基于GGB 动态数学软件的高中数学可视化教学实践

文| 刘 宁

一、GGB 数学软件概述

GeoGebra 数学建模软件（简称GGB），可拆分为“Geo”+“Gebra”，是几何（Geometry）与代数（Algebra）名称的组合，是2002 年由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授Markus Hohenwarter 以及其国际开发团队共同开发的，是全世界的学校都可以免费使用的动态数学软件。这款软件可以有效实现数、参数方程、图形的相互转化和动态显示，并且可以很好地将其中的关系表达出来，帮助学生理解。教师利用这个软件可以将数学知识以图形的形式呈现出来，帮助学生在脑海中形成可视化的直观形象，促进学生数形结合思维能力的发展。GGB 建模软件涵盖了许多功能，在每个功能区都有独特的功能，完善了各功能区之间的关联和协作性能。

GGB 建模软件主要分为六个功能区，即代数区、绘图区、运算区、电子表格区、3D 绘图区以及概率与统计绘图区等，各个区域对高中数学知识的可视化呈现发挥着至关重要的作用。在代数区，主要呈现的是不同图形的参数方程，将其参数、坐标等绘制出来，如平面图形、空间图形、圆锥曲线等；在绘图区，可以通过手动输入参数方程的形式，在这个区域自动生成图形；在运算区，可以输入相应的运算法则，从而快速进行代数运算，并且计算出正确的结果；而在电子表格区、3D 绘图区以及概率与统计绘图区，可以根据相关的数学知识，通过系统的深度学习功能实现智能化生成图形的目标。

二、GGB 数学软件应用于高中数学可视化教学的可行性分析

以溧阳市光华高级中学为例，笔者通过对高中数学教学实际进行分析并对高中部学校进行实地考察可知，当前，虽然许多学校的高中数学教学获得了广泛的多媒体教学技术支持，但是很多高中数学教师在教学过程中仍然使用传统教学模式。对于一些抽象的几何问题，教师在讲解过程中只是进行语言讲解，无法将其具体、形象地表达出来，学生只能凭空想象这些知识点。这种方式对缺乏抽象思维能力的学生来说，具有一定的学习难度。在这种教学方式的影响下，学生缺乏发散性思维，只能对知识点进行死记硬背、简单套用。而高中数学的题型丰富多样，这就导致学生在日常的学习过程中无法灵活运用知识解决问题，数学思维和实际运用能力较差。

随着科学技术的发展，许多方便、快捷、高效的教学软件应运而生，如GGB 数学软件。在高中数学学习过程中，学生可以自己动手拖动图形、观察图形，通过实际操作和直接观察理解数学知识，增强学生对数学知识的理解，提升学生的思维能力。此外，教师以动态的方式呈现数学知识，可以充分调动学生学习数学的积极性和主动性，将抽象、晦涩的数学知识生动、形象地呈现给学生，帮助学生深入理解这些数学知识，在一定程度上提升学生对数学知识的理解能力，充分激发学生的主动性和创造性，更好地解决高中数学教学中的重难点，促进学生数学核心素养的提升。

三、GGB 软件动态化教学的优势

高中数学知识比较抽象，逻辑性强，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求比较高。利用GGB软件开展动态化教学，能够使抽象的数学知识更加形象化，通过这种直观的方式帮助学生构建更加完整的知识体系，增强学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养。教师在高中数学教学过程中应用GGB软件，不仅可以向学生展示直观、静态的图形，还可以利用动画生成图形变化的过程，使学生在观察图形的动态变化过程中理解抽象的数学知识。动态化的呈现形式可以帮助学生积极思考图形和代数理论之间的关系，以绘图的形式进行代数转换，使学生深刻认识数学知识之间的逻辑关系，从而提高学生的自主探究能力以及抽象思维能力，促进学生全面发展。

四、GGB 软件动态数学可视化教学设计

（一）教材分析

“直线与圆的位置关系”这节内容选自新人教A版高中数学选择性必修第一册第二章的第5 小节。本节内容旨在利用代数方法研究直线与圆的位置关系，在学生对初中几何中直线和圆的形状有一定认识的基础上，挖掘两者之间“数”的关系，进一步提升学生理解和解析几何数学知识的能力，有效实现几何问题和代数问题的转化能力提升。

（二）学情分析

学生经过初中几何知识的学习，已经基本了解直线与圆相交、相切、相离的位置关系，并且学会了判断位置关系的两种方法。在本章前4 节的内容中学习了直线的倾斜角与斜率、圆的方程、直线方程以及直线的交点坐标与距离公式等知识，为本节内容的学习做了基础准备。学生基本上已经掌握了利用方程组确定直线的交点的方法，并且具有运用坐标法研究点与圆的位置关系的基础，以及一定的数形结合思想，但是其抽象思维和空间想象能力需要进一步提升。

