基于HPM 的教学难点分析与突破策略*——以“解一元二次方程(公式法)”为例

江苏省南通市海门区首开东洲初级中学(226100) 南京师范大学教师教育学院(210023)赵嘉诚

1972 年,在第二届国际数学教育大会上,琼斯和英国学者罗杰斯组织数学史与数学教学关系国际研究小组,标志着数学史与数学教育之间的关系(简称HPM)作为一个学术研究领域的出现.目前HPM 研究的主要内容是数学史融入数学教学的实践研究.在数学教学中运用数学史的主要方式是附加式、复制式、顺应式和重构式[1].

教学难点是指那些太抽象、离学生生活实际太远、过程太复杂、学生难以理解和掌握的知识、技能和方法.从联系的观点看,教学难点就是那些与学生已有知识建立联系比较困难的知识[2].从HPM 角度看,教学难点是在数学发展过程中需要数学家们经历长期、艰苦探索才能发现、确认的数学知识.从最近发展区理论的观点来看,想要突破教学难点就是要拉近乃至消除学生的现有水平和学生的可能发展水平之间的距离.

美国著名数学家、数学教育学家M·克莱因曾经指出:“历史上数学家遇到的困难,正是学生也会遇到的障碍,因而数学史是数学教学的指南.”因此,借助HPM 不仅有利于在数学教学中更好地把握难点、突破难点,而且有利于从理论上对数学教学难点进行深入研究.

本文以人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册第二十一章“一元二次方程”中的“21.2.2 公式法”为例, 借助HPM 分析与突破教学难点并进行教学设计.

1 求解一元二次方程的发展简史

方程是中学代数的重要内容,也是人们在问题解决过程中常用的数学模型和数学思想.教科书中对于一元二次方程的求解方法有直接开方法、配方法、公式法和因式分解法.其中公式法和配方法都为解一元二次方程的通法,这两种方法之间蕴含着内在联系.

历史上最早给出一元二次方程解法的是公元前19 世纪的古巴比伦人,他们主要研究一元二次方程x2+bx=c.由于当时缺少代数符号,所以他们的求解过程都是以文字的形式来加以叙述,同时由于对负数的不理解,故排除了负根.但是他们已经找到程序化的计算步骤来对相同类型的一元二次方程进行求解,这显然是公式法的早期体现.

西汉中期成书的《九章算术》主要研究一元二次方程ax2+bx=c(a0).其中“少广”章中记载了世界上最早的开方运算,为解高次方程奠基.“勾股章”中借助开带从平方法对一元二次方程ax2+bx=c(a0)进行求解,同时也定义了负数概念.三国时吴国人赵爽在《周髀算经》的注释中借助几何图像对一元二次方程-x2+bx=c进行求解,最终也得出了相应的程序化求解过程.但由于缺少数学符号,故没有现代方程和求根公式的形式.

公元3 世纪的希腊数学家丢番图在其作品《算术》中引入了未知数的简写符号,这一举措为后续数学家们用真正的代数符号来研究和推导得出公式法奠定了相应基础.

公元9 世纪,阿拉伯数学家花拉子米在他的名著《代数学》中将一元二次方程分成5 类,也借助几何图形来进行方程求解.由于引入了数字符号,其表达形式优于古巴比伦人,但没有使用符号和缩写字母,同时还没有引入负数,所以也没有现代方程和求根公式的形式.

公式法的推导过程需要借助配方法.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),不同于教材上配方时的“等式两边同除a”,古希腊的数学家海伦选择“等式两边同乘a”再进行配方,7 世纪的印度数学家婆罗摩笈多选择“等式两边同乘4a”.

最终在12 世纪印度数学家婆什迦罗在其著作《丽罗娃蒂》中引用11 世纪数学家斯里达罗的方法,对于一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)进行研究,得出了求根公式,并且承认了负根的存在.所以求根公式,又称作印度求根公式.

2 HPM 视角下的教学难点分析与突破策略

数学家M·克莱因、HPM 先驱、数学史家卡约黎、数学史家福韦尔等人根据生物学家海克尔提出的“个体发育史重演种族发展史”这一生物发生学定律,提出了“过去的发展障碍有助于解释今天的学习困难”这一主张.所以数学发展历史上曾经出现过的困难往往会或多或少地体现在学生个体的数学学习过程之中,故历史不仅有助于教师分析课堂中的教学难点,还有助于教师制定针对学生的教学难点突破策略.

