逐渐深入研究，借助问题翻转——以“分层抽样”教学设计为例

文| 王玉娟

“分层抽样”是湖南教育出版社遵循《普通高中数学课程标准（2017 年版2020 年修订）》确立的基本理念和目标要求，2019 年国家教材委员会专家委员会审核通过的数学（必修第一册）第6 章“统计学初步”中第二节部分6.2“抽样”中第二节课的内容，对于统计数据的收集与应用起到关键作用。

一、教学内容分析

（一）地位与作用

分层抽样是在学习了简单随机抽样的基础上，主要介绍分层抽样的概念以及如何实施分层抽样。综合两种不同的抽样方法，为统计数据的收集与应用提供条件，为学习数据的典型性和代表性奠定了基础。这也为后续统计知识的学习起到承上启下的作用。

（二）重点、难点

重点：正确理解分层抽样的定义以及对应的操作步骤，并会选取恰当的抽样方法来解决统计中的一些现实抽样问题。

难点：掌握分层抽样的实施步骤；会计算总体平均数；两种抽样方法的比较及选择。

二、学情分析

学生已学习过简单随机抽样，但对设计合理的抽样方法，以使样本具有良好代表性的意识还不强。学生对于分层的标准理解不清晰，一定程度影响着教学目标的完成。

三、教法学法分析

教法：启发探究、互动讨论。

学法：自主探究、合作交流、归纳总结。

四、教学过程

（一）教学流程设计

?

（二）教学过程设计

◆环节一：回顾旧知，引入新课

问题1：回顾简单抽样的概念、特点和常用方法。

概念：简单随机抽样的概念（略）。

特点：样本中的总体个数有限，逐个进行抽取，机会均等抽样；不放回抽取。

常用方法：抽签法和随机数法。

注意：抽样调查最核心的问题是样本的代表性，简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性有可能会出现比较“极端”的样本。

（设计意图：通过复习上节所学知识，引入本节新课。建立知识之间的联系，提高学生的概括、类比推理能力）

问题2：在上节课的情境三《1936 年美国大选》中，当地杂志对候选的结果产生错误的预测，究其原因是民意测验的样本不具有代表性，出现了“坏”样本。

（设计意图：由生活中的问题出发，提出真实获取数据中存在的“坏”样本，引发学生对“坏”样本的讨论）

◆环节二：问题探究，建构新知

问题3：在上节课对树人中学高一年级学生身高的调查中，会不会出现样本中50 个学生大部分是高个子或矮个子的情形？

师生活动：学生思考后回答，教师指出此类样本为“极端样本”。

（设计意图：分析简单随机抽样出现“极端样本”的原因，让学生感受到改进抽样方法的必要性，为引入分层抽样做铺垫）

问题4：为什么简单随机抽样会出现这种“极端样本”？

师生活动：学生思考并讨论，探究简单随机抽样出现“极端样本”的原因。教师引导：因为抽样过程是随机的，所以结果具有随机性，有可能抽到“极端样本”。在树人中学高一学生身高调查中，抽到50 个学生大部分是高个子或者矮个子的情况是有可能发生的。这种“极端样本”的平均数会大幅度偏离总体平均数，从而使估计出现误差。因此，简单随机抽样存在不足，有改进的空间。

（设计意图：通过探讨“极端样本”出现的原因，提高学生对样本随机性的认识，同时对总体情况进行分析，为改进抽样方法提供思路）

问题5：如果能将身高差不多的学生放进一个类中，从中随机抽取一些个体就可以较准确地了解该类的身高信息，但是因为我们要调查的就是身高信息，所以我们无法提前得知具体的身高数据，显然无法根据身高进行分类。能不能通过其他信息或是指标对学生进行分类，使同类学生身高差异尽可能小？

师生活动：学生自由回答，教师引导学生认识影响身高的因素有很多，性别是一个主要因素且较容易获取。高中男生普遍高于女生，而相同性别的身高差异相对较小。所以我们就可以利用性别和身高的这种关系，把高一年级学生分成男生和女生两个身高有明显差异的子总体，再分别对两个子总体进行简单随机抽样，可以在一定程度上避免出现“极端样本”。

