教材“教学化”的边界:“链+”恰当 整合有度——以人教版“14.1.1同底数幂的乘法”为例

江苏省如皋市教师发展中心 印冬建 (邮编:226500)

教材“教学化”是在充分解读教材后,将其由“学术形态”转向“教育形态”的根本路径[1]．由于教材与学情的差异,在“教学化”过程中,会根据教学的需要,尽可能形成与学情、学科发展匹配的教学方案.然而,在实际教学中,不少教师对教材的过度加工,极易让教学走偏,形成既不尊重学生现状,又不符合教学实际的课堂,耗时多,成效差,为了避免这一现象的出现,笔者提出了“链+”[2]数学的教学主张,旨在通过对教材内容的学情化补充,从学生视角增加少量教学素材(情境、内容、过程、方法等)并与原教材巧妙链接,助力学生数学核心素养发展．本文拟结合人教版“14.1.1同底数幂的乘法”谈谈对教材“教学化”的思考,供大家参考．

1 教材分析

教学环节课本素材意图分析引入新课问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103s可进行多少次运算?贴士:在2010年全球超级计算机排行榜中,中国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”雄居第一,其实测运算速度可以达到每秒2570万亿次.以“小贴士”的形式介绍我国“天河一号”超级计算机系统,激发学生学习热情.沿用“数与代数”领域从实际生活中的问题引入,以问题1引导学生体会本节课的新知探索是由于生活的需要而进行的.通过1015×103的过程分析和结果得出,为新课探索夯实基础,利用式子算理分析,回顾乘方的意义.探索规律探究:根据乘方的意义填空,观察计算结果,你能发现什么规律?(1)25×22=2( );(2)a3·a2=a( ); (3)5m×5n=5( )(m,n是正整数).引导学生通过从特殊到一般的三个式子的结果分析,发现同底数幂运算及其运算的规律,尝试用一般式子来归纳这一规律,为下一步进行推导提供素材.推证结论一般地,对于任意底数a与任意正整数m,nam×an=(a·a……a)·(a·a……a)=a·a……a=am+n .因此,我们有am·an=am+n(m,n都是正整数).即同底数幂相乘,底数不变,指数相加.引导学生回到定义去,利用乘方的意义推证 am×an=am+n,教材给出了详细的推证过程,进一步形成了文字结论,为学生理解和运用性质提供了充分的路径.巩固新知例1 计算(1)x2·x5 ;(2)a·a6;(3)(-2)×(-2)4×(-2)3;(4)xm·x3m+1.(解题过程略)给定4道不同类型的同底数幂的运算,引导学生通过计算与过程分享,交流同底数幂的乘法的运算性质及运用策略.练习:计算(1)b5·b;(2)(-12)×(-12)2×(-12)3;(3)a2·a5;(4)y2n·yn+1.教材例题配套的4道练习,供学生巩固全课所学使用.

2 课堂再现及对比分析

2.1 教学过程再现

问题1我们学过了整式的哪些运算了?猜一猜,接下来会学习什么运算?

问题2am表示什么?(-2)2表示什么?(-2)3呢?(-2)m呢?(-a)m呢?

问题3教材问题1

活动二 规律探究

教材探究归纳出一般规律,并用式子表示为am·an=am+n(m,n都是正整数)．

活动三 推证结论

立项与可行性研究报告的申报及批复是项目实施的前提，如果没有上级主管的批复，意味着项目没有“正名”，接下来的资金、政策、人力等支持都是不可能的，也是“不合规不合法的”。因此，在农业基建项目管理中，甲方单位必须特别重视前期立项及可行性研究报告编制，确保报告文本的科学性、项目实施的可行性、立项的成功率。一旦立项及可行性研究报告得到上级部门批复，项目就可以依此获得相应的资金支持。同时，甲方还可以此批复去与地方行业管理部门沟通，取得项目实施所必须的合法证件，而这在农业基础项目建设中是必不可少的环节。

引导学生从乘方的定义出发证明am·an=am+n(m,n都是正整数),并归纳出文字结论．

活动四 巩固新知

例1计算:(1)x2·x5;(2)a·a6;(3)xm·x3m+1;(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b)．

例2计算:(1)-a3·(-a)2·(-a)3;(2)(n-m)5·(m-n)2;(3)b2·b3+b5．

例3今年上半年,某新开楼盘销售商品房8.2×103m2,该楼盘商品房平均售价为1.7×104元/m2,该楼盘上半年商品房销售总额是多少元?

