一道中考数学题的解题总结与反思

赵黄婧

【摘  要】  平面几何是初中数学的重要内容，是培养学生直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养的良好素材.探索解题策略，掌握基本模型，才能提高解题能力.本文以2022年江苏省无锡市中考数学试题的第27题为例，探究解题方法，总结高频易错点，发现教学启示，进一步促进教师和学生的教与学.

【关键词】  初中数学；一题多解；解题教学

1  试题呈现

例题  如图1，已知四边形ABCD为矩形，AB=2，BC=4，点E在BC上，CE=AE，将△ABC沿AC翻折到△AFC，连接EF．

（1）求EF的长；

（2）求sin∠CEF的值．

2  思路分析

2.1  利用已知三角形，求线段长度

在△AEF中求EF，需证明∠EAF=90°；在△ABE中勾股定理，求AE；在△AEF中勾股定理，求EF.其中，证明∠EAF=90°有多种方法.

解法1  “结合角平分线与等腰三角形”.

由翻折得∠AFC=90°，∠ACF=∠ACB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

故∠ACF=∠CAE，AE∥CF.

故∠EAF=90°.

解法2  “转化”.

由翻折∠CAF=∠CAB，

由CE=AE得∠ACB=∠CAE，

∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠CAB+∠ACB=90°.

解法3  “设未知数”.

设∠ACF =∠ACB =∠CAE=x°，

∠CAF = 90°-x°，

故∠EAF =∠CAF+∠CAE= 90°-x°+ x°= 90°.

2.2  构造直角三角形，求三角函数值

作FH⊥BC，交BC于H，只要求FH.

解法1  “勾股定理”.

设EH=y，在Rt△CFH和Rt△EFH中，两次利用勾股定理表示FH，联立方程组.或作CH⊥EF，交EF于H，用类似方法表示CF.

解法2  “等积转化”.

由AE∥CF得，S△CEF=S△AFC，CE·FH=AF·CF，直接求FH.

解法3  “割补法”.

S△CEF=S△ABC+S△AFC-S△AEF-S△ABE，再求FH.

2.3  遇到直角，构造K型相似

如图2，由翻折∠AFC=90°，延长CD，过点F作FM⊥CD交CD于M，延长MF与BA交于点N.易证△ANF∽△FMC，设AN=MD=x，由相似可求x，以及相关线段长，再在Rt△EFH中，利用勾股定理.

构造K型相似，也可设两个未知数，列二元一次方程组.

2.4  遇到矩形，建立直角坐标系

如图3，以AB为x轴，AD为y轴建立坐标系.易求AC表达式.由翻折，AC垂直平分BF，KBF· KAC=-1，結合点B坐标，由点斜式求BF表达式，联立方程，求交点坐标.

G为BF中点，由中点坐标公式，可求点F坐标.在△ABE中用勾股定理，求BE，再用两点间距离公式求EF.

3  解题思考

3.1  高频易错点

（1）未证明∠EAF=90°，直接用勾股定理，思维不严谨；

（2）误以为△AEF为等腰三角形，从而EF=，没有注意审题；

（3）将正弦值误算成tan∠CEF，由tan =得=30°，基本知识不过关；

（4）结果化简错误：，.

结果正确未化简，EF=，sin∠CEF=，sin∠CEF=，计算能力薄弱.

3.2  培养数学核心素养

（1）考查运算能力

新课标指出，运算能力主要是根据法则和运算律进行正确运算的能力，有助于形成规范化思考问题的品质，养成严谨求实的科学态度.二次根式的计算，很多学生出错，原因是平时习惯于听思路问答案，不动手计算，所以要养成勤动手的习惯.

（2）考查几何直观

新课标指出，几何直观主要是指运用图表分析问题的意识与习惯，有助于把握问题的本质，明晰思维的路径.初中阶段许多数学内容都离不开“数”与“形”的特质.利用几何直观，把握图形本质特征，探索解决问题的最佳途径.

（3）考查模型观念

几何模型是将常见的简单图形结论化、方法化，作为综合题目的“基本单元”，在培养学生的几何直观、逻辑推理、空间观念等核心素养中起到关键作用.遇到直角构造K形相似，解决线段的计算；遇到矩形可建立坐标系，从点到线进行求解.

3.3  教学启示

（1）建立结构，加强理解

数学教育家裴光亚先生说，数学复习的方法，就是要把局部知识按照某种观点和方法组织成整体，将所学知识系统化，这样才便于存储、提取和应用.以专题形式将知识点系统化，以知识网的形式呈现知识之间的联系，加强学生的理解和应用能力.

（2）总结技巧，提升技能

达尔文说，最有价值的知识是关于方法的知识，而“一题多解”及解题后的反思是学习数学解题方法的有效途径之一.初中几何几大解题方法：勾股定理、面积法、相似或全等，有时也可构造坐标系.通过一题多解，探索最佳解题策略，实现多题一解，有助于学生多角度深层次理解题目，形成科学的思维品质和能力.

（3）归纳错点，对症下药

若教师只讲正确答案，部分学生可能一知半解，归纳高频错点对症下药，明确知识盲点，才能提高解题能力.

4  结语

本题注重基础，培养运算能力、几何直观、模型观念等核心素养，充分体现新课标的要求.中考试题具有引领作用，指导一线教师继续研究数学课程标准，研究解题策略，从一题多解中寻求最优解，从而促进教师和学生的共同进步.