概率基多目标优化在化工机械正交试验及稳健设计中的应用

于 洁 贾 璞 肖超妮 郑晓晖

（西北大学生命科学学院）

优化问题是实际的工程和日常生活中经常会遇到的问题，随着社会发展和技术进步，优化问题所涉及到的因素和需求越来越多，越来越复杂。 许多优化问题往往需要同时考虑多个目标或属性，属于多目标优化问题。 多目标优化问题，在一定程度上应该归属于系统科学类问题。 以系统论的观点，将多目标问题视为一个系统，进行整体优化，才能使系统在整体上达到最优，而各个目标之间在系统的整体优化的旗帜下达到某种协同或者折中。

目前，常用的多目标算法，主要有线性加权法、帕累托解法和ε-约束法，以及机械设计和选材的层次分析法 （AHP）， 多准则妥协解排序法（VIKOR），理想解相似度排序法（TOPSIS），基于比值分析的多目标优化法（MOORA）等。 但这些方法仍然存在一些基本问题，如：线性加权法中涉及到的权重因子和归一化因子的确定依据不明确； 帕累托解法只能给出解的一个集合；ε-约束法只挑选出其中某一目标进行优化，而其他目标则作为约束条件进行处理，也就是将多目标优化问题降级为单一目标的优化问题等。 此外，从集合论和概率论的角度来看，线性加权法就是对几个目标的集合进行并集运算，这显然不符合多个目标同时优化应该是几个目标的集合之交集运算的科学内涵。 因此，要解决多目标优化问题，就需要以系统论的观点从整体上深刻揭示多目标优化的本征内涵，以各个目标之间的内在关系为导向，从系统工程的角度，探讨多目标优化的异质同型的系统性，建立普适的各个多目标之间统筹兼顾的系统模型，并在应用中加以发展。

近年来，ZHENG M S等以系统论的观点出发，从集合论和概率论的角度分析了多目标优化问题，建立了全新的概率基多目标优化方法［1］。笔者将概率基多目标优化方法应用于化工过程及机械设计的多目标优化问题，必将有助于恰当解决化工机械设计和加工方面的问题，得到科学和理性的结果。

1 概率基多目标同时优化方法的正交试验设计步骤

1.1 概率基多目标优化方法简介

概率基多目标优化方法（Probability-based Multi-Objective Optimization，PMOO） 企望解决以往多目标优化方法中存在人为（或主观）因素的固有问题［1］。该方法以系统论的观点，引入了青睐概率这一概念，来反映候选对象在优化过程中被青睐的程度，并将候选对象的所有性能效用指标划分为效益型和成本型两种基本类型。 效益型指标具有越大越好的特征，成本型指标具有越小越好的特征。 各候选对象的每个性能效用指标都定量地贡献出一个分青睐概率。 从概率论的观点来看，候选对象的总青睐概率就是其所有分青睐概率的乘积，这是它在优选过程中整体性和唯一的决定性指标。

在新的概率基多目标优化方法中，候选对象的效益型性能指标的效用值以正线性相关的方式贡献其分青睐概率，即：

其中，Xij是第i个候选对象的第j个 （效益型）性能指标的效用值；Pij为该效益型性能指标的效用值Xij的分青睐概率；n是相关候选对象组中候选对象的总数；m是该组中每个候选对象的性能指标（目标）的总数；αj是候选对象的第j个效用性能指标的归一化因子，αj=1/（nμj），μj是该效益型性能指标的效用值在所涉及的对象组中的算术平均值。

对于成本型性能指标， 可以进行对等地处理，以负线性相关的方式贡献其分青睐概率，即：

其中，Xjmax和Xjmin分别表示对象组中该性能指标效用值的最大值和最小值，βj是第j个性能指标的效用值的归一化因子，且βj=1/［n（Xjmax+Xjminμj）］。

此外，从概率论的角度看，对于多目标的“同时优化”，第i个候选对象的总（综合）青睐概率Pi是其所有分青睐概率Pij的乘积，即：

候选对象的总青睐概率在整个优选过程中作为唯一的决定性指标，通过它就将多目标优化问题转化为一个单目标优化问题。 新的概率基多目标优化的主要特点是对于效益型效用指标和成本型效用指标进行对等处理，而且在整个处理过程中不涉及人为（或主观）的标度因子。

1.2 概率基多目标优化方法与正交试验设计的结合

由于通过候选方案的总青睐概率能够将多目标优化问题转化为单目标优化问题，而且按照概率论，总青睐概率就是多个目标同时优化中唯一的、全面的决定性指标，因此就可以对总青睐概率进行正交试验设计的极差分析，再由极差分析所得到的结果来确定相应的最佳配置。 这个操作程序就构建了概率基多个目标同时优化的正交试验设计方法。

