整体意义理解下的结构化认知——以“认识底和高”的教学为例

江苏省常州市武进区星河实验小学 荆熙哲

数学大单元教学的目的就是促进儿童对数学概念的整体意义理解。数学教学是对教材分段式实施的解读与思考，是对单元内容整体性设计的探索与研究，是促进学生结构化认知的方式与策略，内容的结构化，知识的结构化，就是突破原有零散的知识点，形成结构化的知识网络，建立相关联的知识体系。“三角形、平行四边形和梯形”单元是苏教版数学四年级下册中的内容，是小学阶段“图形与几何”中十分重要的基础知识之一。教材以“三角形的特征、底和高；三角形的三边关系、内角和、分类；平行四边形的特征、底和高；梯形的特征及底和高”的顺序进行了编排。

从编排上不难发现，苏教版的教材按照图形的类型分别安排教学，虽然在教学平行四边形和梯形时，会以三角形的学习经验为依据进行探究，但在目前教学时间较为分散的情况下，学生很难理解知识点之间的联系，难以深入理解本质，特别是几何图形中比较抽象的“底和高”。从学生的角度来看，如果把对认识三角形、平行四边形和梯形整合在一节大课中进行探究，将认识底和高整合成一节课，就能更好地把握学习的重点。这样的课堂具有较强的结构性，对帮助学生全面深入理解图形的特征、“高”的本质具有很高的价值。

本文以“认识底和高”为例，从单元统整的角度思考，分析教材、重组教学、强化结构。在教学“认识底和高”一课前，学生前测的数据显示，学生在二年级时对平行四边形、梯形、三角形有了直观的了解，认识它们的特征。但是在“高”的理解上，大多数学生把生活中的高和数学中的“高”混为一谈，概念较为模糊，部分学生能在大脑中搜索到有关“垂线段”的知识来解释，但是没有人提到从哪里到哪里的垂直线段。

在教学环节的设计中，以梯形的高为起点，在贴近生活的同时，也更具有挑战性，再把研究的方法和思路迁移到平行四边形和三角形中，最后整体比较三角形、平行四边形和梯形的高，联想已有的知识经验，把抽象的“高”和四年级上册的“点到直线的距离”联系在一起，通过比一比、联一联，深入理解“高”的本质。通过单元思维下的设计，“高”不再是模糊的，学生形成对“高”的整体性意义理解。通过这种学习方式，打破学生对原本模糊、抽象的“高”的认知，学生重新建立对“高”更全面、更深入的认识，使学科知识更具系统性、教学更具结构性，学生的学习可以更有效且富有挑战性。下面截取本节课的部分教学片段，谈几点思考。

片段一：关联生活，在原点到原型转换中“识高”

在学生的数学学习中，对概念的理解都是借助于已有的生活，生活中的经验是零星、熟悉的，也是可以随机整合的。在这节课中，从学生生活中熟悉的桥洞出发，发现问题交流思考，既凭借经验却又超越已有经验。

1.在生活的“高”中把握原点

师：走进生活的世界，我们先来看一段视频。

教师播放视频。

师：从视频中你们看到了什么？大卡车为什么会撞上桥洞呢？

生1：小汽车经过了桥洞，但是大卡车撞上了。

生2：大卡车太高了，过不了桥洞。

生3：卡车的高已经超过桥洞的高了。

师（追问）：你们知道“限高”是什么意思吗？

生1：桥洞的最大高度。

生2：能经过的汽车要比这个高度低。

生3：限制高度（字面意思）。

2.在对比的“高”中寻找原型

师：桥洞上面的“限高4.5m”指的是从哪里到哪里的距离？

学生指一指。

师（追问）：如果把桥洞看作一个梯形，想一想，“限高”是梯形中哪条线段的长度？

教师出示四种画法（见图1）。

图1

师：哪条用三角尺画出来的虚线可以表示刚才我们所说“限高”所在的线段？（①和④）它们有什么相同的地方？

生1：都是垂直的，是一条垂直线段。

生2：都在上底和下底之间。

生3：长度都是相等的。

师（追问）：你是怎样想的？（两条平行线之间的距离处处相等）

3.在表象的“高”中初步成型

师：其实，用三角尺这条直角边画出来的虚线就是梯形的高，而与另外一条直角边重合的这条边就是梯形的底，这就是今天要学习的梯形的底和高。你们发现了吗？老师介绍了高后就介绍了底，所以底和高是对应出现的，而且我们刚才也说到，高应该是一条什么线段？

生：垂线段。

师：所以高是垂直于底的。

师：现在你们知道什么是梯形的高了吗？

师：这时你还能找到梯形的高吗？（将梯形顺时针旋转90°角）

学生指一指。

师：两条腰之间有没有高呢？

师：梯形的高也可以看作两条平行线之间的垂直线段。

师：刚才我们认识了梯形的高，你们能画一条梯形的高吗？

学生交流画“高”。

师：收集了一个学生的作品。

师：让我们一起来看一看。

小结：画高时要注意用虚线，标上直角符号，同时也要标出“高”和它对应的“底”。

【思考】学生对高的认识是建立在生活的场景中，通过卡车是否可以过桥洞这一情境，唤醒儿童的已有经验，但是儿童对高的界定也是比较模糊的，尚未和已经学习的线段产生联系。同时不同版本教材中对“高”的起始课大多是安排在三角形中，对比三角形，利用梯形作为起始导入，更易于学生理解，也更具挑战性。用一段小轿车和大卡车过桥洞的对比视频，引发学生的思考“为什么大卡车会撞上桥洞？”启迪学生剥离生活情境的外衣，联想生活中的“高”，从生活中对限高的理解，抽象出梯形的高，利用四幅图让学生选择，在线段与线段的比较中打开学生对数学中“高”的初认识。学生有了一定的生活经验，更容易建立“高”的模型，同时也为后续研究平行四边形和三角形的高提供了思路和方法。

