挖掘教材潜能 提升数学素养

摘" 要：随着高考命题改革的不断深化，教材已成为高考数学命题一个重要生长点，“从教材中寻求支撑”成为高考数学命题的“潜规则”.因此，在数学教学中，要重视对教材内容、典型例、习题的挖掘工作，让学生体会到“书中自有黄金屋”的妙处，从而提升其数学素养.文章从两道教材题目说起，研究有心圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义在高考中的应用.

关键词：教材潜能；数学素养；有心圆锥曲线；第三定义

中图分类号：G632""" 文献标识码：A""" 文章编号：1008-0333（2024）16-0036-07

收稿日期：2024-03-05

作者简介：

李寒（1978—），女，贵州省桐梓人，本科，中学高级教师，从事数学教学研究.

近年来，在高考题和各地模拟考试中，出现了许多以有心圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义为背景的试题，比如2020年高考理科第11题（文科第12题）、2022年高考全国甲卷理科第10题及2023年高考全国乙卷理科第1题、文科第12题等就是其中典型例子.在这些试题中，既有考查基础的客观题，也有一些难度较大的解答题，乃至对思维能力要求较高的压轴题.这些试题均以教材题目为“根基”，以素养立意为主线，兼具对基础与能力的双重考查，充分展示了有心圆锥曲线第三定义内涵与外延的“来龙去脉”，彰显了数学公式的结构之美与和谐之美.为此，本文从两道教材题目说起，给出有心圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义，并通过

对其进一步探究得到推广结论，进而应用有心圆锥曲线（椭圆和双曲线）的第三定义及推广结论，简化解答（对许多客观题而言可谓“秒杀”）“斜率之积为定值”这一类模型中较为复杂的解析几何问题.

1" 教材题目

有心圆锥曲线的第三定义来自普通高中教科书A版数学选择性必修第一册（2019年版）［1］中的两道教材题目.

教材题1" （第108页例3）如图1，设点A，B坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程.

简解" 过程见教材.方程为x225+y2（100/9）=1

（x≠±5），是除去A，B两点的椭圆.

教材题2" （第121页探究）如图2，点A，B坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是49，试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与3.1例3（上述教材题1）比较，你有什么发现.

简解" 设M（x，y），则有yx+5·yx-5=49

（x≠±5），即x225-y2（100/9）=1（x≠±5），是除去A，B两点的双曲线.

2" 有心圆锥曲线的第三定义及推广

上述两道教材题目所反映的一般情形就是有心圆锥曲线（椭圆或双曲线）的第三定义：

平面内与两个定点A（-a，0），B（a，0）的斜率的积等于不为零的常数e2-1的点的轨迹叫作椭圆或双曲线.这两个定点为椭圆或双曲线的顶点.其中，当-1lt;e2-1=-b2a2lt;0时是椭圆；当e2-1=b2a2gt;0时是双曲线.

有心圆锥曲线的第三定义揭示了平面上动点变化的规律，当动点与两个定点连线斜率之积为定值时，可应用第三定义来判断动点轨迹.根据第三定义，得到斜率之积为定值e2-1的几个推广结论及包含的常见模型.

结论1"" 在平面内，已知A，B是有心圆锥曲线（椭圆或双曲线）的顶点，M是曲线上不同于A，B的任一点，则kMA·kMB=e2-1.

证明" 以椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）为例证明.

如图3，A（-a，0），B（a，0）是C的左、右顶点，M（x0，y0）是C上不同于A，B的任一点.

因为A，M都在椭圆上，所以a2a2+02b2=1，x20a2+y20b2=1.

两式相减，得

（x0+a）（x0-a）a2+y20b2=0.

所以y20（x0+a）（x0-a）=-b2a2.

取AM的中点N（x0-a2，y02），连接ON，则ON∥BM.

所以kMA·kMB=kMA·kON

=y0x0+a·y0x0-a

=y20（x0+a）（x0-a）

=-b2a2=e2-1.