1.3 概率基多目标优化方法的稳健性设计

早在1950年，田口玄一就意识到可以通过稳健性（Robust，鲁棒）设计来提高产品的质量，并且提出可以通过降低噪声影响的方式来进行优化，这就是田口方法［2］。在田口方法中，将影响因素分为可控和不可控因素，他指出可以通过设计实验来研究可控和不可控因素对响应的影响。 田口玄一所称的不可控因素就是噪声因素。 稳健性设计的思想是关于一组可控因素的设计，在最优点处产品的质量对所谓的噪声因素具有不敏感性，或具有最小的噪声影响。 在田口方法中，还进一步假设可控因素主要指那些实验者或生产者容易控制的因素， 比如在注射成型过程中材料的选择、注射成型时间及模具温度等，而噪声因素是那些不容易或非常昂贵或不可能控制的因素。 因此， 稳健性设计就是寻找到一套产品和工艺参数，使在该参数处产品的最终质量响应指标对不可控因素的变化具有最小敏感性，而不需要设法消除不可控因素。 进一步，田口玄一引入了“信噪比（SNR）”一词来实施其稳健性设计，可控因素的最佳设计值就对应于信噪比最大值的状态。 田口玄一还给出了3种标准类型的信噪比。 对于以目标值的期望值为优化点的情形有：

然而，文献［3～7］的研究表明，在实际的实验过程中， 通常实验测试到的结果的平均值μ和标准差σ是一组互相独立的响应。 但是，式（4）中信噪比SNR的表达式将这两个响应（μ和σ）固化成为一个信噪比（SNR）响应，这是不合理的。 并且，SNR的最大值的优化不等价于同时使σ达到最小、使μ接近于其目标的优化。 更为严重的是，在具有“越小越好”和“越大越好”特征问题的表达式中，甚至标准差σ并未出现。这一点经常受到统计学家的批评［3～7］。

另外，统计学家们建议，可以通过使用两个单独的模型来考虑均值μ和标准差σ的响应。 因此， 对于σ的最小值和μ接近于其目标的优化，应该同时采用单独的模型来处理，以达到合理的稳健性优化设计之目的。

这里，按照概率论的方法，以候选对象（方案）性能指标的算术平均值及其标准差作为处理中的两个独立响应，便可实施稳健性设计和产品的工艺优化［1］。

2 概率基多目标优化方法在化工机械设计中的应用实例

2.1 应用于管壳式换热器折流板结构参数优化的正交试验设计

管壳式换热器广泛应用于石油、化工及冶炼等领域，具有诸多优点，如结构简单、安全可靠及传热效率高等。 管壳式换热器中的折流板是不可缺少的工作部件，它会影响换热器的传热、流动特性，以及壳程压降等行为。

李德涛等对折流板的缺口高度h在壳程圆筒内径的20%～45%范围内进行设计，发现折流板缺口高度的变化会对流体的流动状态产生影响，进而对其传热效率造成影响，而且换热系数和壳程压降会随着折流板缺口高度的增大而减小，折流板的最小间距应不小于壳体内径的1/5 也不应小于50 mm。研究表明，折流板间距越大壳程传热系数越小、压降越小。 实际上，折流板间距应该有其最佳的参数值，故针对管壳式换热器进行了优化设计［8］。 管壳式换热器壳程内径为260 mm、壳程总长1 500 mm、进出口管内径90 mm、换热管外径24 mm、换热管数量24根，换热管间距36 mm。 将折流板缺口高度h、折流板数量N和折流板开孔孔径d作为输入自变量， 每个因素有3个设计水平，进行正交试验设计，以换热器的壳程压降和表面换热系数作为目标，进行优化设计。 对管壳式换热器， 采用三维简化模型以及CFD进行了模拟计算。 当换热介质的入口流速为4 m/s时，其正交试验设计结果列于表1。

表1 管壳式换热器多因素正交试验方案L9（34）及结果

按照概率基多目标优化方法对表1中数据进行处理，得到表2的结果。 其中，压降△P具有越低越好的特征，属于成本型指标；表面换热系数η具有越大越好的特征，属于效益型指标。 从表2结果可以看出， 方案2具有最大的总青睐概率，因此，优化结果应该在方案2附近。 进一步，对表2给出的总青睐概率进行极差分析， 得到表3的结果。

表2 管壳式换热器多目标试验结果的评价情况

表3 管壳式换热器概率基多目标评价极差分析

极差分析表明，因素的重要性次序为h＞N＞d。而最终优化的结果为h1N1d3， 即折流板缺口高度h=95 mm、折流板数量N=4块、折流板开孔孔径d=10 mm时，换热器换热效果可达到最优。 然而，李德涛等采用综合性能评价因子法，获得的结果是h=95 mm、折流板数量N=4块、折流板开孔孔径d=8 mm［8］，异于本文的结果。

