基于“全等三角形应用”的同课异构教学案例探析

王乃霞，牟金保

同课异构的数学教学实践可以产生不同的教学思路，这些思路可以相互启迪，彼此交换，从而产生更多体现核心素养的教学思路。所以，同课异构数学教学的实践必然会成为基于数学核心素养课堂转型的有效途径之一。不同版本的教材中，除直角三角形全等的判定方法以外，对于一般三角形全等四种判定方法的应用分布在各个不同的小节，包括卡钳用法、角平分线的画法以及测距离等，教材中一般会给出相应的解决方案或操作方式，但留给学生自主探索和深入思考的空间还可以进一步拓展。有鉴于此，为进一步落实新课程标准的理念，初中几何课堂不同程度提高了逻辑推理的要求，加强了对学生逻辑推理能力的考查。为进一步通过同课异构案例探析有利用数学课堂教学的新方法和新思路，本文选取“运用数学史的全等三角形应用教学”（以下简称“案例A”）、“全等三角形应用：从历史中找到平衡”（以下简称“案例B”） 以及“HPM （Historical and Pedagogical Mathematics）视角下全等三角形应用的教学”（以下简称“案例C”）三个教学案例，试图从基于“全等三角形应用”的同课异构案例分析出发，按照教学目标、教学流程以及教学环节三个维度进行比较，探析制订指向核心素养的教学目标、整体把握教学内容，选择能够引发学生思考的教学方式，探索图形与几何领域的培养原则、基本目标以及课程实施的重要性和必要性。

一、教学目标比较

好的教学目标应该完整、融合、具体，充分体现整体性、阶段性和以学生为主体。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》也明确指出要制订指向核心素养的教学目标。表1 给出了三个案例的教学目标对照。

表1 教学目标对照

由表1 可见，三个案例都没有将“三维目标”割裂开阐述，都是将知识技能、过程方法、情感态度价值有机融合，从课程总目标的整体角度阐述，充分发挥以学生为主体的理念，并且都强调与实际生活的密切联系，目的是利用数学知识解决实际问题，三个案例均符合教学目标特性，满足《义务教育数学课程标准（2022 年版）》对于教学目标设定的要求。案例B和案例C 在情感态度价值观方面把握得尤为突出，充分实现了教育意义上的德育之效。案例A 和案例B 重点阐述了掌握“全等三角形的判定方法”这一重要的基本技能，充分体现了核心素养导向的教学目标是对“四基”“四能”教学目标的继承和发展。案例A 和案例C 注重创设数学情境，设计让学生合作、讨论的活动，恰当处理好了“四基”“四能”与核心素养之间的关系，引导学生用数学的眼光观察现实世界并利用数学方法予以解决。

二、教学流程比较

教学流程对于整体把握教学内容有着重要意义，教学内容需要通过教学流程体现出来，可以有效地将教学内容和核心素养关联起来，使教学内容更加结构化。表2 给出了三个案例的教学流程对照。

由表2 可见，三个案例大致将教学流程分为引入、探究应用、小结以及作业布置四个方面，各环节环环相扣，相辅相成，对于整体把握教学内容有着重要意义。三个案例在“引入”环节都能通过数学问题引入本节课的主题，突出数学知识的价值和意义，凸显引入环节的必要性和重要性；在“探究应用”环节都能基于数学史创设学生自主探究的情境，引导学生从全等三角形的判定方法出发，建立起应用数学知识解决实际问题的逻辑结构，体现了这一环节在教学环节中的创新性和可塑性；在“小结”环节都能承前启后，起到画龙点睛的作用；在“作业布置”环节也都能紧密结合前三个环节的内容，设置理论联系实际的开放性作业。

三、教学环节比较

（一）“引入”环节比较

学生在本节课学习之前已经学习了全等三角形的相关知识，所以三个案例在引入环节都是通过现实生活中具体的数学问题，让学生回忆全等三角形的相关知识。三个案例也都能做到在“引入”环节带领学生回顾基础知识，处理好基础知识和核心素养之间的关系。案例A 和案例B 都能让学生充分体会全等三角形知识并用来解决现实生活中的问题，尤其案例A 是通过数学史中解决实际问题的实例进行引入，能够在引入环节就激发学生的学生兴趣，同时恰到好处地介绍了泰勒斯测量方法。案例B 和案例C 在“引入”环节更重视基本知识的介绍，直接通过几何问题让学生回忆三角形全等的知识，尤其是案例C 中还引入了与生活相关的“钢条”“三角形模具”“四边形仪器”这些与现实生活息息相关的名词，更容易拉近数学与生活、理论与实践的距离，引发学生深度思考，让学生更容易接受和理解数学知识。

