关于初中二次函数面积最值问题的研究

廖金姐

【摘  要】  本文旨在深入研究有关二次函数面积最值问题的解题思路.以一道中考题为例，通过不同的方法来解答此类问题，以帮助读者应对各种二次函数中的面积最值问题.

【关键词】  初中数学；二次函数；最值问题

例题  如图1，抛物线交轴于两点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）设（1）中抛物线交轴于点，问：对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

（3）如图2，在第二象限内的抛物线上是否存在点，使的面积最大？若存在，求点坐标和最大面积；若没有，说明理由.

解  （1）由抛物线过，

得，

解得

所以抛物线的解析式为.

（2）由已知得两点关于抛物线对称轴对称，

所以直线与直线的交点为，此时的周长最小，

令，可得.

故，又，

所以.

故直线，

求得.

（3）方法1  补形、割形法

分析  把所求图形进行适当的补或者割，转化成可求面积的图形，进而求出其面积.

解法1  如图3，

设点，

因为

，

又因为

，

当时，

所以

所以.

解法2  如图4，

设点，

，

当时，

所以.

方法2  铅锤定理：“铅垂高，水平宽”面积法.

分析  如图5，面积=铅锤高度×水平宽度÷2.

解  如图6，设点，

.

当时，

所以.

方法3  切线法

解  如图7，直线：，

过作，设，

联立：，

所以.

即.

因为，

得.

此时的高最大，

.

所以

总之，上述三种方法可帮助解决各种二次函数面积最值问题及其相关问题.这将有助于讀者更好地理解和应对二次函数中的面积最值问题，提高他们的数学问题解决能力.

【课题项目：南宁市教育科学研究所，南宁市教育科学“十四五”规划2022年度课题“初中数学学科课程思政的研究与实践”，课题编号：2022C460】

参考文献：

[1]郑振兴.从竞赛角度解二次函数图象中三角形面积的最值问题[J].中学生数学（初中版），2019（10）：30-31.

[2]岑达康，汪志波.最佳平方逼近的多元二次函数最值问题[J].佛山科学技术学院学报（自然科学版），2020，38（06）：15-17.

[3]区慧英.刍议自主学习模式下初中数学分层教学的实施——以《二次函数中三角形面积最值的问题》为例[J].中国多媒体与网络教学学报（下旬版），2019（07）：244-245.

[4]姜艳.二次函数图像中最值问题的突破——以一道中考模拟压轴题的演变为例[J].数学之友，2020（04）：80-81.