数学建模与概率论教学的深度融合探研

王艳兵

摘要：数学建模对学生发现数学的基本规律具有重要意义。数学建模与概率论的深度融合，是当前概率论的重要发展趋势，具有兴趣引领、拓展学习、综合发展价值，既可以提升概率论教学质量，也可以培养学生数学能力。文章基于数学建模的概念界定，分析数学建模与概率论的融合价值，指出立足核心知识培养学生建模思维、利用建模思想丰富概率论课堂、延伸数学建模创新概率论作业的数学建模与概率论深度融合策略，旨在为相关研究与实践提供一些启示。

关键词：高校；数学建模；概率论教学；深度融合；数学思维；建模思维

中图分类号：G642文献标志码：A文章编号：1008-3561（2023）34-0117-04

在传统的“概率论”课程教学中，部分教师缺乏创新精神，导致教学存在一定的滞后性，使学生不能形成良好的数学学习兴趣，更难以实现拓展学习和综合发展。新一轮课程改革给“概率论”课程教学带来了新的生机，教师应借助教育改革“春风”，积极探索优化教学效果的有效策略，以使“概率论”课程教学焕发新活力。数学建模是新一轮数学教学改革后，被广泛推荐的教学模式。概率论教师可以在实际教学中，将数学建模与概率论教学融合起来，以发挥数学建模的积极作用，使学生在“概率论”课程学习中充分受益，有效提高知识理解与运用、问题分析与解决等能力。

从内容上看，数学建模是指围绕实际存在的数学问题建立模型，通过模型求解过程和结果解决实际问题[1]。从过程上看，数学建模包括模型准备、模型假设、模型建立、模型求解、模型分析和模型检验等六个步骤。从内涵上看，数学建模属于数学的思想方法，是运用数学的语言和方法解决问题的一种手段。数学建模对学生发现数学的基本规律具有重要意义，通过数学建模经历探究性和创造性的数学实践过程，既是提升概率论教学质量的重要途径，也是培养学生数学能力的关键一环。

1.兴趣激发价值

兴趣是影响学生概率论学习效果的关键因素，而数学建模对学生的数学学习兴趣具有激发价值。数学建模是运用数学的思想和方法灵活解决数学问题的手段，能够将抽象的数学问题变得形象化，还能增加现实生活与数学实践之间的联系，改变学生对数学知识的刻板印象，激发学生数学学习兴趣，帮助学生建立数学生活化意识，促使学生学会以形象的方式分析、解决数学问题。这样，概率论教学就能更加顺利地展开。

2.拓展学习价值

数学建模就是立足实际问题，运用数学思想和方法，构建对应的数学模型的解决数学问题的方法。这意味着，当问题不固定时，数学思想和方法的运用方法不唯一，构建的数学模型也具有较大差异性。这样，学生不仅能感受数学问题的多元性和复杂性，还能理解数学思想和方法的多元性，数学模型的变化性。这对打破学生思维定式、拓展学生数学思考空间起着重要作用[2]。

3.综合发展价值

概率论以学生的综合发展为根本追求，丰富学生数学意识、数学知识、数学技能、数学情感。一方面，数学建模以在实际问题中抽象出来的数学模型为核心，能够在解决问题的目标导向下，对学生数学意识与数学技能进行有效培养[3]。另一方面，基于数学建模的问题解决效果，通常优于其他形式的问题解决效果，有利于学生掌握概率论知识，形成积极的数学情感。这说明，数学建模与概率论的结合可以促进学生综合发展，实现概率论教学的根本追求。

三、数学建模与概率论的深度融合策略

下面，笔者以高教版概率论教材为参考，应用案例分析法，探究数学建模与概率论深度融合的具体策略。高教版概率论教材内容丰富，符合数学建模与概率论深度融合的基本要求。在实际教学中，教师首先可以立足核心知识培养学生建模思维，其次可以利用建模思想丰富概率论课堂，最后可以延伸数学建模创新概率论作业。

1.立足核心知识，培养学生建模思维

数学建模与概率论的深度融合，要求学生具有建模思維基础，学生只有具备了一定的数学建模思维，才能在数学建模与概率论的融合中，紧跟教师指导进行数学建模。因此，在实际教学工作中，教师必须重视对学生建模思维的培养。具体可以从以下几方面入手。