（二）“探究应用”环节比较

从探究应用的方式上来看，案例A 通过制作的教具来演示泰勒斯的方法，让学生能够理解泰勒斯方法的数学思想，特别直观且形象地展示了泰勒斯的方法，对于学生的深度理解更有促进作用。案例B和案例C 在探究应用过程中都提供了两种不同的方案，案例B 在池塘宽度这一个问题上使用了两种方案，案例C 则是在河宽和池塘宽两个问题上都使用了两种不同的方案，而且建议学生使用更多的方法进行探索，更加强调学生的思维发散，体现出数学教学中的方法之美教育价值。案例B 和案例C 在学生探究的过程中及时反馈学生使用的方法与以前的数学家所使用的方法类似，更能够提高学生学习数学的自信心和兴趣。在探究应用的过程中，案例B 中明确提出让学生小组讨论的过程，体现出数学教学中的能力之助教育价值。案例A 和案例B 在教学目标中指出想通过讨论让学生形成自己的方法和培养合作交流的习惯，在探究应用的过程中以重构数学史的方式创设数学情境，从而将该教学目标予以体现。

（三）“小结”环节比较

案例A 和案例B 都设置了小结部分，案例C 将小结融合在各环节进行，比如，在测量河宽这一问题结束时，就总结了两种方案的思路。从小结方式上来看，案例A 是希望学生在学习本节课之后，能够自行对新学到的内容进行反思汇报，主要是学生本人的反思总结；案例B 则是由教师引导学生进行基本知识方面的回忆巩固，是在教师参与的过程中对知识的回顾总结。案例A 更能体现以学生为主体，案例B则更加强调知识的重要性，这在教学目标中也有所体现，案例B 在教学目标中就更加强调培养学生的各种能力。三个案例都能根据教学的需要设置小结，发挥小结对于教学环节的作用。

（四）“作业布置”环节比较

案例A 和B 都专门设置了作业环节，案例C 则在测量池塘宽这一问题结束时，让学生在课后进一步探索用其他测量方法的开放性作业，没有设计基于整个教学的作业。案例A 和案例B 的不同之处在于案例A 是结合上课时学生所设计的方案，让学生整理上课时的方案，结合本节讲授的内容进行整理，形成自己的方法，帮助学生更好地理解全等三角形在生活中的实际应用，感受全等三角形知识的现实价值；案例B 则是在课堂上所讲内容的基础上进行拓展提高，基于水平距离测量所使用的方法能否适用于竖直高度的测量问题，给予学生更大的挑战，进一步培养学生的数学建模能力和数学应用能力。

四、总结

本文从同课异构案例分析的视角，以“全等三角形应用”为例，通过教学目标的比较发现，制订教学目标要充分考虑指向核心素养的因素，这是数学课堂教学实施的重中之重，核心素养在数学教学中的达成度决定着教学目标的确定。核心素养导向的教学目标是对基于“四基”“四能”教学目标的延续和拓展，能够体现整体性和阶段性的教学目标才是好的教学目标。笔者通过教学流程的比较发现，教学流程是整体把握教学内容以及教学结构化的载体，引入、探究应用的教学流程是落实教学目标、进一步拓展学生核心素养的重要渠道，在教学中要重视对教学流程的系统把握，因为合理的教学流程才能更有效地整合教学内容，帮助学生促进对数学本质的体系化的理解。笔者通过教学环节的比较发现，在引入、探究应用环节，选择能够引发学生思考的教学方式对于初中几何课堂教学转型有着重要的促进作用。同时，基于“全等三角形应用”的同课异构教学案例探析发现，全等三角形应用的教学需要符合新课标中所强调的核心素养，凸现培养学生的逻辑推理和应用意识，进一步落实《义务教育数学课程标准（2022 年版）》中图形与几何领域的培养原则、基本目标以及课程的实施。