（设计意图：引导学生思考如何将总体分成几个子总体，划分标准要与所研究的指标信息密切相关，这样子可以有效地避免“极端样本”的出现）

问题6：如果按照男生、女生两个子总体抽取样本，那么怎样抽取男生、女生的样本量才有利于反映总体呢？为什么？

师生活动：学生容易联想到，按照男生、女生在全体学生中所占比例来进行分配：

这样无论是男生还是女生，每个学生都有相同的可能性被抽到。

追问：在每个子总体中是否一定要按照比例分配样本量？如果不是，能否举例说明？

师生活动：引导学生思考样本量分配的多种方式。例如：某市有民营企业9000 家，该市税务局计划抽取90 家了解其营业额等项目，现按一、二、三产业对其进行分组，每组各取30 家。

（设计意图：用问题引导学生思考样本量的分配方式，进一步明确分层抽样的操作过程）

问题7：某中学高一年级有712 名学生，其中男生有326 名，女生有386 名。我们要从中抽取一个容量为50 的样本，请问男生和女生各抽取多少人？

师生活动：先让学生分组或是独立进行计算，再通过提问的方式，结合教师的总结，得出相应的结论。

（设计意图：通过具体问题与实例，为进一步引入分层抽样的定义以及具体的数学运算提供理论基础与条件）

问题8：以上问题中，用到的不是已经学过的简单随机抽样，而是具有自身特色的一种抽样方法。我们能否给出相应的定义，以及归纳出该抽样方法的具体操作步骤呢？

师生活动：教师通过提问学生，让学生进行合理尝试并归纳，在此基础上教师进行引导并板书：

分层抽样定义：当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，把总体中各个个体按照某种特征或某种规则划分为互不交叉的层，然后对各层按其在总体中所占比例独立进行简单随机抽样，这种抽样方法称为分层抽样。

比例分配的分层抽样的步骤：

（设计意图：从分层抽样的定义入手，结合内涵概括对应的应用步骤，对于相应的数学运算问题有很好的应用）

◆环节三：实践操作，深化探究

例1．（教材第212 页例1）某网络音乐平台就网络用户对某一特色栏目的喜爱程度进行调查，参与网络投票的总人数为50000。网络用户对栏目的评价如下表所示：

?

该音乐平台为进一步了解用户的具体想法和意见，打算从上述50000 人中抽取100 人进行电子邮件形式的调查，应怎样进行抽样？

具体的分析过程与解答过程略。

（设计意图：借助具体分层抽样的应用，对于保证样本中含有各种特征的抽样单位，以及样本与总体两者之间结构的一致性，特别对于提高样本的代表性以及数据的典型性等有非常重要的作用）

例2．（教材第213 页例2）下列问题中，采用哪种抽样方法较为合理？

（1）某微波炉厂质量检查组为了解某批次1000台微波炉的使用寿命。

（2）每年6 月6 日是“全国爱眼日”。某县卫生部门要调查该县中小学生视力保护情况，已知该县有小学生12000 名，初中生10000 名，高中生6000 名。

（3）某校要调查该校九年级400 名学生的身高和体重情况，以供该校营养师参考进而指导食堂伙食营养搭配。

具体的分析过程与解答过程略。

问题9：通过以上不同抽样方法的选择，不同抽样方法之间存在哪些特点？有哪些适用范围以及共同点呢？

归纳表格如下：

（设计意图：让学生认识到样本的随机性，特别是分层抽样与简单随机抽样两者之间的差异，以及在具体应用问题中的合理选取与应用）

◆环节四：新知应用，巩固内化

◇课堂小结

分层抽样的优点、公式、注意事项，具体略。

（设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节课所学内容，提高概括能力）

◇新知应用

具体问题这里省略。

（设计意图：考查学生对于分层抽样、简单随机抽样的区别与联系的学习，使其能够在实际应用中选取最合适的抽样方法，并会利用分层抽样加以数学运算）

五、教学反思

通过大背景的“串联”，从大背景中不断提出新问题，从而通过问题链探究学习合理选择抽样方法的必要性并掌握分层抽样方法，从而提升学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。教学中要注重学生的主体地位，调动学生的学习积极性，使数学教学成为数学活动的教学。

在具体教学过程中，可以多考虑以实际生活情境为切入点，尤其多融入社会主义经济建设的成果，提出问题，激发学生的好奇心，促进学生学习的积极性。让学生自主经历数据的收集、整理、描述、分析、推断、获得信息，从而提升学生的数据分析能力。