θ,则cosθ的最大值为.

求两条异面直线所成角,一般有三种方法.一是平移法,即先把两条异面直线平移成相交直线,然后构造三角形,最后解三角形即可.二是向量法中的“非坐标法”,构造向量,然后得出目标向量,最后代入向量的数量积公式中求解.三是向量法中的坐标法,它需要先建立空间直角坐标系,然后求出两条异面直线的方向向量,最后代入两条异面直线所成角的公式中,即可求解.

(完)