开展深度学习,把握问题本质*——以高三一轮复习课“解三角形”为例

张 伟

⦿ 湖北省教育科学研究院

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》以下简称《标准》指出:把握数学的本质,启发思考,改进教学.在高三一轮复习教学中,如何引导学生把握数学本质呢?笔者以一轮复习课“解三角形”为例,引导学生积极主动参与教学,一题多解,多题归一,层层深入,开展深度学习,追本溯源,探寻解三角形的本质、思想与方法.

1 教学过程

1.1 引例

设计意图：通过本例题的教学,复习正弦定理、余弦定理、面积公式,以及公式的变形与作用,理解利用方程法解三角形和方程思想等.

1.2 典型例题

图1

思路分析：从几何元素角度分析,解三角形就是已知三角形的六个元素(三个角和三条边)中的三个元素(其中至少知道一条边)求其他三个元素的过程;从代数方程的角度分析,解三角形就是知三求一,建立方程(A+B+C=π是其中隐含的一个方程),从正弦定理、余弦定理入手解决问题.

设计意图：进一步引导学生理解利用方程法解三角形和方程思想等.

图2

例2如图2,在△ABC中,D是BC边上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠ADC.

又因为cos∠ADC+cos∠ADB=0,所以

AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.

又由(1)知AB=2AC,所以AC=1.

生3:同理,还可以在△ABD和△ABC中求解.

师:例2的解决思路与例1有什么联系和区别?

生4:都是建立方程解三角形.

生5:区别是例1是在一个三角形中求解,例2是把边和角放在两个三角形中求解.

师:解一个三角形从条件个数的角度来分析是知三求三,即需要知道三个独立的条件,那么解两个三角形呢?请以本题为例进行分析.

师:由(1)得到的AB=2AC算一个独立条件吗?本题还有其他条件吗?

生7:AB=2AC不算一个独立条件,因为它是由AD平分∠BAC和△ABD面积是△ADC面积的2倍这两个条件推出来的结果.本题还有AD是公共边,∠ADC与∠ADB互补,即∠ADC+∠ADB=π这两个独立条件.

师:本题如果在△ACD和△ABC中求解共需要几个独立元素呢?

生8:除了已知的四个条件外,还有AC是公共边,∠C是公共角,共六个独立条件.

师:从条件个数的角度来分析,解一个三角形需要知道三个元素,解两个三角形需要知道六个元素.这里所说的元素,广义来讲可以是公共边、公共角、互补角等,也可以是面积、中线、高线、角平分线、周长等,它们都可以转化为三角形中的元素,但一定要是相互独立的元素.

师:本题我们是利用建立方程的方法求三角形边的长度和角的大小,请大家想想除了可以利用正余弦定理建立方程,还可以有哪些方法建立方程求解?

生10:因为与长度和角度有关,所以还可以通过建立平面直角坐标系来建立方程.

图3

以A为坐标原点,建立如图3所示的平面直角坐标系.

设∠BAD=∠DAC=θ,AC=b,则AB=c=2b.

所以B(2bcosθ,2bsinθ),D(1,0),C(bcosθ,-bsinθ).

(2bcosθ-1)2+(2bsinθ)2=2,

化简,得2b2-1=1,得b=1,即AC=b=1.

师:下面我们来看几个变式训练.

小结与反思：(1)我们是如何解三角形的?(解三角形的本质是方程法.)

(2)建立方程的方法和途径有哪些?(正余弦定理、向量法、坐标法、构造特殊三角形等.)

(3)请你谈谈从条件个数的角度我们是如何命制解三角形问题的?(命制涉及两个三角形的题目时,都是先给出两个三角形,再将有关这两个三角形的相互独立的条件个数减少到六个.)

设计意图：通过例题和变式的解决,引导学生掌握解三角形的基本方法,探寻研究一个问题、一类问题的基本思路与方法.授人以鱼不如授人以渔,学生掌握了研究数学对象的思路,知道从哪些角度来研究问题后,自然不满足于已有的问题,必然会产生新的想法,进而会自己提出问题、分析并解决问题.

师:不难发现,这六个条件中,除了已知的边长和角度,还可以是隐藏的条件,比如公共边、成倍数关系的边、公共角或互补的两个角等,也可以“换一种表达方式”给出条件,如给出面积、周长、中线长,角平分线长、向量形式的等式、正余弦边角互化得出的等式、几何关系等式等.

师:请各位同学自己编制试题.

设计意图：给学生提供充分活动的机会,使他们在主动探索和合作交流的过程中获取知识、形成技能,在获取广泛数学活动经验的基础上使知识、能力方面由“获取”转化为“建构”,“感性”上升为“理性”.

例3(2021年新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,且BD=b,若AD=2DC,求cos∠ABC.

①

在△ABC中,由余弦定理得

b2=a2+c2-2accosB.

②

联立①②,得11b2=3c2+6a2.

以下部分同解法1.

思路分析：本题涉及两个三角形,只有五个独立的条件,故无法确定三角形,那么如何求cos∠ABC呢?找到边长a,b,c之间的关系,利用余弦定理求解.

设计意图：考虑到学生已经初步掌握了解三角形的方法、思想与本质,而从条件的个数分析,本题只有五个独立条件,缺少给定某一条的边长这一条件,故三角形不能确定.满足题意的三角形都相似,不能求出边长a,b,c,但根据边长a,b,c之间的关系可以求出cos∠ABC.因此进一步引导学生当条件个数不足时,如何求解三角形问题.这也为继续研究三角形中的边长、面积和周长的取值范围等问题做好铺垫.

2 教学反思

当前,在高中一轮复习中,大多数学校采取的复习方式是根据教辅资料的设计,每一小节通过基础知识梳理、典型例题剖析、课时作业等环节进行教学,然后辅以大量的专题训练和考试.这种做法的优点是能够帮助学生更好地巩固基础知识,提升解题技能;缺点是不能帮助学生深刻理解内容的本质,掌握核心思想与方法,提升理性思维,落实核心素养.“为国选才”是高考的基本功能,党中央、国务院印发的《深化新时代教育评价改革总体方案》明确提出:“改变相对固化的试题形式,增强试题的开放性,减少死记硬背和机械刷题现象”,高考命题探索“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查模式,高考命题加大题目的创新力度、注重思维能力考查要求,课堂教学要回到注重数学内容的本质,加强关键能力的培养,促使学生学会思考,善于总结与反思.如果在重视基础的前提下适度开展深度学习,学生通过教师的引导和帮助,借助适宜的活动情境或手段,能主动地去观察、猜测、思考、探究,能提出问题并解决问题,真正成为教学的主体.教师在传授知识的同时,要注重知识的追根溯源、注重思维的深层训练、注重师生的深层对话、注重学习的深层评价,引导学生“知其然”到“知其所以然”,促进学生的学习从“学会”到“会学”.Z