结论2" 在平面内，已知A，B是有心圆锥曲线（椭圆或双曲线）上关于原点对称的两点，M是曲线上不同于A，B的一点，若kMA，kMB存在，则kMA·kMB=e2-1.反之亦真.

证明" 以椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）为例证明.

如图4，A（x1，y1），B（-x1，-y1）是C上关于原点O对称的两点，M（x0，y0）是C上不同于A，B的任一点.

因为A，M都在C上，所以x21a2+y21b2=1，x20a2+y20b2=1.

两式相减，得

（x0+x1）（x0-x1）a2+（y0+y1）（y0-y1）b2=0.

所以（y0+y1）（y0-y1）（x0+x1）（x0-x1）=-b2a2.

取AM的中点N（x0+x12，y0+y12），连接ON，则ON∥BM.

所以kMA·kMB=kMA·kON

=y0-y1x0-x1·（y0+y1）/2（x0+x1）/2

=（y0+y1）（y0-y1）（x0+x1）（x0-x1）

=-b2a2=e2-1.

结论3" 在平面内，已知A，B是有心圆锥曲线（椭圆或双曲线）上的两点，M是线段AB的中点，O为坐标原点，若kAB，kOM存在，则kAB·kOM=e2-1.

证明" 以椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）为例证明.

如图5，A（x1，y1），B（x2，y2）是C上的两点，M（x2+x12，y2+y12）是线段AB的中点.

因为A，B都在C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1.

两式相减，得

（x1+x2）（x1-x2）a2+（y1+y2）（y1-y2）b2=0.

所以y1-y2x1-x2=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）.

所以kAB·kOM=y1-y2x1-x2·（y2+y1）/2

（x2+x1）/2

=-b2（x1+x2）a2（y1+y2）·y2+y1x2+x1

=-b2a2=e2-1.

结论4" 在平面内，已知直线AB与椭圆相切于点M，O为坐标原点，连接OM，若kAB，kOM存在，则kAB·kOM=e2-1.

证明 "以椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）为例证明.

设M（x0，y0），则切线AB的方程为x0xa2+y0yb2=1.

所以kAB=-b2x0a2y0.

又因为kOM=y0x0，

所以kAB·kOM=-b2x0a2y0·y0x0=-b2a2=e2-1.

3" 应用举例

由于第三定义是用曲线上的点与两个定点（顶点）的斜率之积为定值来刻画的，因此涉及曲线上的点与两个定点（顶点）的斜率之积问题，可应用第三定义来解答完成.由于有心圆锥曲线的第三定义不是教材中的固有定义，在考试中对于选择或填空题可以直接应用，而对于解答题是不能直接应用的，但可以为解答题的求解提供思路和方向，从而简洁思维，简化计算.

3.1" 判断命题

例1" 如图7，已知P，Q是双曲线x2a2-y2b2=1上关于原点对称的两点，过点P作PM⊥x轴于点M，MQ交双曲线于点N，设直线PQ的斜率为k，则下列说法正确的是（"" ）.

A.k的取值范围是-balt;klt;ba且k≠0

B.直线MN的斜率为k2

C.直线PN的斜率为2b2ka2

D.直线PN与直线QN的斜率之和的最小值为ba

解析" 设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），M（x0，0）.

由题意可知直线PQ与双曲线两支各有一个交点，则斜率k在两条渐近线斜率之间，故A正确.

因为k=y0x0，kMN=y02x0=k2，故B正确.

由双曲线的第三定义的推广结论2可知

kNP·kNQ=e2-1=b2a2.

又kNQ=kMN=k2，所以kNP·k2=b2a2.

所以kNP=2b2ka2，故C正确.

因为kPN+kQN=2b2ka2+k2≥2ba，故D错误.

故选ABC.

3.2" 求点的坐标

例2" 设A，B为双曲线x2-y29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（" ）.

A.（1，1）""" B.（-1，2）

C.（1，3）D.（-1，-4）

解法1" （运用第三定义）设AB中点为M，则由双曲线第三定义推广结论3可知kAB·kOM=e2-1.

因为e2-1=b2a2=9，

所以kAB·kOM=9.

对于选项A，易得kOM=1，所以kAB=9.

