考虑随机性变量的钻井钻柱运转稳定性研究

苗俊田

（中国石油大学（华东）工业训练中心）

在钻进过程中，钻柱受到扭转作用产生横向与纵向的振动。 在钻进遇到某些特殊情况时，钻头可能会被锁定卡死在岩石中，而转盘在继续施加扭矩，当扭矩达到一定值时，钻头突然被释放而加速旋转，产生滑移振动［1～3］。 当钻井遇恶劣工况时，钻柱振动会导致钻头加速损坏，严重时甚至会使钻柱失效，造成较大的经济损失［4～6］。 影响钻柱系统稳定性的因素主要有平衡摩擦系数、岩石受限抗压强度、钻井液密度、阻尼比等，各因素具有一定的随机性［7～11］。 因此，建立基于随机性的钻柱扭转振动模型，分析随机性因素对钻柱扭转稳定性的影响，可为钻进过程中钻柱的稳定性研究提供依据， 有利于避免井下工具动载荷失效，对井下安全生产、 提速增效具有重要的指导意义。

1 模型的建立

1.1 钻柱扭转动力学经典理论

建立分段式钻柱机械模型（图1），由上下不同直径的空心圆柱体组成。

图1 钻柱与钻头的机械模型

采用经典的钻柱扭转理论模型反映钻柱的动力学特性，其运动方程如下：

式中 G（z）——剪切模量，GPa；

J（z）——钻柱的转动惯量；

Mz——单位长度的扭矩，N·m；

t——时间，s；

θ——旋转角度，rad；

ρds——钻柱的密度，kg/m3。

式中 a1、a2、a3——钻头与岩石的相互作用常数；

Fzdrill——钻头所受的压力，N；

Rdrill——钻头的半径，m；

θdrill——钻头的旋转角度，rad；

μ——平衡摩擦系数。

在钻进过程中，钻柱和钻头周围充满了钻井液，直接影响了系统的惯性。 基于式（1），采用下式引入钻井液对系统的影响：

式中 Jm——钻井液的转动惯量；

ρm——钻井液的密度，kg/m3；

ρs——钻井液修正后的钻柱密度，kg/m3。

对钻井液密度进行随机化， 在计算过程中，需要施加最低渗透率的约束，采用Depouhon的研究成果表示最低渗透率Pz：

式中 a0——与切削力倾斜度有关的无量纲常数；

cn——钻头的叶片数量；

wc——刀具磨损宽度，m；

σc——岩石的受限抗压强度，N/m2。

1.2 影响因素的随机化

在实际钻进过程中， 影响钻进的因素通常在一定的范围内波动。因此，本研究采用概率方法考虑平衡摩擦系数、 岩石受限抗压强度、 钻井液密度、阻尼比的不确定性，即基于各因素的概率分布特点，利用最大熵原理对影响因素随机量化［12～14］，如下：

式中 C——随机阻尼矩阵，与阻尼的概率分布有关；

F——随机扭矩矢量，与随机平衡摩擦系数有关；

K——刚性矩阵；

M——随机惯性矩阵，与钻井液密度的概率分布有关；

θr——随机响应的旋转角度。

M、K和C计算式如下：

式中 Di——钻柱内径，m；

Do——钻柱外径，m；

w1、w2——阻尼常数；

ξ——阻尼比；

ω——中心频率。

对于平衡摩擦系数、岩石受限抗压强度和钻井液密度，引入变异系数，假设其概率分布均在某个区间（［x1，x2］）内，利用熵最大化得到概率分布为均匀分布［12］，如下：

式中 c——变异系数；

fX——概率分布；

x1、x2——概率分布下限、上限；

xr——平均数；

σX——标准差。

x1、x2可联立式（10）～（13）算得。

对于阻尼比，利用熵最大化得到其概率分布为对数正态分布［13］，如下同样可计算得到x1、x2：

2 模型的验证

为客观评价模型的可靠性和适用性，采用塔里木油田钻井数据对模型进行验证，基础参数如下（其中，井半径即裸井井眼半径，钻头半径即PDC钻头半径，直径为215.9 mm）：

钻柱长度ls4 733.6 m

底部钻具组合长度lh466.2 m

上钻柱外径Dso0.127 m

上钻柱内径Dsi0.109 m

下钻柱外径Dxo0.171 m

下钻柱内径Dxi0.071 m

钻柱密度ρds7 800 kg/m3

钻井液密度ρm1 500 kg/m3

钻头半径Rdrill0.108 m

钻井半径Rw0.108 m

剪切模量G（z）85.27 GPa

平衡摩擦系数μ 0.3

阻尼比ξ 0.25

钻头叶片数量cn6

受限抗压强度σc80 MPa

倾斜常数a00.4

相互作用常数a10.477 5

相互作用常数a28.785 4

相互作用常数a34.559 5

刀具磨损宽度wc0.25 mm

最低渗透率Pz0.1 μm2

采用PDC钻头+双扶钻具组合，如图2所示，钻具组合为φ215.9 mm PDC钻头+φ171.4 mm直螺杆+φ171.4 mm 钻 铤1 根+φ215.9 mm 扶 正 器+φ171.4 mm 钻 铤1 根+φ215.9 mm 扶 正 器+φ171.4 mm钻铤（15根）+φ171.4 mm随钻震击器+φ171.4 mm钻铤（2根）+φ127 mm钻杆。

