从映射与运算的角度定义线性空间

周齐

【摘要】线性空间的定义是代数中一个较为抽象但又十分重要的概念，在认识代数关于空间上具有基础性的作用，而线性空间的定义中涉及代数运算与代数结构，本文首先从映射与运算的定义与基本内涵说起，然后从代数运算的角度给出线性空间的定义，并在此基础上引入平常意义上线性空间加法的定义，与通常意义上的加法做出区分，从来源与本质上回归到最基本的映射.

【关键词】映射；运算；代数运算；线性空间

前 言

线性空间又可以称作向量空间，是高等代数的中心概念之一.在此基础上使许多问题的处理变得更为简捷和清晰，并且高度抽象出了空间的本质，使得从数学上对空间进行十分深刻的认识，众所周知我们生活的三维立体空间，通常意义上我们这样称谓，本质上就可以用线性空间中的欧几里得空间进行描述，因此线性空间的概念虽然比较抽象，但却与我们的生活联系紧密，而其定义又是认识它的关键.

一、线性空间的基础——映射与运算

首先我们要解决的是，映射和运算的定义：

映射：设M和M′是两个集合，所谓集合M到集合M′的一个映射就是指一个对应法则φ，这个对应法则使M中的每一个元素a都有M′中唯一一个确定的元素a′与之对应.由此知道，所谓映射，本质上是一个对应法则，是建立在两个集合上的对应法则.

运算：数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量.所以可以看到，运算的本质是集合之间的映射，也是一种对应法则.

二、映射与运算在数学中的基础作用

下面我们从初等数学的四则运算说起，所谓四则运算即指我们通常意义上的加法（和运算）、减法（差运算）、乘法（积运算）以及除法（商运算），而这四个运算所针对的对象是数：3与5组合在一起，获得新的8；6.77与2组合在一起，获得新的8.77；17与27组合在一起，获得新的37；……换句话说，3与5这两个数对应8；6.77与2这两个数对应8.77；……我们就把这种运算或者说是这种映射，称为加法，记作3+5=8，这就是加法（运算）的概念.同理减法、乘法、除法类似.至于为什么3+5=8，6.77+2=8.77，17+27=37等等，这首先来源于自然认识，其次是运算法则决定.这些都体现了映射与运算在数学上的基础地位.

三、代数运算下的线性空间

接着，我们来对线性空间进行定义，在对线性空间定义之前，先定义代数运算以及代数结构.

有一个非空集合，在这个集合上至少有一个映射，这个映射的原像和像都在该集合里面，则该集合称为一个代数结构，该映射称为一个代数运算.由此可知，所谓的代数运算本质上仍是一个映射，只是这个映射是建立在同一个非空集合上的.

下面，建立线性空间的定义：

对于一个非空集合，在这个非空集合上定义两个代数运算，第一个代数运算满足四条规则：第一，α与β组合在一起所获得的新的量或者说α与β这两个元素所对应的，与β与α组合在一起所获得的新的量或者说β与α所对应的是一样的.第二，α与β先组合在一起所获得的新的量，再与γ组合在一起所获得的新的量跟α与β和γ先组合在一起获得新的量组合在一起所获得的新的量一样.第三，在集合中有一个元素0，对于集合中任意一个元素α，0与α所对应的是α.第四，对于集合中每一元素α，都有集合中的元素β，使得α与β这两个元素所对应的是0.

第二个代数运算满足两条规则：第一，1与α组合在一起所获得的新的量仍是α.第二，任意数k和l，k和l与α先组合在一起所获得的新的量组合在一起所获得的新的量跟kl与α组合在一起所获得的新的量一样.

并且在满足如下两条规则：第一，k+l与α按照第二个代数运算所对应的，跟k与α按照第二个代数运算所对应的，与l与α按照第二个代数运算所对应的，按照第一个代数运算所对应的一样.第二，k与α和β先组合在一起按照第一个代数运算所对应的，按照第二个代数运算所对应的，跟k与α组合在一起按照第二个代数运算所对应的，和k与β组合在一起按照第二个代数运算所对应的，组合在一起按照第一个代数运算所对应的一样.

我们给第一个代数运算起个名字叫作加法，记作α+β，第二个代数运算起个名字叫作数量乘法，记作kα，加法所对应的结果称为α与β的和，数量乘法所对应的结果称为k与α的数量乘积.八条规则用符号表示如下：

（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）在集合中有一个元素0，对于集合中任意一个元素α，有：0+α=α；

（4）对于集合中每一个元素α，都有集合中的元素β，使得：α+β=0；

（5）1α=α；

（6）k（lα）=（kl）α；

（7）（k+l）α=kα+lα；

（8）k（α+β）=kα+kβ.

由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中，因此线性空间具有广泛的应用价值.