基于整体观的等腰三角形单元教学设计

潘丽莎

【摘  要】  教师在使用教材时要充分尊重但不能盲从，必要时需对教材内容的编排进行优化设计，以满足学生的理解及思维发展需求，落实学科素养.等腰三角形单元的课堂教学容易出现内容割裂、衔接不自然、活动安排突兀的问题，为了避免出现知识呈现碎片化、探究操作浅表化的问题，教师就要运用整体观理解教材的编排思路、寻找逻辑关系，从整个知识体系上把握呈现顺序，必要时需对课时内容进行适当调整.

【关键词】  初中数学；教材优化；课堂教学

1  问题的提出

近期，笔者连续听了两节等腰三角形的轴对称性第三课时的课堂教学.教材是苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“2.5等腰三角形的轴对称性”.经过对教学过程的观察，发现其教学中存在一些问题.进一步研究发现，教材内容的呈现方式深深地影响着教师的教学行为.经过深入研究，发现对教材中的这部分内容的编排和设计可以做优化和重构.

2  课例研究

2.1  两个课例的教学基本思路

（1）复习回顾，知识再现

提问：上节课我们学习了什么？（如何判断一个三角形是等腰三角形？）

通过复习，唤起学生的记忆，引出第一个主题：应用判定方法解决问题.

（2）例题示范，变式拓展

教师给出书本第64页的例题2：

已知：如图1，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：AB＝AC．

首先教师示范分析问题的方法和途径，并示范证明过程.其次，利用教科书上的思考环节，进行变式教学，追问你能否改变条件或结论，形成新的问题？教师最后归纳.

（3）折纸活动，操作探究

教师按教科书的设计程序要求学生先操作折纸，尝试把一张直角三角形纸片按图2—5要求折叠，抛出第二个主题：探究——猜想直角三角形斜边中线的性质.

（4）演绎推理，归纳性质

教师引导学生将猜想的结论进行分析并证明，简要写出过程.两位教师一个是按照教科书的构造方法加以证明的，即在∠C的内部做∠BCD=∠B，然后证明∠ACD=∠A，此时说明了两条折痕交于一点的原因，从而归纳出直角三角形斜边上的中线性质.另一个教师是由折叠得到线段BD=CD，得出∠BCD=∠B，利用等角的余角相等得∠ACD=∠A，从而知道AD=CD.

（5）应用性质，归纳总结

2.2  课例中存在的问题

（1）知识呈现碎片化

课下与这两位教师所在的备课组座谈交流，他们均表示，这一节课内容不好衔接，第二个教学环节让学生感到很突然，前面应用等腰三角形的判定解决问题，后面突然绕道直角三角形折纸，不能自然、合理的进行数学思考.他们认为例2的作用仅是等腰三角形判定方法的应用，随后的变式就是为了归纳一种基本图形：角等分+平行=等腰三角形.而后半程的直角三角形性质的探索与前面没有关联.

（2）操作探索浅表化

课例中的教学第二环节，两位教师都说：请同学们拿出课前准备的直角三角形纸片，按书本的方法进行折叠.这种浅表化的实验操作源于教师没有深入思考为什么这个环节要安排在等腰三角形的判定应用之后？研究直角三角形的斜边中线性质与等腰三角形的有机联系是什么？为什么要折叠？为什么要这样折叠？为什么拿出的是直角三角形纸片？而不是其他斜三角形的形状？如何衔接？

3  剖析原因

3.1  融入整体理解教材

在教师的眼里之所以本节课内容割裂、没有关联，其原因之一在于教师.教师没有从单元的整体结构研究本课时的作用，没有前后联系找到合适的呈现顺序，更没有基于学生已有知识经验自然生成，只是教教材.

《课标》要求：“把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系处理好局部与整体的关系，引导学生感受数学的整体性”.在实施教学时，教师要处理教材、学生、学习环境几个要素的关系.备教材应站在整体的高度上理解教材.苏科版教科书中本单元是以等腰三角形为主题，而等腰三角形的研究又在轴对称的大体系之下.如果从这种关联性出发，则需要设计与轴对称、等腰三角形有关的问题链条形成研究路径，让学生沿着等腰三角形的研究路径，自然合理地发现问题，而不是突然地动手折纸、探究.所以教师需要以系统和整体的观点思考，从轴对称的视角、依托等腰三角形的性质及判定来筹划、制定本节课的教学设计.