2.2 应用于降黏聚结一体化装置的优化设计

卜凡熙等针对旋流器处理含聚介质的“消化不良”现象，设计出一种降黏聚结一体化装置。 将该装置串联于聚介质的旋流处理器之前端，在降低聚合物溶液黏度的同时， 还增大了油滴粒径，从而降低了含聚介质黏度和油滴乳化程度对旋流器分离性能的影响。 同时，为了提高装置的降黏聚结效果，采用正交试验方法对其进行了结构尺寸优化。试验选取A、B、C、D、E、F、G7个因素，每个因素设定3个水平，并以油滴粒径、黏度和压降为3个优化目标，进行了优化设计。 采用了三维简化模型以及CFD进行模拟计算， 其正交设计结果列于表4［9］。

表4 降黏聚结一体化装置的正交试验L18（2137）方案及结果

按照概率基多目标优化方法对表4中数据进行处理，得到的结果列于表5，其中，油滴粒径为效益型指标，黏度和压降为成本型指标。从表5可以看出， 试验方案6具有最大的总青睐概率，因此，优化结果应该在方案6附近。 进一步，对表5给出的总青睐概率进行极差分析， 得到表6的结果。

表5 降黏聚结一体化装置多目标试验结果的评价情况

表6 降黏聚结一体化装置概率基多目标评价极差分析

极差分析结果表明， 因素的重要性次序为C＞F＞A＞D＞G＞E＞B， 最终优化结果为A2B3C3D2E2F2G3时，降黏聚结一体化装置可达到最优。卜凡熙等采用“综合平衡法”处理了这一问题［9］，得到的最终优化结果为A2B2C3D2E2F2G1，和本文结果有点差异。

2.3 应用于等距螺旋锥齿轮MIM工艺参数多目标稳健性优化

刘赣华等针对等距螺旋锥齿轮， 利用Moldex3D软件和正交试验设计进行了金属粉末注射成型（MIM）工艺成形的仿真分析。 以体积收缩率和粉末浓度为目标函数，试图通过对目标函数均值分析和极差的分析，并利用BP神经网络结合非支配排序遗传算法（NSGA-Ⅱ）进行MIM工艺参数的优化。 MIM工艺参数优化考虑了5个影响因子，即保压压力A、充填时间B、浇口直径C、熔体温度D和模具温度E，每个因子设计了5个水平，并采用L25（55）进行正交试验设计［10］。 其正交设计结果列于表7。其中，μ和σ分别表示体积收缩率与粉末浓度的平均值和标准差；合金粉末的输入体积分数为60%。

表7 MIM工艺参数的L25（55）正交试验方案及体积收缩率与粉末浓度结果

笔者针对这一问题，采用概率基多目标稳健性评价［1］，由于粉末浓度的输入值为60%，故其效用值应为ε=|60%-μv|，具有越小越好的特征；同时体积收缩率的平均值和标准差、粉末浓度的标准差也具有越小越好的特征。按照概率基多目标优化方法的稳健性评价方法，以及粉末浓度的效用值ε的定义，对表7中数据进行处理得到表8的结果。

表8 MIM工艺参数试验结果的多目标稳健性评价情况

以Pt=（Pμv·Pσv）×（Pμd·Pσd）为依据进行总青睐概率Pt的评估［1］。 由表8可知，试验方案25（A5B5C4D3E2）具有最大的总青睐概率，因此，优化结果应该在方案25附近。 进行极差分析得到表9结果。

表9 MIM工艺参数试验结果的概率基多目标评价极差分析

极差分析结果显示，因素的重要性次序为C＞B＞A＞D＞E，最终优化结果为A5B1C4D3E2，即保压压力A=106 MPa、 充填时间B=0.20 s、 浇口直径C=0.55 mm、熔体温度D=240 ℃和模具温度E=40 ℃。刘赣华等采用“BP神经网络结合非支配排序遗传算 法（NSGA-Ⅱ）”处 理 了 这 一 问 题［10］，得 到 的Pareto最优解为：保压压力A=99.183 MPa、充填时间B=0.241 s、浇口直径C=0.548 mm、熔体温度D=240.702 ℃、模具温度E=63.981 ℃，有异于本文的结果。

上述3个案例的计算结果均与本文结果存在差异，其原因在于概率基多目标优化属于系统的优化方法，期待之后有学者对计算效果进行验证评价。

3 结束语

将概率基多目标优化方法和正交试验设计，以及稳健性设计结合起来，可以得到概率基多目标正交试验优化设计和稳健性设计方法。 将概率基多目标正交试验优化设计方法应用于管壳式换热器折流板结构参数优化的正交试验设计和降黏聚结一体化装置的优化设计，概率基多目标稳健性设计方法应用于等距螺旋锥齿轮MIM工艺参数多目标的稳健性设计，得到了多个目标同时优化的结果。 该方法简便易行，可望在广泛领域得到应用。