片段二：连续经验，从单体到立体转接中“建高”

学生对高的认识需要在梯形研究中迁移平行四边形的高，从而对概念的理解从单向度的把握走向立体的承接。这个过程连续的是探索高的经验。

1.迁一迁，在变形中迁移经验

师：刚才我们通过生活中的限高认识了梯形的高，如果把梯形的上底延长，变成一个平行四边形，你们能按照研究梯形的思路来研究平行四边形的底和高吗？老师给你们一个友情贴士。

2.做一做，在合作中积累经验

教师出示学习单。

学习单

找一找：你能找出平行四边形的高吗？画一画：用已有经验画出平行四边形的高，并标出它的底。

想一想：你认为这样的高有几条？

比一比：平行四边形的高与梯形比有什么相同和不同的地方吗？

学生四人小组围绕学习单展开研究，把自己的发现记录在学习单上，最后在小组交流中形成小组意见。

3.说一说，在分享中再生经验

教师实物投影展示小组的答案，并结合学生的回答，动态演示画不同底上高的不同方法，展开三个层面的交流。

师：看看这两个同学的“高的位置不同”的作品，你有什么发现？

生：虽然高的位置不同，但都是平行线之间的垂直线段，高有无数条。

师：看看这两个同学关于“一种高”和“两种高”的作品，你又有什么发现？

生：有两种不同长度的高。

师：你知道这两条高对应的底分别在哪里吗？请指一指。

师：还有一个同学是这样画的，你有什么想说的？（呈现错误资源）

生：高应该是点到对边所画的垂直线段，在画的时候可以用直角比画一下。

小结：同学们不但画出了高，还知道平行四边形的高有无数条，平行四边形有两组平行线，所以能画出两种不同的高。

4.比一比，在比较中优化经验

师：平行四边形的高和梯形的高有什么相同和不同的地方呢？

生1：相同的是平行线之间垂直的线段就是梯形与平行四边形的高，有无数条。

生2：不同的是梯形只有一组平行线，所以只有一个长度的高；而平行四边形有两组平行线，因此有两个不同长度的高。

小结：看来梯形和平行四边形的高都是两条平行线之间垂直的线段，它们之间还有这样的联系呢！

【思考】活动经验的积累让学生对研究方法的迁移更得心应手。在研究了梯形的底和高后，学生不仅对高有了一定的理解，更对研究的方法、画高的方法有了认知。在研究平行四边形的高时，利用学生已有的点动成线的经验，将平行四边形与梯形紧密联系在了一起，让学生直观地感受到，平行四边形的高和梯形的高如出一辙，激发学生自主探究的动力和信心。在“大任务”的驱动下让学生自主探究平行四边形的底和高，并在交流中获取知识。通过与梯形的对比，学生对“高”的认知不断深化，其建构的知识网络更加完整。在平行四边形的探究中，学生再次感受到了学习方法和知识之间的联系，进一步积累了活动经验，为后续自主探究三角形的高起到了非常重要的铺垫作用。

片段三：循环系统，在结构到建构转化中“成高”

学生不仅借助已有的数学现实初步认识了“高”，而且在不同图形的探究中积累经验，在整体关联中建立“高”的模型。学生站在整体化、系统化的高度展开结构化学习。

（1）找一找：请你找出底边上的高（见图2）。

图2

比一比：请同学们仔细观察三个图形的高（如图3），你们有什么发现？

图3

小结：都过一点，都有底，都垂直于底。

（2）说一说：结合这三个发现，你们能不能说一说什么是高？

生1：高都是过一点作底的垂线段。

生2：这条垂线段就是高。

（3）联一联:联结已有的知识模块内化认知结构。

师：今天我们一起认识了底和高，你们能联想到以前学过的类似知识吗？

学生交流。

【思考】基于单元思维下展开的“高”的概念建立是整体、有意义的；从结构到建构，数学结构化学习是源自儿童整体的关联的经验，在自主探究出三角形的高后，利用一组简单的练习，画出底边上的高，在巩固知识的同时，激发学生进一步深入思考“高”的本质。通过图形概念属性探索达成对底和高的一致性，发展空间观念与几何直观；通过“找一找”“比一比”“说一说”，发现“高”其实就是过一点所做的底的垂线段。最能起到画龙点睛的是“联一联”，引导学生在联系已有知识的同时，通过动画，将三个图形隐去，使学生直观感受到高和原来学习的画垂线是相同的。这一环节整体架构了“高”的知识网络，让学生在比较中建立“高”的模型，并且与已有知识建立关联，体现了新课标理念提倡的一致性。