化斜为直思想在圆锥曲线问题中的应用

广东省东莞市第一中学(523128)江明

平面解析几何问题一直是高考命题的热点和重点之一,而圆锥曲线大题作为高考必考题型,其考查的知识点覆盖广泛而细致,所涉及的数学思想内涵极为丰富,解题思路多样,主要考查学生的数学抽象,逻辑推理,直观想象,数学运算和数据分析等核心素养.由于高考中圆锥曲线大题往往位于试卷倒数第二题的位置, 对学生来说, 时间紧, 难度普遍较大,对计算能力的要求又较高,很多考生心生畏惧,束手无策,进而习惯性选择放弃.本文将以化斜为直这一数学思想在圆锥曲线问题中的应用为切入点,以一道高考真题为例,以点带面, 探究在求解圆锥曲线问题中运用合适的数学思想解题,从而达到化繁为简,简化运算,事半功倍,轻松解题的目的.

1 真题再现

1.1 引例

(2010 北京卷理19)在平面直角坐标系xoy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于.

(1)求动点P的轨迹方程;

(2)设直线AP与BP分别与直线x= 3 交于点M,N,问: 是否存在点P使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

1.2 分析

求解圆锥曲线问题的三个难点: 准确作图,分析与转化问题,强大的计算能力,而分析与转化问题尤为重要,直接决定了求解该问题的走向和难易程度.

思路一问(1)易得动点P的轨迹方程为;问(2)一步步来,如图1,设P,表示BP和AP,求N,M,求|MN|,再求SΔPMN和SΔPAB,最后求出P.

详解设点P的坐标为(x0,y0),点M,N得坐标分别为(3,yM),(3,yN).则直线AP的方程为,直线BP的方程为.令x= 3 得.于是ΔPMN的面积,又直线AB的方程为x+y= 0,, 点P到直线AB的距离.于是ΔPAB的面积.当SΔPAB=SΔPMN时,得,又|x0+y0|0,所以,解得.因为,所以,故存在点P使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等,此时点P的坐标为.

思路二设直线AB与直线x= 3 的交点为K, 连接BM与AN, 如图2, 由直线AB方程为x+y= 0, 点K在x= 3 上, 易得点K坐标为(3,-3), 从而点B(1,-1)为AK的中点, 由SΔPMN=SΔPAB可得|PA|·|PB| =|PM| · |PN|, 即

图2

,

然后得到ΔPAN与ΔPBM相似, 从而AN//BM, 点M为KN的中点, 根据三角形重心的定义, 可知点P为ΔAKN的重心, 由三角形重心坐标公式可得, 再根据可求得,故存在点P使ΔPAB与ΔPMN的面积相等,此时点P的坐标为.

思路三抓住两个三角形有角对顶,∠APB= ∠NPM,如图3,由SΔPMN=SΔPAB可得,化斜为直:,从而求出P.

图3

详解若存在点P使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等,设点P的坐标为(x0,y0),则:.因为sin ∠APB= sin ∠MPN,所以, 所以即, 解得, 因为所以,故存在点P使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等,此时点P的坐标为.

1.3 小结

从这道2010 年高考北京卷理19 的三种解题方法可以看出,思路一审题浮于浅层,导致运算繁琐,思路二需要深入分析图形,思维容量大,对考生的知识储备,观察分析和作图能力要求较高,而思路三适当转化条件,通过化斜为直,把斜线段之比转化为直线段之比,化简为繁,快刀斩乱麻,极大的简化了运算,缩短了解题时间.

2 模拟精析

2.1 例题

(1)求双曲线C的方程;

(2)过点P(0,3)的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A和B, 若直线l上存在不同于点P的点D满足|PA|·|DB| = |PB|·|DA|成立,证明: 点D的纵坐标为定值,并求出该定值.

2.2 分析

判断点D的位置很关键,若点D在AB延长线上,如图4,此时|PA|·|DB| ＜|PB|·|DA|,不符合题意,若点D在BA延长线上,如图5,此时,这与题设相矛盾,不符合题意,故点D只能在A与B之间,如图6 所示:

图4

图5

图6

详解问(1) 易得; 问(2) 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),直线l的方程为y=kx+3.将直线方程y=kx+3 代入(1)中双曲线方程,化简整理得(1-4k2)x2-24kx-52 = 0,Δ = (-24k)2+4×(1-4k2)×52=208-256k2,则, 要使直线与双曲线的右支有两个不同的交点A和B, 则满足解得, 由|PA| · |DB| = |PB| · |DA|,得, 化斜为直, 故, 所以, 又,所以点D的纵坐标为定值.

2.3 小结

该题主要考查化斜为直数学思想,采用化斜为直方法的典型特征是题干中出现或者隐含了等价线段比关系,但有时需通过作图综合分析确定线段比关系才能准备转化,以免造成解题失误.

3 巩固提高

3.1 思考题

(1)求C的方程;

3.2 解析

问(1) 略, 易得C方程为; 问(2) 作图有两种情况, 以图7 为例, 由题意, 可设,则|t| ＜ 3, 且,G(x1,y1),H(x2,y2).直线.由得, 所以.

图7

图8

思路1:化斜为直

4 总结

化斜为直作为求解圆锥曲线问题的重要解题思想,当题干中出现或者隐含了等价线段比关系时,通过化斜为直,把斜线段之比转化为直线段之比,往往能够达到化繁为简,化抽象为具体,简化运算,从而缩短解题时间,但有时也需通过作图,认真分析,确定准确的线段比关系,才能确保解题的准确性.