图2 PDC钻头+双扶钻具组合

采用模型中确定性公式对现场工况进行模拟，频率为50 Hz，转盘转速为120 r/min，对钻头施加的力为245 kN，其结果如图3所示。 由图可知，模拟数据与现场数据吻合度较高，曲线变化趋势和变化周期具有较强的一致性。 因此，所建模型具有一定的可靠性和现场适用性，可有效模拟钻柱的动力学特性。

图3 模拟数据与实验数据对比分析

3 因素随机性对钻柱扭转振动的影响

3.1 各因素的共同影响

共同考虑平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比等因素的不确定性。 同时改变平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比的变异系数，得到各因素共同影响下扭转稳定曲线如图4所示。 图中20%、30%、40%、50%曲线分别表示变异系数为20%、30%、40%、50%的扭转稳定曲线。

图4 随机扭转稳定曲线

由图4可知， 当现场操作的工况点落在曲线上部时，钻进系统处于不稳定状态；当现场操作工况点落在曲线下部时， 系统处于稳定状态；若转盘转速过低而钻压过高，则易出现系统运行不稳定的恶劣工况，可通过提高转盘转速、降低钻压减缓不稳定情况。 随着各因素变异系数的共同增加， 随机扭转稳定概率曲线向右下方偏移，扭转稳定区域范围降低，不利于钻柱系统的稳定运行。 同时，随着变异系数的共同等步长增加，各因素的不确定度变大，扭转稳定曲线向右下偏移幅度基本相同，这是不同因素共同影响的结果。

3.2 各因素随机性的影响

以稳定概率为80%的临界稳定曲线为基础，改变平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比、受限抗压强度中单个参数的变异系数，得到某个随机因素的稳定曲线。 图5a～d分别为平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比、最低渗透率（受限抗压强度）对应的扭转稳定曲线。其中，20%、30%、40%、50%分别指各变量的变异系数为20%、30%、40%、50%，曲线表示稳定概率为80%的临界稳定曲线。

图5 各随机变量的扭转稳定曲线

分析可知，当变异系数升高时，平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比的扭转稳定曲线向右下方偏移，最低渗透率（受限抗压强度）的扭转稳定曲线向右上方偏移，即对于平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比，变异系数的升高导致扭转稳定区域范围降低，而最低渗透率（受限抗压强度）相反。 因此，在实际生产过程中各个因素的波动均会对钻进系统稳定性产生一定的影响。 钻井液密度的随机变化对扭转稳定区域的影响最小，平衡摩擦系数、阻尼比、最低渗透率（受限抗压强度）的随机变化对扭转稳定区域的影响较显著。 阻尼比的影响最为突出，现场钻井要注意阻尼比的变化，提前做好相应的防范措施，如降低钻压等。 在低转盘转速下，平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比、最低渗透率（受限抗压强度）的临界稳定曲线受变异系数的影响均较低，而随着转盘转速的提高， 变异系数对临界稳定曲线的影响越来越大。根据现场转盘施加转速和不同变异系数的临界稳定曲线，可得到各参数波动对操作工况下系统稳定性的影响程度，可为避免系统失稳和制定操作规程提供理论指导。

4 结论

4.1 基于随机性的钻柱扭转振动模型模拟结果与现场数据吻合度较高，具有一定的可靠性和现场适用性，可有效模拟钻柱动力学特性。

4.2 考虑平衡摩擦系数、钻井液密度、阻尼比、受限抗压强度等因素的不确定性，得到不同变异系数对应的稳定临界曲线，有利于技术人员掌握系统稳定概率。

4.3 若转速过低、钻压过高，则易出现系统运行不稳定的恶劣工况，可通过提高转速、降低钻压减缓或避免不稳定情况。

4.4 平衡摩擦系数、钻井液密度和阻尼比及变异系数的升高导致扭转稳定区域范围降低，而最低渗透率（受限抗压强度）相反。 另外，钻井液密度的随机变化对扭转稳定区域的影响最小，而平衡摩擦系数、阻尼比、最低渗透率（受限抗压强度）的随机变化对扭转稳定区域的影响较显著。 阻尼比的影响最为突出，在钻进过程中要注意系统阻尼比的变化，提前做好防范措施，如降低钻压等。