（1）通过数学概念培养学生的建模思维。数学概念是整个概率论的基础，学生理解核心知识、生成建模思维，均以掌握数学概念为前提。在数学概念的探究过程中，教师应预先梳理教材，建立系统化的概念认知，充分把握其模型特征，再从多个角度挖掘建模思维的融合点[4]。具体来说，一方面，教师要积极改变概率论概念教学方法，运用生活实例讲解数学概念，以使学生在生活化的概念理解中形成建模思维，从而为学生日后通过数学建模解决生活实际问题打下基础。另一方面，教师要积极转变教学思维，以“章主题”为线索整理数学概念，通过整体教学促使学生建立数学概念模型，以帮助学生形成建模思维。以“统计量及其分布”教学为例，本章重点概念包括“总体”“个体”“样本”“样本数据”“经验分布函数”“抽样分布”“均值”等，对本章重点概念进行整理，搭建由“小”到“大”的概念知识体系，是建立“统计量及其分布”数学概念模型、培养学生建模思维的重要过程。教师要在备课阶段，对本章数学概念进行整体分析，预先建立“数学概念图”。课上，教师每完成一个概念讲解，都要指导学生分析概念间的逻辑联系，构建概念图谱。随着教师指导的深入，以及学生概念积累的增加，学生会逐渐完成逻辑严谨的概念图谱，使其呈现“统计量及其分布”全部概念，细化“总体”“个体”“样本”之间的联系，经历数学模型的形成过程，提升建模思维。另外，“统计”是与生活息息相关的一项数学活动，生活中很多时候都需要通过统计揭示事物本质。教师可以在上述教学活动基础上，利用生活中的统计元素丰富教学，如区域共享单车投放规律的统计、停车场收费标准的统计等。借助生活中的统计案例，教师可以为学生提供对应本章数学概念的生活化数学模型，然后引导学生在生活实例中抽象出数学概念。学生基于生活实例挖掘数学概念的过程，也属于构建数学模型的过程，有助于自身形成建模思维，促进数学建模与概率论的深度融合。

（2）通过教材例题培养学生的建模思维。教材例题是概率论至关重要的教学内容，也是数学建模与概率论深度融合的切入点。为促进学生理解数学概念、定理、性质等，高教版概率论教材编排了大量例题，通过例题说明数学定理、性质等具体应用过程，由此形成了数学模型，使例题分析成为概率论教学的重要环节。教师应当立足此环节，培养学生建模思维，以使课程教学目标能够有效达成。值得注意的是，高教版概率论教材例题丰富，但并非所有例题都能直接应用在数学建模教学方面。在实际教学中，教师应根据学生特点调整例题选择方法，优化例题讲解过程[5]。以“边际密度函数”为例，为使学生构建边际密度函数的计算模型，注意非零区域，不能简单地把积分上下限取为正无穷或者负无穷，且已知联合分布可以求得边际分布，反之则不能唯一确定，教材特别设计了一些例题。部分例题中，该模型的体现尤为明显，也有部分习题中，需要深入分析才能厘清该模型结构。教师可根据学生特点选择例题，如针对学习能力强、具有一定建模思维的学生，教师可选择第二类例题，指导学生合作总结其数学模型。而针对学生能力偏弱、缺乏建模思维的学生，教师可选择第一类习题，以直截了当的方式促进其发现数学模型，形成建模思维。例题讲解完毕后，教师可以让学生复述探究过程，用自己的语言总结相关数学模型。学生亲身经历了探究和思考过程，在复述中又进行了总结性学习，因此学习效果必然理想。

