基于SOLO 分类理论的高考数学复习实践探索——以导数解答题的复习为例

广东省广州市广州中学(510630)方金财

《普通高中数学课程标准(2017 年版)》中明确强调数学教育要“以人为本”,尊重学生主体地位,因材施教,实现不同的个体在数学上可以得到不同程度的综合发展,提高课堂教学的综合质量,满足不同学生的各种需求.高考中的导数解答题往往以难度较大的综合压轴题出现,学生做起来耗时长,得分低.大部分同学在复习这部分知识时容易陷入难的不会做,容易的不愿做的困境.教师在教学中也常常难以取舍,题目设置得太简单就与考试试题呈现方式相违,题目设置得太难,学生做不出来,打击了自信心.本文中笔者将以导数解答题的复习为例阐述运用SOLO 分类理论复习的实践探索,以期能对同行在高考复习中有所帮助.

1 SOLO 分类理论介绍

SOLO 分类理论是由彼格斯在皮亚杰认知阶段理论的基础上,将学习结果按照复杂程度依次划分成五个层次: 前结构水平(P 水平)、单点结构水平(U 水平)、多点结构水平(M水平)、关联结构水平(R 水平)以及抽象拓展水平(EA 水平).

表1 SOLO 分类理论的层次说明

2 运用SOLO 分类理论分析近四年新课标Ⅰ卷导数解答题考点思维层次和特点,明确考情

2.1 举例说明SOLO 分类理论在分析高考导数解答题考点思维层次的应用

例1(2023 新课标Ⅰ卷第19 题) 已知函数f(x) =a(ex+a)-x.(1)讨论f(x)的单调性; (2)证明: 当a＞0时,.

此题(1)考察函数求导、参数讨论、导数值正负判断、确定单调区间,整合多个单点结构解决问题,属于多点结构.(2)考察构造函数,结合函数的单调区间、极值点求出最小值,证明不等式恒成立,属于关联结构.

例2(2022 新课标Ⅰ卷第22 题)已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值(1)求a;(2)证明: 存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

此题在(1)中需求出两个函数的最小值,两个最小值相等需要解一个超越方程,猜出方程的解,再构造函数由函数的单调性得到a的唯一值,属于关联结构.在(2)中需讨论b的不同取值,运用零点存在性定理判断直线与两个函数的交点个数.得到三个交点后又需要找到三个交点坐标的关系,并证明成等差数列,解决此问题需要达到抽象拓展水平.

2.2 近4 年新课标Ⅰ卷高考题考查知识点统计及SOLO层次分析

由于笔者所在广东省使用新课标Ⅰ卷,所以在备考时主要还是侧重研究新课标Ⅰ卷.(见表2)

表2 近4 年Ⅰ卷高考导数解答题SOLO 分类理论层次分析统计

2.3 近4 年新课标Ⅰ卷高考题导数解答题特点

(1)第一问多为多点结构、关联结构的基础题,中档题.

(2)第二问考察的思维层次较高,达到了抽象拓展结构水平.

(3)单点结构的求导,常考多点结构单调性,最值,零点.

(4)题目综合性较强,融合关联多个单点结构知识点.

3 运用SOLO 分类理论进行导数解答题复习教学案例分析与探讨

SOLO 分类理论在国内教育中已经有了一些广泛的应用,主要集中在分析学习结果及学习障碍、试题编制、制定评分标准以及指导教学设计方面.笔者在前人基础上在2023年高考复习中也做了一些实践,有一些切身感悟.以下以笔者分析2023 年广州市二模第22 题后进行的教学实践为例进行阐述.

题目: (2023 年广州市二模第22 题) 已知函数f(x) =ln(1+x),g(x) =ax2+x.(1) 当x＞-1 时,f(x) ≤g(x), 求实数a的取值范围; (2) 已知n∈ N*, 证明:.

这一题学生的作答有一些共性, 为方便表述, 我做以下编号: ①构造函数h(x) =x- ln(x+1), 证明x＞-1 时,x＞ln(x+1),从而a≥0 时,结论成立.②当a＜0 时, 取一个点使得结论不成立, 比如取,此时f(x0)＞g(x0), 结论不成立.③f(0) =g(0); 当x0 时参变分离后构造函数,求出.④构造函数G(x) =x2+2x-2(x+1)ln(x+1), 发现G(0) = 0, 判断G(x)的单调性,求出范围;得到F(x)的单调性,运用洛必达法则求出F(x) 的范围.⑤联想到当a= 0 时, 由(1)得ln(x+1) ≤x, 则lnx≤x-1, 可得, 即, 即所以,, 又有, 即, 所以,k∈{0,1,2,··· ,n}.⑥构造函数s(x) =x-sinx(x＞0),求最值证明sinx＜x(x＞0).

