使“美丽”的错误绽放“绚烂”的思维之花——初中数学纠错案例分析

文| 顾 艳

学生在初中数学解题过程中容易出现一些错题，教师通过对错题的收集与分析，有利于更好地找出学生出现错题的原因，从而给予学生相应的改进对策。学生应当尝试从多个角度思考问题，提升分析问题和解决问题的能力，坚持不懈地学习，相信自己能够克服困难，取得更好的数学成绩。

一、初中数学典型易错题出现的原因

（一）对公式、定理、图形语言的理解存在不足

数学术语是数学解题的基础，很多学生在面对数学题目时，往往由于对基本数学术语不熟悉而难以顺利解题。公式和定理是初中数学的重要组成部分，但很多学生在解题时对公式和定理理解不足，导致无法正确应用，或者解题速度缓慢。图形语言是数学解题中常用的工具。学生通过图形能够更加直观地理解数学概念和理论。然而很多学生在解题时往往对图形语言理解不透，导致无法正确利用图形解决问题。

（二）缺乏方法，死记硬背

解题方法是解决数学问题的关键，但是，很多学生在解题时往往因为对解题方法掌握不全，导致无法顺利解决问题。初中数学中有很多常用的数学知识和概念，如代数、函数、方程、不等式等，学生在数学知识学习与解题时，缺乏方法，死记硬背，未能通过不断的积累和实践，深入理解数学知识的含义和应用方法。

二、初中数学典型易错题的纠错指导

（一）善于变通，吃透概念内涵

在学习数学术语时，学生应当记住每个术语的准确含义，了解术语的背景和应用场景，通过大量的练习加深对术语的理解。学生应当深入理解公式和定理的背景和推导过程，了解公式和定理的应用范围和局限性，通过练习加深对公式和定理的理解和记忆。在解题过程中，教师要培养学生通过图形语言理解数学概念和理论的能力，引导学生掌握常见图形的特点和用途，学会根据题目要求绘制正确的图形，并通过练习加深对图形语言的理解。

（二）全面审题，灵活运用数学知识

在解题时，学生应当学会抓住题目中的关键信息，理解题目的真正意图。在解题前学生必须反复阅读题目，准确理解题目要求，全面理解题意后再进行解题。通过审题，了解题目的结构与特点，学会把握题目的重点和有用信息，通过大量练习提高阅读理解能力。

（三）利用错误，挖掘学生的探究因子

教师通过分析错题可以培养学生的探究因子与抽象思维能力，使学生学会如何将具体的问题抽象化，通过大量的习题练习加深对抽象思维的理解和应用。为了加深学生对初中数学知识的理解，教师可利用错题引导学生探究推导过程和使用条件，通过多种角度理解和记忆数学知识，如文字描述、图形解释和实例演示等，针对数学知识的运用进行专项训练，让学生熟悉解题过程中常见的问题和解决方法。

教师要引导学生分析出现错题的原因，如对数学概念理解不准确、解题方法错误、计算失误等。通过分析错题原因，找到薄弱环节，有针对性地进行学习和提高。学生在分析错题原因后，找到解题的关键，如有些题目应当根据题目所给的条件，运用数学概念或定理推导得出答案，有些题目可以通过画图、列表等方式将问题简化。

教师还要引导学生探究多种解题方法，针对同一道错题，尝试多种不同的解题方法，如常规解法、简便算法、数形结合等，让学生更好地理解题目，提高其解题能力与思维灵活性。对于一些探索规律性的问题，学生可以通过不完全归纳法，尝试、猜想、试误验证、总结、归纳等过程，直接观察或得出结果。根据题目中的条件，学生可以选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题注意所选取的值符合条件，且易于计算。

三、初中数学易错题案例分析及指导

学生解法：

原式=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8

解题分析：上述解题失误，学生张冠李戴，把分式运算当成了解方程，显然是错的，但是这也给我们提供了一种新的启发与思路，我们是否能够利用解方程的方法解该题目呢？

在教师的引导与启发之下，学生形成了以下解法：

将该式去分母得出：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-4）

学生在做题之前应当明确题目所给的条件和要求解决的问题，以及涉及的知识点和公式等，避免主观臆断和假设条件。学生在做题时要学会灵活运用不同的思路和方法进行分析和推理，多做练习并积累经验，通过大量的练习和积累经验提升解题能力与思维水平。

例题2：如图1，AD 和AE 分别是△ABC 的内、外角平分线，且∠ACB-∠B=90°.

图1

求证：AD=AE.