（3）通过习题任务培养学生的建模思维。习题任务训练是概率论公认的难点，也是学生形成数学建模思维的必要手段。教师要基于数学建模与概率论的深度融合，在习题任务中培养学生的建模思维。在此期间，教师可以采取分层教学方法，根据学生差异设计递进式习题任务，以满足不同学生的习题训练需求和建模思维发展需要[6]。对比例题分析教学，习题任务训练的难度更大，学生更容易在学习过程中遇到阻碍。教师应未雨绸缪，制定“阻碍预案”。例如，教师可以帮助学生建立学习小组，发挥小组优势，促进学生思维互动，提升学生建模思维。在选择习题任务时，教师可将教材视为习题资源库，然后着眼于生活引导学生进行相关训练。高教版概率论教材编排了习题栏目，并将习题努力分布在不同章节，如第三章“多维随机变量及其分布”教材内容，包含“多维随机变量及其联合分布”“边际分布与随机变量的独立性”“多维随机变量函数的分布”等五个小节，每节都设计了对应核心内容的习题栏目，如习题3.1、习题3.2等。教师可以“由面到线”“由线到点”“由点拓展”，完善实际教学习题设计，为学生布置合理习题任务，培养学生建模思维。在“多维随机变量函数的分布”教学中，教师可基于习题3.3的具体内容布置习题任务。首先，教师可根据难度将习题划分低、中、高三个等级，梳理“由简到难”的习题任务实施线索。其次，教师在三个等级的习题资源中，各选择2道具有代表性的习题，要求学生根据能力差异领取对应任务，展开小组探究，构建解题模型。最后，教师可根据“多维随机变量函数”在生活中的应用情况，以习题为基础，补充生活化习题资源，并鼓励学生迁移运用教材习题解题模型完成生活化习题任务，以促使学生逐渐养成在数学习题中提炼数学模型的良好习惯。

2.利用建模思想，丰富概率论课堂

教师应利用数学建模思想，丰富概率论课堂。在学生形成数学建模思维，满足数学建模与概率论深度融合的基本要求后，教师应以课堂为主阵地，落实数学建模与概率论的深度融合。具体来说，教师可以立足概率论课堂“导入教学”与“解决问题”两个关键环节，发挥数学建模的价值，提高课堂教学有效性。

（1）利用建模思想导入教学。以高教版数学教材为代表，概率论教材多以对知识内容的直接编排为主，鲜少在章节或课时前设计知识导入栏目，导致一些教师缺少教学导入意识。在此情况下，教师在课堂单刀直入地讲解知识，较难调动学生的积极性，自然影响数学建模与概率论的深度融合。教师可以转换思路，利用建模思想导入教学[7]。在导入过程中，教师可以直接向学生布置趣味思考任务，也可以创设情境，将核心知识与数学游戏、日常生活联系起来，以此激发学生想象力，使学生在联想中感悟数学模型，提高学习兴趣。例如，“样本分位数与样本中位数”教学要求学生在“统计量及其分布”背景下，分别建立关于样本分位数和中位数的数学模型。教师可基于两个数学模型的内在差异，设计“找不同”数学游戏。课堂导入环节，教师将蕴含数学模型的“样本分位数”与“样本中位数”数学实践案例直接展示给学生，引出“找不同”游戏：相信通过之前的学习，同学们已经了解统计量及其分布的基础内容，而且在许多统计经验中，同学们已经掌握“什么是样本中位数”。那么，如何理解“样本分位数”呢？这里有两份资料，请找出它们的不同，概括“样本分位数”。两份资料的对比，能满足学生“找不同”游戏化学习需求，创造趣味学习情境，学生可基于对比分析所得，大胆猜测、小心求证，自主发现样本分位数与样本中位数的数学模型差异，体会模型思想。另外，通过把握数学模型差异，学生能够精准区分样本分位数与样本中位数，提高学习效率。

（2）利用建模思想解决问题。课堂导入成功、學生顺利进入主动学习状态后，教师可以引导学生利用建模思想解决问题。概率论课堂丰富与否，解决问题效果起着决定性作用。而数学建模，是解决问题的有效策略。在开展课堂教学活动期间，教师可以基于前期铺垫设置问题，引导学生利用建模思想解决问题，让学生充分经历数学建模解决问题的探究过程，从而增强学生数学建模能力。除上文提到的习题任务外，学生自行开发问题也是利用建模思想解决问题的形式之一。在概率论教学中，学生基本实现了深层发展，具备数学问题的自主开发能力。教师可根据学生基本学情，鼓励学生自主开发数学问题，并在开发问题期间运用数学模型思想[8]。例如，在教学“三大抽样分布”时，教师可以在完成基础教学任务，并建立三种抽样分布数学模型后，鼓励学生围绕数学模型自主开发问题。学生成功开发问题后，教师可让学生相互交换问题，这样，学生主导问题开发，丰富概率论问题教学活动，可促进数学模型在问题中的应用。学生先运用数学模型开发问题，运用模型思想，再加强模型思想的运用，利用数学模型解决创意问题，增强数学建模实力，保障数学建模与概率论的深度融合。