3.1 运用SOLO 分类理论分析学生的作答,由单点结构到更高层次结构,由部分到整体,能够更清晰准确了解学生知识点的掌握情况和思维层次.

考完之后笔者对学生的作答运用SOLO 分类理论分析并进行了整理统计,分析学生的学习情况,得到表3.

表3 学生作答情况统计分析

从表3 中,可以了解到: (1)班级同学基本都懂得使用逐段讨论的方法或者参变分离的方法证明不等式恒成立问题.能够把单点结构求导、单调性、最值联系起来,学生的水平基本上达到了多点结构、关联结构水平.(2)学生在运用逐段讨论、参变分离解决不等式恒成立的通性通法时,思维还需要深化,速度还需要提升,需要促进大部分学生达到关联结构水平.(3)大部分学生未能达到抽象拓展结构水平,在第二问中未能联想到与sinx有关的放缩,未能想到裂项相消的方法.(4)学生在考试中做导数解答题的意识较强.

3.2 运用分类理论进行教学设计,把高层次结构的题目分解为低层次结构的题目,化繁为简;从单点结构,再到更深层次结构递进,循序渐进,使得思维有了梯度,更好的促进学生的思维发展.

针对二模导数题的解答, 笔者设计了以下练习题:1.当a≥0 时, 求函数t(x) =ax2+x- ln(x+1) 在x＞-1 范围内的最小值.2.当x＞-1 且x0 时, 求函数的取值范围.3.当x＞-1时, ln(x+1) ≤ax2+x, 求实数a的取值范围.4.证明: 当x＞0 时,x＞sinx恒成立.5.证明: 当x＞1时,恒成立.6.已知当n∈N*时, 证明:.

设计意图: 第1 题为学生使用逐段讨论的方法做铺垫.第2 题为学生使用参变分离的方法做铺垫.第3 题再在前2题的情况下解决不等式恒成立问题.这样的设计给思维方法设置了梯度,学生的思维自然的从单点结构到多点结构再到关联结构逐步发展.第4 题是一个关于放缩的不等式.第5题是为了裂项做准备.在前2 题的铺垫下,再来解决第6 题更是让思维有了连接点,结构之间更容易衔接在一起.学生的思维也能从单点结构到多点结构再到关联结构抽象拓展结构逐步发展.

3.3 运用SOLO 分类理论对学生进行过程性评价,能够更全面细致的评价学生的知识点掌握情况,尤其是能看到一些低层次的思维结构的闪光点,提升学生自我效能感.

在以上题目中,能够完整,规范的写出整个题的解答的同学非常之少,如果只以结果作为评价,将会打击到大部分同学的自信心,也不能客观公正的评价学生作答情况,根据SOLO 分类理论把高层次结构分解为低层次结构,对每位同学在低层次结构问题上的作答进行评价,是客观的过程性评价.有助于学生发现自己的闪光点,获得信心,从而在考试中学生也会有意识的留出时间对导数进行作答,实现分步得分的策略.

3.4 运用SOLO 分类理论进行教学,从单点到多点,多点到关联,关联到抽象拓展,有助于学生理清知识脉络,规范作答,踩点得分,提高效率.

在以上题目中, 第一问在第1 题的引导下以及讲解了①②后, 学生很清晰的掌握逐段讨论的解题步骤, 也能深刻理解难点在于举出反例.在第2 题的引导下以及讲解了③④后,学生能清晰的掌握参变分离法的解题步骤,也能体会到难点在于求函数的最值.第二问中在第4、5 题的铺垫下,两个放缩,再到裂项相消,学生从正弦函数的放缩,再到裂项相消的构造,思路清晰,脉络清楚.在这个过程中层层相扣,能够促进学生严谨规范作答.学生在听课上也能够有侧重的听课,提高效率.

4 结束语

SOLO 分类理论对学生的思维水平做了细分,为教学提供了理论依据.导数解答题综合性强、思维跨度大,在复习中,老师、学生容易陷入困境.SOLO 分类理论正好为我们的教-学-评提供了有效的依据.以上为笔者在教学中的一点实践探索,希望能引起共鸣.