解题分析：解题时，思考怎样说明AD=AE 呢？说明两条边相等有哪些方法？有时解题受阻的原因并非知识缺乏，而是没有建立正确的解题策略，盲目解题，使得解题陷入混乱，导致错误。

本题中，为了正确解题，选择运用等角对等边进行解题。结合已知条件计算∠ADC 和∠E，用已知角进行表示，把已知条件转化为角的关系式。解题时不要局限于答案本身，而是要弄清选用何种解题方法，展现思路尤其是思路的寻找过程，注重学习过程，注重内化学习，注重体验反思，提高学生数学素养。在解数学题目时，学生要仔细审题，确保理解题目所要求的内容。在解题时，能够正确使用相关的数学公式，进行必要的计算和化简，并检查答案是否符合实际意义。若发现错误，及时分析错误原因并纠正。

错题分析：该题目解错的根本原因在于忽视了一元二次方程的二次项系数1-2k≠0 这个隐含条件，未对题目涵义进行深入挖掘，未能把握一次项系数这个条件。

正解：∵原方程存在两个不相等的实数根，∴-4k+8＞0，∴k＜2．

结合原方程中，1-2k≠0，k+1≥0，∴k≥-1 且k≠

由此得出正解。

初中数学解题中，对于一元二次函数知识点，许多学生由于概念理解不准确、解题方法不当等原因，常常出现错误。初中数学一元二次函数主要研究的是形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数。其中，a、b、c 为常数，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 为常数项。函数图象是抛物线，其性质包括对称性、最值等。一元二次函数常见错题类型有图象理解不准确。例如，请画出y=2x2+4x-5 的图象，并说明对称轴和顶点坐标。

错题分析：此题出错往往是因为对抛物线图象的形状和性质理解得不够准确。y=2x2+4x-5 的图象是一条开口向上的抛物线，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1，-7）。

若对概念运用不熟练，也可能导致解题错误。

例题4：若一元二次函数y=（m-1）x2+2x+3 的图象经过原点，则m 的值为多少？

错题分析：此题出错往往是因为对一元二次函数的概念和表达式运用不够熟练。要使图象经过原点，要求满足当x=0 时，y=0，即c=0。在此题中，c=3，所以m 的值为1。最值计算错误也是常见的原因之一。

例题5：求解一元二次函数y=x2+4x+1 在x=-2 处的最大值和最小值。

错题分析：此题出错往往是因为在计算最值时出错。当x=-2 时，y 的最小值为1，没有最大值。解题时应注意将x 代入函数表达式，并根据抛物线的性质计算最值。

在解题过程中，学生应当明确题目中给出的一元二次函数的表达式，然后根据题目要求进行作图或计算。仔细阅读题目，明确题目要求和已知条件。根据已知的一元二次函数表达式画出其图象，以便更好地理解题目。根据题目要求和图象性质进行分析，如求最值、对称轴等。根据题目要求进行计算，注意计算准确性和运用适当的数学方法。得出答案后进行归纳总结，将解题思路和步骤整理清晰。为了更好地掌握一元二次函数，学生应当通过大量的练习进行巩固。

例如，以下习题：

1.请画出y=3x2-4x+5 的图象，并说明其对称轴和顶点坐标。

2.若一元二次函数y=2x2+ax-3 的图象经过点（1，-5），求a 的值。

3.求y=x2-4x+3 在x=2 处的最大值和最小值。

初中数学一元二次函数是数学学习的重点之一，学生在掌握基本概念的同时，还应通过大量的练习培养解题技巧。通过对常见错题的分析，可以有效地避免在考试中犯同样的错误。

解三角形是初中数学的重要内容，是学生掌握三角形性质、学习几何证明的基础。然而，在实际学习中，许多学生在解三角形时会出现各种错误。因此应当指导学生正确解题，提高解题能力和数学思维。

例题6：已知等腰三角形的一个底角为50°，求其余两个角的度数。

例题7：已知等腰三角形的一个内角为50°，求其余两个角的度数。

例题8：已知等腰三角形的一个内角为110°，求其余两个角的度数。

解题分析：题6 中只有一种情况；在题7 中，应当考虑这个角是底角还是顶角；在题8 中，角只能是顶角，因为底角不可能是钝角。

在解答时，教师要依据循序渐进原则，结合学生日常中的常见错解现象，为学生提供成功解题机会。题6：已知等腰三角形的一个内角是n°，求其余两个角的度数。由此使得问题变得较为清晰，学生从题6、题7、题8 的解题中得知，n 应考虑0＜n＜90 与n≥90两种情况，在0＜n＜90 时，则考虑这个角是顶角还是底角。由此使得解题过程变得清晰自然，实现顺利解题。

解三角形时为了避免错误，应当准确理解定理、公式，在解题前充分理解所使用的定理和公式的适用条件和含义，避免生搬硬套。在解三角形时，学生要根据已知条件判断出三角形的形状，以便选择合适的定理或公式。解题时要注意观察角度的大小范围，避免求出无意义的解。根据题目要求，选用合适的定理或公式进行计算。解题完成后要进行验算，确保结果的准确性。同时注意保证解题步骤的准确性和完整性，遵循解题规范，避免遗漏知识点，全面考虑问题，注意三角形的边长、角度等元素的范围限制，培养学生的数学思维和解题能力，让学生自己发现和纠正错误。

四、总结

初中数学知识点较多，较为琐碎，不同知识点之间相互串联，对学生解题能力提出了较高的要求，一旦基础知识掌握不牢固，或者某个细节出现错误，在解题时均可能出现错误。针对初中数学易错题，在分析原因的基础上，学生应当通过大量的练习题巩固对概念与定义的理解。并通过整理与分析错题，了解自己的薄弱环节，为以后的解题提供方便，提升解题效率。