活动五 课堂小结

请学生回顾全课收获,教师释疑解惑．

活动六 反馈训练

题1计算:(1)3×32×35;(2)x3·xn+1;(3)-b3·b2;(4)(s-t)m·(s-t)m+1．

题2已知am=2,an=2,求am+n的值．

2.2 对比分析

(1)教学环节

这节课,比教材多出了两个环节,即“活动五课堂小结”和“活动六反馈训练”．

(2)教学内容

抛开活动五、六,活动一、四出现明显增加的教学内容,活动一中,增加了对已学整式运算的回顾和即将开展运算的猜想,并通过对am,(-2)2,…,(-a)m等式子含义及运算方法的追问,回顾幂的各部分名称、含义及乘方运算的意义.活动四中,例1的计算将(2)a·a6换成(4)(2a+b)2m+1×(2a+b)3×(2a+b),把底数从单项式扩展到了多项式,例1之后的配套巩固练习,新增了(5)(x-y)5·(x-y)2,这是对教材“教学化”后例1(4)的回应.

例2,例3均为新增内容．例2的3道小题中(1)(2)难度大,学生在运算结果符号的确定耗费了大量的教学时间,但效果依然不佳．例3的计算同样如此,学生看似列出了(8.2×103)×(1.7×104)的算式,但究竟如何得出运算结果,众说纷纭,效果远未达到．

(3)教学方法

与教材编排基本相同,对同底数幂乘法性质的探索都是沿着从特殊到一般展开的．学生几乎都经历了观察、计算、猜想、推理、验证的进程,而对运算基本性质的应用,学生又经历了从一般到特殊的过程,把学到的性质回到一般的运算之中,要特别说明的是,教师对性质探索反复强调了要“回到定义去”,这是教材始终如一坚持的方法,在很多新知的学习与应用中都有体现．要说学习方法上,这节课与教材的差别,主要体现在活动一与活动六上,活动一增加了对整式已学运算的回顾,这是本节课认知基础的唤醒,是教师引导学生从旧经验出发开展新学习的提醒,而随之对am,(-2)2,…,(-a)m等式子的意义的追问,则从课时学习所需的角度,充分回顾了幂、指数、底数的意义及乘方的意义和求值方法,真正为课时学习奠定坚实的基础．活动六是教师基于课标对“教—学—评”一体化课堂教学评价现状的一种转变回应,以“反馈训练”的较高匹配度检验学生学业的效度,达成评价反推教学变革、影响推动学生发展的美好局面．

2.3 优化建议

(1)从教学匹配角度优化复习内容．

复习内容或者说引入环节,从原来的一个问题增加到3个问题组,实际上是8个问题,显然,这样的复习提问是多了,而且关于(-a)m的复习对本节课的学习是有明显干扰的．对(-a)m结果的讨论,本身就有很多的情况,要分别对a的正负性,m的奇偶性展开配对讨论,情况之多,耗时之长,效果之差,与课时教学显然是不适宜的．何况,从教师为研究例题“计算-a3·(-a)2·(-a)3”,而复习(-a)m这一角度出发,这样的设计是十分不妥的．对(-a)2,(-a)3甚至(-a)m的结果符号的探讨可能学习积的乘方的性质“(ab)m=ambm(m是正整数)”之后,把(-a)m转化[(-1)·a]m来交流或许更为简便容易些,何必在此耗费时间和精力呢?因此,笔者建议可把(-a)m意义及运算方法结果的探讨从活动一中删去．

(2)从学科发展角度删去部分例题

本节随堂课中,新增了活动四中的例题和巩固练习,活动六的反馈练习,而这种新增很大程度上是教师为了把底数由数字拓展到单项后进一步拓展到多项式,这种拓展如果不涉及到符号的变化,笔者以为是适宜,但如果涉及到的结果中符号的讨论,那就不太妥当了．因为,这会严重影响学生对本课时知识的认知．把学生探索的视线转移到下一节课的学习内容．如,(n-m)5·(m-n)2可以等于(n-m)7,也可以等于-(m-n)7,至于为什么这两个结果都可以,抑或是这两个结果为什么相等,教师可以以“(m-n)2=(n-m)2”一句话含糊地带过去,但事实上,没有“(ab)m=ambm(m是正整数)”或者是“(m-n)2=m2-2mn+n2=(n-m)2”(下称式①)的支撑,这样的含糊是过不去的．所以,笔者以为此时与其讲得不清不楚,不如等乘方学完后,给出“(m-n)2=[(-1)·(n-m)]2=(-1)2·(n-m)2=(n-m)2”或是学完完全平方公式后来交流式①,对“(m-n)2=(n-m)2”的理解更为深刻．再来说说例3,先看例3所列算式“(8.2×103)×(1.7×104)”,是不是很象接下去“14.1.4整式乘法”(第1课时)问题所列的式子“(3×105)×(5×102)”,很明显,教师对问题1的回应用到了3节课之后所学的内容,或许删去更好.