由于双曲线过第一、三象限的渐近线的斜率为k=3，所以kABgt;3，此时直线AB与双曲线最多有一个交点，与题意矛盾.A错误.

对于选项B，易得kOM=-2，所以kAB=-92.由于双曲线过第二、四象限的渐近线的斜率为k=-3，所以kABlt;-3，此时直线AB与双曲线最多有一个交点，与题意矛盾.B错误.

对于选项C，易得kOM=3，所以kAB=3，此时直线AB与双曲线渐近线重合，与题意矛盾.C错误.

对于选项D，易得kOM=4，所以kAB=94lt;3，符合题意.

故选D.

解法2" （常规解法）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点M（x1+x22，y1+y22）.

可得kAB=y1-y2x1-x2，kOM=（y1+y2）/2（x1+x2）/2=y1+y2x1+x2.

因为点A，B在双曲线上，则x21-y219=1，x22-y229=1.

两式相减，得（x21-x22）-y21-y229=0.

所以kAB·kOM=y21-y22x21-x22=9.

对于选项A： 可得kOM=1，kAB=9.

则直线AB∶y=9x-8.

联立方程y=9x-8，x2-y29=1， 消去y，得

72x2-2×72x+73=0.

此时△=（-2×72）2-4×72×73=-288lt;0.

所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误.

对于选项B：可得kOM=-2，kAB=-92.

则直线AB：y=-92x-52.

联立方程y=-92x-52，x2-y29=1， 消去y，得

45x2+2×45x+61=0.

此时△=（2×45）2-4×45×61=-4×45×16lt;0.

所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误.

对于选项C：可得kOM=3，kAB=3，则AB：y=3x.

由双曲线方程可得a=1，b=3.

则直线AB：y=3x为双曲线的渐近线.

所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误.

对于选项D：kOM=4，kAB=94，则AB：y=94x-74.

联立方程y=94x-74，x2-y29=1， 消去y，得

63x2+126x-193=0.

此时△=1262+4×63×193gt;0.

故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确.

故选D.

3.3" 求离心率

例3" 椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为.

解法1" （运用第三定义）设C的右顶点为B，则由题意易知kAQ=-kBP.

又kAP·kAQ=14，所以kAP·（-kBP）=14.

即kAP·kBP=-14.

所以根据椭圆的第三定义，可知e2-1=-14，解得e=32.

对于该高考题，运用椭圆的第三定义可谓是秒杀.下面再给出该题的常规解法，通过比较，孰繁孰简便一目了然.

解法2" （常规解法）设P（x1，y1），则Q（-x1，y1）.

又A（-a，0），则kAP=y1x1+a，kAQ=y1-x1+a.

所以kAP·kAQ=y1x1+a·y1-x1+a=y21-x21+a2=14.

又因为x21a2+y21b2=1，则y21=b2（a2-x21）a2.

所以b2（a2-x21）/a2-x21+a2=14.

即b2a2=14.

所以椭圆C的离心率e=ca=1-b2a2=32.

例4" （2020年Ⅰ卷理15）已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为.

解法1" （运用第三定义）设F（c，0），由BF垂直于x轴易得B（c，b2a）.

设C的左顶点为A′（-a，0），则kBA′=b2/ac+a.

由双曲线第三定义，可得kBA·kBA′=b2a2.

即3·b2/ac+a=b2a2.

化简，得c+a=3a.

所以c=2a，解得e=ca=2.

解法2" （常规解法）联立x=c，x2a2-y2b2=1，a2=b2+c2 解得x=c，y=±b2a

所以|BF|=b2a.

根据题意可得，|BF||AF|=3，|AF|=c-a.

即b2/ac-a=c2-a2a（c-a）=3.

变形，得c+a=3a，所以c=2a.

因此，双曲线C的离心率为2.

3.4" 求轨迹

例5" （2019年Ⅱ卷理21（1））已知点A（-2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM和BM的斜率之积为-12，记M的轨迹为曲线C.求C的方程，并说明C是什么曲线.