3.2  重审教材编排思路

但若深究原因，两位教师不在同一学校，课前没有沟通，但教学设计的程序却相似，出现的问题也是一样的.那么他们的困惑来源于哪里呢？这要回到教材里找原因.

“教材對教师的教学行为具有重大影响，教材的编写责任重大，需要不断研究并改进教材的建设，使之能承担起引领教师的数学教学，促进数学教学发展现实的核心素养，落实数学育人的使命.”对于等腰三角形的轴对称性，不同版本的教材都是放在轴对称的体系下，体现了应用轴对称来研究新问题的编写意图.而直角三角形斜边上的中线性质有的版本是在等腰三角形单元里研究（苏科版），有的版本放在特殊的平行四边形之后学习（人教版、北师大版），有的版本是将直角三角形自成单元研究（沪教版、浙教版）.按《课标》要求，直角三角形斜边上的中线性质是放在全等和轴对称图形的研究的后面，明确运用全等、等腰三角形知识探索并证明这个性质.不同版本教材对于直角三角形的性质探索方式基本有两种：一种是直接给出定理内容，让学生加以证明；另一种是设计操作性研究，体现定理的探索过程.无论哪一种呈现方式，证明的思路都是利用构造全等图形、构造角的转化思想，与等腰三角形并无紧密、直接关系.这是造成教师逻辑链断裂的原因，所以不能自然合理的探索直角三角形斜边上的中线性质.

4  对本单元内容设计的改进建议

4.1  反思编排顺序

重新审视本单元的教材，可以调整编排顺序：第三课时的例2可以前置于第二课时的等腰三角形的判定里学习，原第二课时里的等边三角形是特殊的等腰三角形，可以作为更特殊的轴对称图形放在第三课时学习研究，原第三课时的直角三角形性质作为可转化成轴对称图形的特殊图形去探究.即第一课时等腰三角形性质及应用探究，第二课时等腰三角形判定方法探究，第三课时等边三角形探究，第四课时直角三角形探究.

4.2  基于整体观的设计

站在轴对称知识的体系中，作为等腰三角形研究的自然延伸，运用数学实验研究方法，对于直角三角形探究设计建议如下.

课题  直角三角形探究

课前准备  如图6中的等腰三角形纸片、直角三角形纸片各一张、斜三角形纸片两张.

问题设计：

（1）拿出一张等腰三角形纸片①，将其翻过来，仍旧和原图形重合；为什么？

（2）拿出一张其他三角形纸片②③④，将其翻过来，与原图形重合吗？为什么？能否把它们进行分割再翻过来与原图形重合？

思考下面的问题：

（3）能否剪一刀，将纸片②③④剪成两个三角形，其中一个是等腰三角形？

（4）在第3问的基础上，观察另一个三角形的形状.说出你的发现.

（5）比较同组其他同学，你们的发现一样吗？

（6）纸片②③有没有这种特殊性？请讨论研究“所有的直角三角形都能有这种特性”吗？为什么只有直角三角形可以？

（7）回顾剪纸过程，将剪开的三角形再拼合成原图形直角三角形纸片④，观察分割线的特点并思考，能证明另一个三角形的形状吗？引导学生在练习本上画图，独立思考、证明.继而归纳性质.

（8）经过证明剪出的两个三角形都是什么形状？此时的纸片④，经过分割，再把每一部分翻过来可以与原图形重合吗？

（9）思考：纸片②③能否经过分割，再把每一部分翻过来，与原图形重合吗？学生再次动手操作.

（10）如果给你一张任意四边形纸片呢？学生尝试实验，展示方法.

5  结语

通过上述探究过程，把直角三角形斜边上的中线性质的发现、提出、证明过程融合到轴对称的框架下的等腰三角形的深化研究活动中，体现了探索三角形形状就要研究其构成的要素的数量关系.这样，既可以让学生经历自然合理的观察、动手、发现、归纳的抽象过程，又是几何图形研究的一般路径的再现，有利于发展学生的数学探究意识、积累思考活动经验.

【本文是江苏省中小学教学研究课题2021年度第十四期重点课题《初中生数学建模素养培育实践研究》（2021JY14-ZB83）阶段性研究成果之一】

參考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］吴增生.三角形中位线定理教材设计之我见［J］.中国数学教育（初中版），2018（23）：3-5+10.

［3］章建跃.从整体上把握好教学内容［J］.中小学数学（高中版），2010.3.封底.

［4］王红权 李馨.从系统的观点看一元二次方程的解法教学设计［J］.数学教育学报，2019，28（03）.94-97.