(3)从教材吻合角度调整部分反馈练习

对于同底数幂的相关乘法运算,人教版初中数学教材一般都会给出,其指数为正整数的限制,如am·an=am+n(m,n为正整数)．这里对指数所提要求应为本学段整式乘法的性质应用的前提,作为对教材的回应,我们设计的练习自然应与之匹配,然而,在笔者观摩的这节随堂课上,教师给出的反馈练习题2中,“am=2,an=2”是无法同时保证“m,n均为正整数”的．这样的设计显然是不利于学生真正理解和应用同底数幂乘法的运算性质的,所以,笔者建议把这道题改为“如果2m=4,2n=16,则2m+n=______”或许更为妥当些．

3 几点思考

3.1 理解教材,形成“链+”源头

教材是最重要的教学工具．我们应充分认识教材的重要性,对教材进行全面深入的解读,形成课时教学“链+”的源头．理解教材,不只是读懂课时教学内容,教学流程,还应努力厘清课时内容在学段乃至数学学习中所处的地位和作用,要能清晰知晓所学内容的认知基础和发展方向,进而给教学以准确的定位,形成教材优化整合的边界,避免如本课中出现(n-m)5·(m-n)2之类的例题及配套练习情形的出现．理解教材,要重视对课堂教学基础的分析,要适当补充教材欠缺,避免冲淡课堂主题而弱化表述的复习环节的教学内容,让学生能形成课时“链+”探究的源头,明明白白地开展探究．比如本节课对am,(-2)2,…,(-a)m等式子的含义及运算方法的回顾就是一种有效的内容增加,是教师基于对教材深度理解之上的一次有效“补缺”,为课堂教学的有效开展真正奠基．

3.2 变式拓展,守住认知边界

基于学情发展需求,对于教材给的内容缺少的课时,常会增加一些教学内容,尤其是一些相关的例题式练习,这在本节课十分明显,但由于教师对学生认知边界的界定不清,例题或练习的添加常会越过边界,使新增的内容成为学生课时学习的羁绊,严重影响教学进程的推进,文中对(m-n)2,(n-m)2,-a3,(-a)2,(-a)3等式子的探索就是此情形.笔者以为,在对教学内容进行添加前,教师应去厘清学生认知的边界在哪里．边界的确定可以从学情发展的速度上来考量,即学生能不能学得了,还要从教学内容的目标是否合规上来判断.有时,课标给定的目标并非教学中的课时目标,想要学生在一节课实现目标几乎没有可能,我们就不能盲目地直接增加课标目标指向的例题或练习.而有时,一些例题或练习的解答,借用后面的所学能更为便捷讲清说明,教师完全可以尊重数学知识发展的规律,顺其自然,等到易于探究且便于解释时再来剖析,这样的教学尊重了教材、学情,守住了学生认知的边界,效果自然会很好．

3.3 过程“链+”,注重本质研究

研究数学知识,要重视“引导学生经历观察实验、猜想计算、推理验证、数据分析等完整过程”,只有在此过程中学生才能真正理解数学,才能在后续学习中用好所学解决新的问题．而事实上,在很多教材给定内容少、流程清晰的数学课上教师把过程“链+”的重心放到了知识的应用上去了,因为内容少,所以用例题或练习来补充,以期用大量重复训练来提升学习的成效,这显然与“习题的设计要关注数学的本质,关注通性通法”[3]的课标新要求是背离的.以本节课为例,并不是说学生得到了“am·an=am+n(m,n为正整数)”的式子并能解答好几道例题、练习,学生就理解了同底数幂的运算的性质．教师如果忽略了对等式含义的剖析,并引导学生有“回到定义去”的意识,他们是很难得出推理的过程,而事实上如果缺少了对am的意义的回顾与分析,或许学生对活动二中这个式子的特征的归纳,甚至连同底数幂为何物都未必能理清道明,哪来的后续的探索与应用呢?因而,对此类涉及到知识本质的理解的探究,我们完全可以通过拉长学程,回归本质的反复交流,来实现对数学知识的深刻理解,以达成提质增效的目的,为在课内策应“双减”落地助力．

教材“教学化”,是对教材给定教学内容、流程的优化与完善,必要的补充与调整是难免的．但这种调整一定要适可而止,要充分考虑教材编排的逻辑体系和学生发展的许可范围,在教材的充分应用和学生的充分发展间找到平衡点．