解法1" （运用第三定义）由椭圆的第三定义可知，C表示焦点在x轴上的椭圆（不包括与x轴的交点），且a=2，-b2a2=-12， 从而解得a2=4，b2=2.

故C的方程为x24+y22=1（x≠±2）.

解法2" （常规解法）直线AM的斜率为yx+2（x≠-2），直线BM的斜率为yx-2（x≠2）.

由题意可知：yx+2·yx-2=-12.

变形整理，得x2+2y2=4（x≠±2）.

所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为x24+y22=1（x≠±2）

例6" 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F（1，0），A，B分别为C的左、右顶点，

P（233，2）是C上的点，则C的方程为.

解析" 由题意知A（-a，0），B（a，0）.

则由椭圆的第三定义，得

kPA·kPB=-b2a2.

即2

23/3+a·223/3-a=-a2-1a2.

整理，得3a4-13a2+4=0.

解得a2=4（a2=13舍去）.

所以b2=a2-1=3.

故C的方程为x24+y23=1.

3.5" 求渐近线方程

例7" 已知F为双曲线C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）的右焦点，A，B分别为C的左、右顶点.以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的右支于P，Q两点，若△APQ有一个内角为60°，则C的渐近线方程为.

解析" 由于C关于x轴对称，因此△APQ是以PQ为底边的等腰三角形.

因为△APQ有一个内角为60°，

因此△APQ是等边三角形，且∠PAF=30°，故kPA=33.

因为|FP|=|FA|=a+c，

所以∠AFP=120°.

设PQ交x轴于点G，则∠PFG=60°.

所以|GF|=|PF|cos60°=a+c2.

设P（x0，y0），所以x0=c+|GF|=a+3c2，

y0=|PF|sin60°=3（a+c）2.

故P（a+3c2，3（a+c）2）.

根据双曲线的第三定义，可得kPA·kPB=b2a2.

从而33·

3（a+c）/2（a+3c）/2-a=b2a2.

因此a+c3c-a=c2-a2a2.

变形整理，得3c2-4ca=0，

解得e=ca=43.

所以ba=（ca）2-1=169-1=73.

故C的渐近线方程为y=±73x.

3.6" 求与角度有关的问题

例8" （2021届湖南省长郡中学等十五校联考）已知点A（-5，0），B（5，0），C（-1，0），D（1，0），P（x，y），如果直线PA，PB的斜率之积为-45，记∠PCD=α，∠PDC=β，则sinα+sinβsin（α+β）=.

解析" 由椭圆的第三定义，可知a2=5，b2=4.

所以点P的轨迹方程为

x25+y24=1（x≠±5）.

所以C，D为椭圆的两个焦点.

所以sinα+sinβsin（α+β）=|PC|+|PD||CD|=2a2c=5.

3.7" 求斜率的取值范围

例9" 椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围为［-2，-1］，那么直线PA1斜率的取值范围为.

解法1" （运用第三定义）根据椭圆的第三定义，可得kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2.

因为-2≤kPA2≤-1，所以38≤-34kPA2≤34.

解法2" （常规解法）由题意，可知A1（-2，0），A2（2，0）.

设P（x0，y0）（x0≠±2），则x204+y203=1.

整理，得y20x20-4=-34.

因为kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2，

所以kPA1·kPA2=y0x0+2·y0x0-2=y20x20-4=-34.

因为-2≤kPA2≤-1，所以38≤-34kPA2≤34.

4" 结束语

教材是高考数学命题的增长点，立足教材，坚持对教材的回归，将教材例题、习题进行重新组合、改编或加工为新的高考试题，已成为高考数学的一个重要命题趋势.因此，在教学过程中，教师需要多做“返璞归真”的工作，引导学生重视回归教材，通过对教材核心内容及典型题目的探索、提炼、拓展、推广，达到挖掘其内涵，理解其本质，把控其规律，应用其结论的目的，进而使学生的数学思维得到升华，提高学生数学核心素养的形成和发展.

参考文献：

［1］

人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书数学选择性必修第一册（A版）［M］.北京：人民教育出版社，2019.

［责任编辑：李" 璟］