纵观借助公式法解一元二次方程的发展历程,数学家们经历了不承认负根,缺少代数符号,没有对一般化的一元二次方程进行一般化研究等困境.同时数学家们付出了以文字形式描述解方程的程序化计算步骤,通过几何方法来分析并计算方程问题,对方程进行不同形式的化简再配方等有利于推导出求根公式的努力.

结合学生原有的数学活动经验,学生在初一时已经系统学习了负数相关概念和用字母表示数,所以困扰古人的负根和代数符号问题不做考虑,故教学难点主要在借助配方法对一元二次方程的求根公式进行推导.同时通过以往的教学经验来看,照搬教材中的“探究”,让学生尝试自己推导公式,会出现学生推导慢、错误多等问题,最终变成教师黑板演示全过程,学生从探究者变成旁观者,从主动学习变成被动灌输.由此基础知识和基本技能掌握尚不牢靠,更不用说增加活动经验和获得数学思想.

导致推导过程中学生出现困难的主要原因和突破策略如下.

(1)学习目标混乱

很多学生上课之初内心就充满疑惑: (1)已经学习了配方法解一元二次方程,为什么还要学习公式法? (2)为什么要借助配方法来推导求根公式? (3)为什么要对一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)来推导求根公式,而不是其他一元二次方程.

借助数学史,这些问题都能迎刃而解.古巴比伦人和中国古代数学家们程序化的求解一元二次方程的过程看似和配方法一样,但其本质上是公式法的一种外显形式.让学生用配方法来推导公式法, 是让学生经历这样一种探究过程,对于配方法和公式法内在隐性关系有更加直观的数学探究体验.同时后续的数学家们从对不同形式的一元二次方程的探究到最后对一般式ax2+bx+c=0(a0)进行探究,也说明了要得到一般规律,就要对最一般的式子进行研究.

借助数学史,不仅可以使学生知道知识是什么,更能让他们知道为什么要学习这个知识以及如何探究这个知识.从而让学生目标明确,增加学习的积极性.

(2)运算错误,半途而废

由于前摄抑制,学生在之前借助配方法解一元二次方程时,在“移项”完以后,往往会进行“二次项系数化为1”的操作,此时会出现分数,并且在配方时添加的分式是运算过程中的难点和易错点.

借助史学史, 我们可以发现数学家们在对一般式ax2+bx+c= 0(a0) 进行探究时, 没有采用“二次项系数化为1”,而是“两边同乘4a”,这样的操作与教材中的“探究”不同,可以避免出现分式.借助“学材再建构”理论[3],教师在实际课堂中可以对学生进行提示和引导,开拓学生的解题思路.

基于以上分析,“解一元二次方程(公式法)”的教学目标可设置为: (1)能够用公式法解一元二次方程.(2)借助配方法推导一元二次方程的求根公式中,渗透特殊到一般、数形结合和分类讨论思想.(3)了解数学史、欣赏数学美,感受探索求知的精神.

3 HPM 视角下的教学设计

3.1 课前引入,展示数学故事

在ppt 中投影古巴比伦泥版中的问题: 已知矩形面积为60, 长比宽多7, 问该矩形的长为多少, 列出矩形的长所满足的方程.并给出一元二次方程x2-7x= 60 和古巴比伦人的文字解答过程: 取7 的一半,得自乘,得;将和60 相加,得;开方,得,将和相加,得12, 即为矩形的长.并展现上述解法写成的一个运算式子:,同时告知缺少负根是因为古巴比伦人对于负数缺乏认识.

设计意图借助附加式和复制式,将这部分史料作为课前阅读材料的形式进行展示有三个目的.一是,学生在阅读古巴比伦算法的文字表达方式的过程中,能够体会它与配方法的不同之处,从而对其原理产生学习兴趣,进而解决为什么要学习公式法这一疑问.二是,借助符号语言下的运算式子,让学生发现配方法在这种计算方法中的作用,为后续利用配方法算出求根根式提供先行组织者.三是,这部分的数学史主要作用是激发学生探究兴趣,放在课前而非课中,是为了避免喧宾夺主,导致没有充分时间进行教学难点的突破.

3.2 讨论运算式子,确认研究方程的种类

问题1: 观察运算的式子,你觉得这种计算方法与我们学过的哪种方法相类似?

问题2: 这种解法是否具有普遍适用性?

问题3: 你觉得最终结果和一元二次方程中哪些元素有关?

问题4: 通过哪个一元二次方程去研究一般性结论?

