立足教材引导学生拓展探究进一步培养数学核心素养——以“球的体积和表面”的再探究教学为例

上海外国语大学附属浦东外国语学校(201203)张能球

1 引言

教学离不开教材,因为教材的编写基于数学学习的认知理论,依据数学知识的发生,发展过程,遵循学生学习的规律和特点[1],注重“从特殊到一般,再指导特殊”的认识论规律,比如新编上海教材[2]必修三第11 章“简单几何体”中,先是柱体和锥体,紧接着讨论多面体和旋转体,最后再“特殊化”到球的学习,本章的教学重难点是发展学生的几何直观、空间想象,及其相关的逻辑推理能力.《普通高中数学课程标准(2017 年版2020 年修订)》(以下简称“课标”)提出的“逻辑推理、直观想象”等[3,4]六大数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现,是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现,同时也是数学教师立足教材、深挖教材,把发展、提升学生的数学核心素养落实到每一节课堂的行动指南.另一方面: 在“双减”政策的驱动下,真正落实“双减”中“减”字背后的“增”,特别是教师教和学生学的效率的“增”,一线教师更需要立足教材、研读教材、用好教材.本文在教材必修三[2]第11 章第四节“球的体积和表面”学习的基础上,特别拓展对教材中应用数学的化曲为直的数学极限思想,即用ΔV的数学思想方法求球的表面积,作为拓展探究课以引导学生重点对“球冠”的体积和表面积的进行立足教材、研读教材、推理论证、应用赏析等教学片段,进一步发展数学核心素养.

2 立足教材、问题导入

先考虑一个半径为R的半球,即由球的一个大圆把球切成两部分中的一部分(图(1)).作为对比的几何,我们取底面半径为R、高为R的圆柱,并从中任意切去一个倒置的底面半径为R、高为h(0 ≤h≤R)的圆锥(图(2)).用平行于地面高度为h的平面截这两个几何体:

这两个截面(图(1)(2)阴影部分S1,S2)面积相等[2],通过祖暅原理推导出球的体积公式,给出球的面积公式并描述了一种证明思路(立足教材).

在现实生活中,有与球相关的的几何体,比如:

定义1[5]球面被一个平面截得的一部分叫做球冠.

定义2[5]球面被两个平行平面所截,夹在两个平行平面之间的球面的一部分叫做球带.

问[1]: 那么球冠、球带等几何体的体积或表面积又该怎么计算(问题导入)?

由定义,半球(图(1))中含有高为(R-h)的球冠和高为h的球带两部分,所以如果知道了球冠的体积或表面积,那么球带的体积或表面积也就知道了.接下来我们研究几何体由半球得出的的“球冠”的体积或表面积.

3 研读教材、合作探究

祖暅是我国古代数学家祖冲之之子,祖暅原理是中国古代数学的辉煌成果,当我们仔细研读教材,不难发现: 必修三第11 章中的柱体、锥体、球体的体积公式的探究和证明都是采用了它.问[2]: 那么球冠的体积探究是否也可以利用祖暅原理呢?

上海教材[2]中求球体的体积时,取底面半径为R、高为R的圆柱,并从中切去一个倒置的底面半径为R、高为R的圆锥(圆锥的底面置于圆柱的上底面,圆锥的顶点置于圆柱下底面的圆心).问[3]: 为什么圆锥需要倒置呢?

带着这些疑问, 积极引导学生回归教材、研读教材, 及同学之间、师生之间进行讨论、探究, 不难得出: 圆锥倒置的目的是为了保证用平行底面高度为h(0 ≤h≤R) 的平面截的两个几何体(图(1)(2))中阴影部分面积始终相等即S1=S2,根据祖暅原理可得:

球冠的体积等于以AD(AD=R-h)为高的圆柱体的体积减去以直角梯形CBDT的直角边CT旋转一周的旋转体(圆台即相同顶点O的大圆锥减去小圆锥)的体积,即:

类比描述球的表面积公式的证明思路: 把球冠表面剖分成许多小区域, 取其中一个区域, 把它近似看成平面的三角形或多边形,从而它与球心组成一个侧棱是R的棱锥,当这个区域足够小时, 棱锥的高也近似于R, 棱锥的体积,其中ΔS为棱锥底面积也即球冠表面的一小部分,当取遍剖分中的所有小区域时,ΔS的总和近似于球冠的表面积S球冠,而ΔV的总和近似于球冠的体积V球冠与球心为顶点S1为底面的圆锥的体积V圆锥之和,即:

(2)式与剖分过程无关.可以想象,当剖分做得越来越精细时,推导过程中的“近似”越来越趋向于“精确”,于是(2)式中近似关系最终成为相等关系,即:

整理(3)式可得球冠表面面积公式.

