二次函数不同表达式的求解思路分析

赵亚文

【摘  要】  二次函数既是初中数学的重要内容，也是学生们学习的难点之一.作为基本要素之一，二次函数的解析式是打开函数世界的一把关键“钥匙”，因此解析式的求解是学习的关键与重点.常见的二次函数解析式形式有一般式、顶点式、交点式，掌握所有表达式对应的解题思路和方法，才能够提高解题效率，达到解题目的.本文主要对三种不同的二次函数表达式问题进行分析，通过例题得到一些解题的通法，提供给更多经验以便学生学习和思考.

【关键词】  初中数学；二次函数；解题技巧

1  一般式

形如的表达式被称为二次函数的一般表达式，是三种不同表达形式中最基础、最常见的一种形式.待定系数法是解答二次函数一般式的常见方法，即找到三组已知的点坐标，将对应的代入解析式中，通过解三元一次方程求出具体的值.

解答二次函数一般解析式的具体步骤为：①根据已知条件找到函数上具体的三个点坐标，假设函数解析式为；②将坐标中值代入假设的解析式中，得到三元一次方程；③运算求得大小，即可得知二次函数的具体解析式.

例1  如图1，二次函数（）图象与轴交于两点，与轴交于点，则二次函数的解析式为_____.

剖析  没有在问题中给出明确的坐标，首先需要结合图形找出经过函数的三个具体坐标值，其次将这些坐标代入解析式中，解三元一次方程组即可求得函数的一般形式解析式.

解析  由图1可知二次函数经过、、三点，

将其代入解析式中，

可得，

解方程组可知，

故抛物线解析式为.

2  顶点式

形如（）被称为二次函数的顶点式，也是初中数学常见的一种二次函数表达形式，求解该解析式需要明确顶点坐标和其他点坐标，将其代入假设的顶点形式解析式中，求得的大小，即可得知具体的函数解析式.

求解二次函数顶点式问题，具体解题步骤为：①假设二次函数解析式为；②根据所给条件和已知图象，代入假设的解析式中得到方程组；③运算求出的大小，即可得知具体的顶点式.

例2  如图2所示，点在函数图象上，已知△是边长为的等腰直角三角形，求该二次函数的解析式.

剖析  首先假设函數解析式为顶点式，其次结合三角形的结构特点和已知对称轴求出顶点坐标，将的具体坐标值代入假设的解析式中，求得的大小，即可得知具体二次函数解析式.

解析  如图2所示，二次函数的对称轴为，

假设函数解析式为（），

因为△是边长为的等腰直角三角形，

所以，

此时点、，

代入解析式中可得：，，，

故二次函数解析式为，

即.

3  交点式

形如的解析式被称为二次函数的交点表达式，其中对应函数与轴的交点.作为常见的一种二次函数解析式，求解时需要知道交点坐标和其他任意一点坐标，即可对解析式做出解答.

求解二次函数的交点形式解析式，具体解题步骤为：①假设二次函数解析式为交点形式；②根据所给条件，找出与轴相交的两点坐标和其他一点坐标；③将坐标值带入假设的解析式中，求出的值，即可求得具体坐标解析式.

例3  已知一元二次方程的两个实数根，且，若分别是抛物线与轴的两个交点的横坐标（如图3），且抛物线与轴交于点，求抛物线的具体解析式.

剖析  抛物线与轴相交的两点对应方程的两个实数根，首先假设抛物线解析式为交点形式，解方程求出两个交点坐标，代入解析式中求得的值，其次根据点求出的值，即可得知函数的具体解析式.

解析  假设二次函数解析式为（），

因为是方程的两个实数根，

因为，

所以，，

因为经过点，

所以，

解得，

所以二次函数解析式为，

即.

4  结语

通过上述例题分析，一般式、顶点式、交点式都需要找到具体点的坐标，将其代入假设的解析式中运算，即可求得具体函数表达式.三种不同形式的函数表达式分别展示了二次函数解析式求解的不同思路，每一种表达式对应的点坐标各不相同，且都是学生们必须全部掌握和学习的重点内容.学生们在实践过程中，需要结合其他知识点求坐标具体值，因此熟练掌握基本知识点，是解答函数解析式问题的基础与关键.

参考文献：

[1]何光源.浅谈求二次函数的解析表达式[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2009（S1）：91-92.

[2]李大平.课堂随笔——灵活运用二次函数的表达式求二次函数的解析式[J].新课程学习（基础教育），2011（01）：277.

[3]李代莉.浅谈巧设二次函数的表达式[J].中学数学教学参考，2015（27）：95.