对广东一模解几压轴题的探究*

广东省中山市实验中学(528400)杨沛娟

1 试题呈现

(2023 广东一模试题) 已知点A, 点B和点C为椭圆上不同的三个点.当点A,点B和点C为椭圆的顶点时,ΔABC恰好是边长为2 的等边三角形.

(1)求椭圆C标准方程;

(2)若O为原点,且满足,求ΔABC的面积.

2 试题解析

(1)当点A,点B和点C为椭圆的顶点时,ΔABC恰好构成边长为2 的等边三角形, ①当点A,点B和点C中有两个点为上顶点和下顶点,一个点为左顶点或右顶点时,不妨设点A, 点B为上顶点和下顶点, 点C为右顶点, 此时,,b= 1.②当点A,点B和点C中有一个点为上顶点或下顶点,两个点为左顶点和右顶点,不妨设点A,点B为左顶点和右顶点,点C为上顶点,此时,a= 1,(舍去).所以椭圆的标准方程为.

(2)设A(p,q),B(x1,y1),C(x2,y2),因为, 所以p+x1+x2= 0,q+y1+y2= 0, ①当直线BC斜率不存在时,即x1=x2,y1=-y2,则A(-2x1,0),因为点A在椭圆上, 所以, 则有, 所以, 点A到BC的距离为, 此时.

②当直线BC斜率存在时, 设直线BC方程为y=kx+m, 联立得消去y整理得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0,满足

3 试题探究

通过探究此题的高数背景,可以得到此题的一个一般结论,从而得到此题的一个极为简便的解法:

4 拓展训练

例1(23 届西城区一模)已知椭圆C:x2+ 2y2=2, 点A,B在椭圆C上, 且OA⊥OB(O为原点).设AB的中点为M, 射线OM交椭圆C于点N.

图2

(1)当直线AB与x轴垂直时,求直线AB的方程;

(1)求椭圆C的方程;

(2)三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形, ΔBMN是以B为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形,求ΔBMN的面积.

分析(1)利用题目条件建立a,c的方程组,进而求出椭圆C的方程;

(2) 联立直线与椭圆表示出M,N的横坐标, 进而表示出|BM|,|BN|, 利用等角三角形求出k的值, 从而求出ΔBMN的面积.