4 推理论证、形成公式

由图(1) (3) 知: 阴影部分S1是一个圆, 其半径为,面积为π(R2-h2),以O为顶点、KP为半径的圆(即阴影部分S1)作底面的圆锥的体积为;由图(2) (4) 知: 以AD(AD=R-h) 为高的圆柱体的体积πR2(R-h), 阴影部分S2是一个圆环, 其面积为π(R2-h2), ΔBCO和ΔDTO都是等腰直角三角形且BC=CO=h,DT=T0=R,则以O为顶点、DT为半径的圆作底面的圆锥的体积为,以O为顶点、BC为半径的圆作底面的圆锥的体积为,根据祖暅原理可知:

即: 球冠的体积

显然当h= 0 时, 此时球冠即半球, 即: 当h= 0 时,, 则, 故以上推导可作为推导出球的体积公式的方法之一.

以O为顶点、KP为半径的圆(即阴影部分S1)作底面的圆锥的体积为:

当h= 0 时, 由(6) 式显然可知: 则S半球= 2πR2, 则S球= 4πR2, 故以上推导可作为推导出球的表面积公式的方法之一.

事实上,球冠常常以图(1)中的(R-h)为高,不妨设球冠的高为H,则:

把(7)式代入(4)式和(6)式,得: 球冠的体积

球冠的表面积

其中R为球的半径,H为球冠的高.

另外,常常以图(2)中的KP为球冠底的半径,不妨设球冠底的半径为r,直角ΔOKP中有:

把(10)式代入(8)式和(9)式,得: 球冠的体积

球冠的表面积

其中r为球冠的底面的半径,H为球冠的高.

5 应用赏析、触类旁通

题1祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”,即: 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.有一个球形瓷碗,它可以看成半球的一部分,若瓷碗的直径为8,高为2,利用祖暅原理可求得该球形瓷碗的体积为( )

设计意图题设中给出祖暅原理的原文就是简短的九个字,教学中应该充分利用祖暅原理的文化价值,培养学生的爱国主义情怀.瓷碗来源于现实生活,让生活中的数学走进学生的视野,拉近学生与数学的距离,并充满了智慧的光芒,这是学生可望并可及的[6],同时可以增强学生学习数学的主动性、积极性,通过实物模型、直观感知、度量计算等,建立空间观念,发展学生数学直观想象和逻辑推理素养.

分析本题实际上是球冠体积公式(11)的应用,代入数值r=4,H=2 不难得出答案为B.

题2设地球的半径为R,卫星离地面的高度为H,要使地球上面积的人能同时见到卫星,则H等于____(用地球半径R来表示).

设计意图从卫星与地球的具体事物背景中“抽象模型、求作图形、演绎运算”的模式,提高几何直观和空间想象能力,发展学生数学核心素养.

分析地球上面积的人能同时见到卫星,即等价于球冠的表面积等于球的表面积的即:

6 探究性教学感悟

探究性教学指教师针对教学中某个教学内容或问题,精心设计引导学生积极探索的教学过程,比如立足教材、问题导入,研读教材、合作探究,推理论证、形成公式等环节,使学生在体验探究的过程中培养独立思考、合作交流、逻辑推理等方面的能力.它是培养学生创新思维、创新能力,发展学生数学核心素养的最重要的方式之一.哲学家康德说: 每当理智缺乏可靠论证思路时,类比方法往往能指引我们前进;在培养学生发现能力的教学中,类比是重要的一种方法[7].本节课探究的问题源自教材,探究的方法(类比)也是源自教材,数学探究性教学的核心价值在于能真正重视学生的主动性和积极性,注重培养学生思维的发散性和灵活性,比如在球冠体积和表面积公式(4)和(6)进行改写成(8)和(9)式、(11)和(12)式,更接近于现实生活中的模型.

作为一线教师,“着眼于学生的长期利益,发挥数学的内在力量,挖掘数学内涵所蕴含的价值资源,以提高数学素养、发展思维能力、培育理性精神为核心, 使学生在掌握数学知识的过程中学会思考,成为善于认识问题、解决问题的人才”[8],而努力.