（三）教学目标

1.利用GGB 软件演示直观性的图象，以此引发学生对直线与圆的位置关系的思考，打破学生在之前学习中对直线与圆的思辨模式，帮助学生更快地形成完整、系统的知识框架。

2.学生可以在GGB 软件的动态演示下，概括出直线与圆的位置关系的代数形式，同时帮助学生掌握不同位置关系的图象形式。

3.提升学生的观察、分析、思辨等数学核心素养，更进一步掌握数形结合的思维方式，提升学生的抽象思维能力。

（四）教学重点及难点

1.教学重点：学生掌握直线与圆的位置关系的分类判断和应用。

2.教学难点：将直线与圆的位置关系由几何图形转化为代数形式；建立直线与圆的方程，利用方程组的解来研究直线与圆的位置关系以及圆的几何性质的应用。

（五）教学方法

教师以GGB 数学软件构建模型，以直观性教学法、启发性教学法以及合作探究等教学方法为主导，引导学生在GBB 软件支持下能够更好地学习和理解直线与圆的位置关系的代数表达形式，提升学生的空间想象力、抽象思维培养以及逻辑思辨能力。

（六）教学过程

1.情境创设，问题驱动

基于当前学生对直线与圆的位置关系有着基本的几何关系掌握的学情基础上，基本掌握了直线与圆相切、相交、相离的位置关系。因此，教师利用GGB软件绘制出一个直线与圆无限接近的情况（如图1所示），并且请大家思考和讨论图中直线与圆的位置关系。

图1 直线与圆无限接近但并未相切或相交

教师：请大家观察图中直线和圆的位置，并且思考图中直线和圆的关系，谈谈你们的想法。

生A：直线与圆相切。

生B：图中没有直接给出直线和圆的切点，所以并不能直接判定直线是与圆相切的。

师：既然同学们对图片上直线和圆的位置有不同的看法，那么我们利用GGB 数学软件将该图进行局部放大之后，大家观察这条直线是否和圆出现交点。

利用GGB 数学软件将图片中直线与圆的位置无限接近处进行放大（如图2 所示），发现图中直线与圆的位置的确如学生B 说，直线与圆并没有相切或相交。

图2 局部放大示意图

教师：通过观察图2，我们可以发现学生B 说的没错，图中的直线并没有与圆相切。由此我们知道，单纯通过观察图片并不能得到真实的数据信息，图象只能作为片面的参考，想要获取精确的直线与圆的位置关系，我们就要明白：直线和圆的位置关系不仅仅体现在图象上，还需要利用代数公式进一步进行直线与圆位置关系的判断。

（设计意图：利用GGB 软件的直观性优势，直接引入本节内容的教学重点，通过图象中看似相切，实则相离的直线与圆的位置关系来引发学生的讨论，并且引导学生思考如何才能更加精准地判断直线与圆的位置关系，提升学生自主探究、自主学习的积极性。）

2.动态模拟，构建知识架构

教师利用GGB 数学软件绘制出既定条件：点O（x0，y0）、直线l:x0x+y0y=r2以及圆C：x2+y2=r2下的图象，并且在软件中不断给x0、y0以及r 赋值，将制作的图象展示给学生（如图3 所示）。

图3 直线与圆位置关系设计图

教师在教学过程中，通过滑动图形中设定r 及F点，以此改变圆的大小及直线的位置，并且让学生合作探究、观察思考直线与圆的位置关系变化。

师：同学们，现在老师保持圆的直径不变，拖动F点的位置，大家观察直线与圆的位置关系是怎么样呢？

生C：当F 点保持在圆C 外时，无论怎么滑动r按钮，直线l 和圆C 始终相交并且有两个交点；而当F 点在圆C 上时，直线l 与圆C 只有一个交点，但是当F 点在圆C 内时，直线l 和圆C 没有交点。

教师：对，在不断改变F 点位置的过程中，对应的直线l 和圆C 的位置就会产生相应的变化。这三种对应的位置关系可以分为相切、相离、相交，而利用直线方程将图中三个位置关系的变化表示出来，可以表示为：x0x+y0y=r12，当r12=r2时，直线与圆相切；当r12＞r2时，直线与圆相离；当r12＜r2时，直线与圆相交。这就是直线与圆的位置关系在代数上的体现。

（设计意图：利用GGB 软件设计直线与圆的位置关系，动态演示二者位置关系的变化过程，以直观、动态的形式让学生观察图片上直线与圆的位置变化，继而积极思考并总结直线与圆的代数方程形式，从而实现更加准确地表达直线与圆的位置关系。）

（七）家庭作业设计

根据以下给出的条件，判断直线与圆的位置关系：

（1）l：x+y-1=0，C：x2+y2=4

（2）l：4x-3y-8=0，C：x2+（y+1）2=4

（3）l：x+y-4=0，C：x2+y2+2x=4

（4）l：y=0，C：（x-1）2+（y-1）2=1

（设计意图：通过设计相关的题目，让学生在实践操作中加强对课上所学知识的理解，深刻地认识直线与圆的位置关系的代数表达形式。学生还在此基础上进一步巩固了对直线与圆的不同关系的认知，从而对直线与圆的位置关系的代数形式形成完整的应用框架。）

五、结语

综上所述，GGB 数学建模软件为高中数学教学提供了动态性的辅助教学功能，教师可以利用这个软件对抽象化的数学知识进行动态化、可视化呈现，让学生在动态模拟中领会数学知识的内涵，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，提高学生的数学核心素养。