3.延伸數学建模，创新概率论作业

作业具有巩固教学功能，是概率论“增效”的常用手段。教师将数学建模渗透于概率论作业，同时监督学生利用课余时间完成作业任务，一方面有助于学生在课后继续进行相关探究，另一方面有助于学生复习和吸收相关基础知识。教师可以延伸数学建模与概率论的深度融合空间，适当创新作业内容。以“参数估计”教学为例，“点估计的几种方法”“点估计的评价标准”“最小方差无偏差估计”等内容，都可以成为创新概率论作业的起点，融入数学模型。也就是说，教师可以在其教学中创新作业设计与应用，延伸数学建模。而生活，是创新概率论作业的重要资源。教师可以立足于现实生活，分析参数估计与生活现象的数学联系，从而提出“用点估计方法估计生活现象”这一开放性作业任务。教师可将作业通过网络途径推送给学生，使学生在课后自主构建数学模型，以进一步锻炼学生基于数学建模的解题能力。学生由于个性因素影响，对不同生活现象的好奇程度存在差别，故而可以在作业任务中，根据自身兴趣选择点估计对象。在完成作业任务过程中，学生灵活构建函数模型并解决实际问题，加强对真实情境的深度思考，提升数学建模思维。在作业检验阶段，教师可根据学生点估计对象差异分类点评学生作业。由于点估计对象不同，学生对点估计方法的具体应用也应存在一定区别。例如，在一些点估计对象中，学生运用替换原理和矩法估计构建数学模型，在另一些点估计对象中，学生构建最大似然估计的数学模型。教师分类点评学生作业，有助于将学生构建的数学模型建立起对比关系，进而促进学生比较学习。比较期间，学生可以进一步分析不同数学模型的优缺点，从而拓宽数学建模思维，实现数学建模与概率论的深度融合。

总之，根据实际问题建立和求解数学模型，利用数学模型结果解决问题，能够降低概率论课程的抽象性，激发学生数学学习兴趣，促进学生拓展学习和全面发展。因此，概率论课程教师要充分认识数学建模的应用价值，积极总结数学建模与概率论的深度融合方法，有效将数学建模与概率论融合在一起，以提高概率论课程质量，发展学生数学思维。

参考文献：

[1]姜思洁.数学建模思想在高校数学教学改革中的实践[J].创新创业理论研究与实践，2022，5（17）：50-52.

[2]刘清华.基于数学建模能力培养的高等数学教学策略[J].北京工业职业技术学院学报，2022，21（03）：95-98.

[3]范亚茹，亓宇欣.数学软件在数学建模中的应用[J].西南民族大学学报：自然科学版，2022，48（03）：326-331.

[4]胡俊红.基于数学建模思想的概率论与数理统计课程教学创新研究[J].延边教育学院学报，2021，35（04）：147-149.

[5]施贞.基于数学建模思想的高校数学教学改革策略研究[J].甘肃教育研究，2021（06）：38-40.

[6]陆光洲.探究概率论与数理统计课程与数学建模思想的融合[J].吉林广播电视大学学报，2020（10）：87-89.

[7]刘昆仑.应用型人才培养模式下概率论与数理统计课程的改革探索[J].齐鲁师范学院学报，2019，34（01）：28-33.

[8]王鹏飞，殷凤.概率论教学改革探索与实践[J].忻州师范学院学报， 2017，33（02）：30-33.

Exploration of the Deep Integration of Mathematical Modeling and Probability Theory Teaching

Wang Yanbing

（School of Linfen， Shanxi Normal University， Linfen 041099， China）

Abstract： Mathematical modeling is of great significance for students to discover the basic laws of mathematics. The deep integration of mathematical modeling and probability theory is an important trend in the current development of probability theory， which has the value of interest leading， expanding learning， and comprehensive development. It can not only improve the quality of probability theory teaching， but also cultivate students’ mathematical abilities. The article is based on the concept definition of mathematical modeling， analyzes the integration value of mathematical modeling and probability theory， points out that cultivating students’ modeling thinking based on core knowledge， enriching probability theory classrooms with modeling ideas， and extending the deep integration strategy of mathematical modeling and probability theory in mathematical modeling innovation probability theory homework， aiming to provide some inspiration for related research and practice.

Key words： universities； mathematical modeling； teaching probability theory； deep fusion； mathematical thinking； modeling thinking