设计意图借助重构式,将古人经过多个世纪的时间才最终确定对一元二次方程ax2+bx+c= 0(a0)进行研究来得出求根公式的历史经历,体现了从特殊到一般的数学思想.通过发生教学法,以问题链的形式进行授课.根据历史相似性,个体数学理解的过程与数学历史发展过程具有相似性.[4]因此学生想要得到这一结果,必然也是要付出一定的努力.故以教学内容和学生思维水平为基础,通过由浅入深的问题,激发学生学习兴趣,使得学生的认知水平随着问题的深入层层递进,最终实现知识的螺旋式上升,突破这一学习难点.

3.3 借助配方法,得出求根公式

师: 如果进行“二次项系数化为1”的操作,后续的计算过程中会出现什么问题?

生1: 中间项和尾项会出现分式,配方时计算过于复杂.

师: 如果不将二次项系数化为1,是否可以配方?

师: 为了能够配方,应该使得首项ax2变成平方项,应该进行什么操作?

生2: 可以两边同乘a.

师: 同乘以后确定的尾项是什么?

师: 再想想,乘多少,可以使得中间项和尾项都是整式?

生4: 4a.

师: 后续的计算中,你又遇到了什么问题?

生5: (2ax+b)2=b2-4ac这一步,万一等号右边式子小于零,下面就不可以同时开平方了.

师: 很好,那请小组内针对b2-4ac的正负性讨论一下正确的解题过程.

讨论结果: 当b2- 4ac＞0 时, 方程的解是;当b2-4ac= 0 时,方程的解是;当b2-4ac＜0 时,方程无实数解.

师: 将b2-4ac称为根的判别式,用希腊字母Δ 表示,当b2-4ac＞0 时,将称为一元二次方程的求根公式.

设计意图借助复制式,通过教师的引导,使得学生的解题思路往历史上数学家们的解答思路靠拢,最终体会到古人的智慧.这样的教学过程,也完美突破了学生可能因为计算错误,而无法借助配方法对一元二次方程的求根公式进行推导的教学难点,同时也更加直观地展示了判别式b2-4ac.

3.4 借助历史题目,巩固新识

例1 解下列方程

(1)x2- 10x+ 9 = 0; (2)x2+ 8x- 65 = 0; (3)x2+32x-320=0.

总结计算步骤: 1.将方程化成一般式.2.写出a、b、c(注意符号).3.计算判别式Δ.4.根据判别式正负性代入求根公式

设计意图借助复制式,第一个方程是公元7 世纪印度数学家婆罗摩笈多解过的方程,第二个方程出自16 世纪法国的代数教材,第三个方程出自16 世纪意大利的数学教材.提供历史数学名题,促进学生学习进程.同时让学生自我总结解题步骤和注意事项,增加学习代入感.

3.5 课外拓展,展示几何解法

古人巧妙地将一个数的平方与正方形面积相对应,将两个数的乘积与长方形面积相对应.一元二次方程x2-7x= 60 可以看做长为x、宽为x-7 的长方形面积为60.按照古巴比伦人的解法,可以借助割补法将这个长方形转化为正方形,从而建立可以直接开方的方程.(如图1)

图1 一元二次方程x2 -7x = 60 的几何解释

设计意图《义务教育数学课程标准(2022 年版)》指出数与代数领域的学习,有助于发展几何直观和运算能力.[5]这里借助复制式,以古人的视角展示代数问题的几何解法,既增加了代数推理,又增强了几何直观,体现了数形结合的思想.由于这不是本节课的重点,故以课外拓展的形式加以呈现,让学有余力的同学感受数学知识之间的联系.

4 小结

要想真正从HPM 视角去研究教学难点并实施相应的突破策略,教师需要对知识点的历史起源加以追溯,厘清该知识点在东西方不同数学体系下的发展历程.由于历史的复杂性,数学知识的发展往往并不是呈线性上升.但是发生教学法下的课堂需要符合知识的自然发生过程,教学过程必须以学生的现有水平为基础来展开, 同时也强调知识的必要性,即教学必须激发学生的学习动机.所以基于HPM 的课堂,并不是数学史料的简单堆砌, 而是教师充分分析完学情以后,选择适合当前学生的相关史料,按照知识的发生逻辑,通过附加式、复制式、顺应式、重构式将数学史融合到课堂中.

本文在五个教学环节中都设计到数学史的相关内容,主要采用附加式、复制式和重构式.将数学史上有助于突破教学难点“对哪个一元二次方程进行配方法”的相关史料借助重构式,以问题链的形式,让学生经历古人同样的思考过程,最终确定是ax2+bx+c=0(a0);同时借助复制式,引导学生使用古人的解法,避免了“借助配方法对一元二次方程的求根公式进行推导”中会遇到的困难,从而对教学难点进行突破.