非核等距映射与非核强保n 映射的性质

摘 要：在赋范空间中推广了等距映射和保1 映射的概念，定义了非核等距映射和非核保1 映射等概念；得到了与之相关的基本性质，并且在强保n 性和保距映射之间建立了新的联系，得到了映射是等距映射的两个充分条件.

关键词：非核等距映射；非核保1 映射；赋范向量空间；严格凸空间

中图分类号：O177.3

DOI： 10.19504/j.cnki.issn1671-5365.2024.06.15

保持度量不变的映射 （简称等距映射） 的研究，已经有很长的历史了[1–4]. 它是泛函分析最本质的内容之一， 而且它的发展也是其他众多学科的需要.为了推进等距映射某些方面的研究，比如很重要的等距映射的扩张问题，人们很自然地提出了保1 映射和保n 映射的概念[5–8]. 另外，在广义谱理论的研究中，用部分等距代替正交投影算子起了重要的作用[9-10]. 本文在这些概念的基础上，提出了非核等距映射、非核保1 与非核保n 映射等概念， 它们具有更广的适用范围; 然后分别得到了非核保1 映射和非核等距映射的一个基本性质， 以及在非核保n 性和等距性之间建立起联系的两个结论.

定义1 设E、F 是赋范空间，T 是E 到F 的映射，Ker （T ）是T 的核. 若对任意的x，y ∈ E＼Ker （T ）都有||Tx - Ty || = ||x - y ||，则称T是非核等距的映射.

定义2 设E、F 是赋范空间，T 是E 到F 的映射. 若对任意的x，y ∈ E＼Ker （T ）， 当x - y = 1时总有||Tx - Ty|| = 1， 则称T是非核保1的. 若对任意的 x，y ∈ E＼Ker （T ）， ||x - y || = 1 当 且 仅 当||Tx - Ty || = 1， 则称T是非核强保1的.

定义3 设E、F 是赋范空间，T 是E 到F 的映射. 若对任意的x，y ∈ E＼Ker （T ） 和任意正整数n，||x - y || = n当且仅当||Tx - Ty || = n， 则称T是非核强保n 的.

本文需要用到以下的记号： -K （x，r ） = { z：|| z -x || ≤ r }， K （x，r ） = { z：||z - x || lt; r }， Cx （n，n + 1] =Cx （n，n + 1] = { z：n lt; ||z - x || ≤ n + 1 }.

引理1[11] 令X 是实的严格凸的赋范向量空间.令x，y ∈ X， 则X 中到a 和b 的距离均为1/2||a - b ||的唯一的向量是1/2 （a + b）.

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【编校：许洁】

基金项目：四川省教育厅项目“非线性泛函分析中的隐中点问题”（18ZB0659）