基于大概念,依托大单元,落实核心素养*——“抛物线的标准方程”教学设计与反思

甘肃永登县第六中学(730300)项丽红

数学大概念,指能反映数学学科的本质,居于学科中心地位,能将不同数学内容联系为一个整体,具有较为广泛的适用性和解释力的原理、思想和方法,是关于数学的理解以及关于数学的教与学的重要思想或观点的陈述[1].为了学生的核心素养发展和全面发展需要大概念教学[2].单元教学是根据教材中已有单元或按照需要将有联系的内容进行重新整合,形成新教学单元,并对教学要素进行整体规划以达到更好教学效果的教学模式,发展学生学科核心素养的教学需要单元教学设计[3].

可以发现,发展学生学科核心素养是大概念教学与单元教学的“契合点”及目标.因此,基于大概念,依托大单元进行教学设计,付诸教学实践可以落实数学核心素养.笔者以大概念为引领, 在单元整体教学分析基础上设计的湘教版“3.3.1 抛物线的标准方程”一课有幸获得教育部2022 年“基础教育精品课”,现将教学设计与各位教师分享交流.

1 单元整体分析

解析几何是数学发展过程中的标志性成果,是微积分创立的基础.“圆锥曲线与方程”单元的学习,学生将“通过建立坐标系,借助圆锥曲线的几何特征,导出相应方程,用代数方法研究它们的几何性质,体会坐标法的思想,体会数与形的结合”,此即本单元的大概念.

《普通高中数学课程标准(2017 版2020 修订)》将平面解析几何安排在选择性必修一“几何与代数”主题, 内容包括: 直线与方程、圆与方程、圆锥曲线与方程.湘教版教材将本单元安排在选择性必修一第三章,编排顺序为: 3.1 椭圆(共4 课时)3.1.1 椭圆的标准方程(2 课时)3.1.2 椭圆的简单几何性质(2 课时)→3.2 双曲线(共3 课时)3.2.1 双曲线的标准方程(1 课时)3.2.2 双曲线的简单几何性质(2 课时)→3.3抛物线(共2 课时) 3.3.1 抛物线的标准方程(1 课时) 3.3.2抛物线的简单几何性质(1 课时)→3.4 曲线与方程(1 课时)→3.5 圆锥曲线的应用(1 课时)→小结与复习(2 课时).教材按照“总—分—总”的思路展开内容: 先通过数学实验整体上初步认识三种曲线,然后从曲线自身特征出发,给出三种曲线的概念; 再运用坐标法分别研究三种曲线的几何性质,进而通过统一定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系;最后在对直线、圆锥曲线感性认识的基础上,建立曲线方程的概念,并用方程观点认识和研究曲线交点等问题.本单元教材编排顺序即为单元教学顺序.

本单元之前,学生学习了第2 章“平面解析几何初步”,以直线与圆为研究对象,在平面直角坐标系中建立了直线和圆的代数方程,通过对方程的讨论,研究了其几何性质及相互位置关系,体会了数形结合的思想,了解了坐标法,初步形成了用代数方法解决几何问题的能力.

2 课时教学设计

2.1 教学目标

1.借助GGB 作图抽象并理解抛物线的定义,在抽象定义的过程中重点提升数学抽象、直观想象素养;

2.类比椭圆、双曲线的建系过程,探究抛物线的建系方式及推导其标准方程,在此过程中重点提升逻辑推理、直观想象、数学运算素养,并能解决简单的相关问题;

3.在学习过程中体会类比、数形结合的数学思想方法,体会坐标法的思想.

2.2 教学重点

1.抛物线的定义

2.抛物线的标准方程

2.3 教学难点

抛物线标准方程的推导

2.4 教学过程

1.感受生活,发现数学

教师: 在初中,我们将二次函数的图象称为抛物线,并且知道: 在重力作用下的平抛或斜抛物体,如篮球场上投出的篮球、水池里喷出的水柱等,其运动的轨迹都是抛物线的一部分.(生活中的抛物线轨迹展示,PPT 展示篮球运动轨迹、喷泉水柱轨迹等)

学生: 借助教师语言以及PPT 图片展示,感受与发现生活中的数学.

设计意图: 创设情境,引入课题.概念教学要讲究背景,本情境通过生活实例引导学生了解抛物线的背景,产生对抛物线的直观感受.

2.实验操作,描绘图形

教师: 抛物线在我们身边广泛存在,怎样画出标准的抛物线呢? 我们一起借助GGB 来探究.

(1)平面上任取一点F,画一条定直线l,点F/∈1;

(2)在直线l上任取一点H,过H作直线l的垂线g;

(3)连结HF,作HF的中垂线交g于点P;

(4)拖动点H,点P随之运动;

(5)观察点P的轨迹.

学生: 通过GGB 作图,感受抛物线的形成.

设计意图: 通过GGB 演示,一方面提升直观想象素养,另一方面为抽象抛物线的概念奠定基础.

3.发现特征,抽象概念

教师: (1)由点P的轨迹形状,我们猜想它是抛物线.事实上,它确实是抛物线.通过实验,你能说出抛物线上的点P所满足的几何条件吗?

(2)由抛物线上点所满足的几何特征,请尝试对抛物线下定义.

抛物线的定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)距离相等的点的轨迹是抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.

符号语言: 抛物线是满足{P||PF|=|PH|,Fl}的点的集合

(3)当F/∈l时,点P的轨迹是什么?

学生活动: 找出抛物线上的点满足的几何特征,抽象出抛物线的定义,并用自然语言与符号语言加以表述,通过问题(3)对定义中的限制深入理解抛物线定义.

设计意图: 概念教学要注重概念的生成过程,通过GGB演示抛物线的形成过程,发现其几何特征,抽象概括抛物线的定义,并用文字语言和符号语言予以表征,重点学生提升数学抽象素养.

4.合理建系,推导方程

教师: (1)类比椭圆、双曲线的建系过程,以开口向右的抛物线为例,思考: 如何建立平面直角坐标系,能使抛物线的方程形式更简单? (给学生充足的思考空间,对学生的建系方式予以分析,并对3 种常见建系方式予以PPT 展示)

第1 种

第2 种

第3 种

(2)选择一种建系方式并推导方程.

过F作l的垂线与l相较于点D,以DF的中点为坐标原点,DF所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.以第3 种建系方式为例,推导抛物线的标准方程.

学生活动: 合作探究、交流、分享

(1)类比椭圆、双曲线的建系过程,探究求抛物线的标准方程该怎样建系.

(2)推导抛物线的方程,并观察比较,发现第3 种建系方式下得到的方程最简洁,因此选择其为开口向右的抛物线的标准方程.

设计意图: 学生合作探究、展示,突出学生的主体地位,突破了难点,强化了重点,通过抛物线标准方程的推导,体会建系的“对称美”与抛物线标准方程的“简洁美”,重点提升学生逻辑推理、数学运算素养.

5.推理分析,完善建构

教师: 前面我们以开口向右的抛物线为例,建系并推导了其标准方程,下面请大家思考以下问题:

(1)抛物线的开口还可以朝向哪边?

(2)相应的该如何建系?

(3)建系后,请写出抛物线上点P(x,y)满足的数学式子.

学生: 合理猜想,类比发现,观察归纳,简化计算,加深理解与记忆.

设计意图: 类比探究,发现抛物线标准方程的其他形式,重点提升学生逻辑推理、直观想象素养.

教师: (1)独立思考,完成表1.

表1

(2)观察此表,请思考: ①四种标准方程次数特征是怎样的?

左二右一: 等号左边是二次项,右边是一次项.

②如何确定抛物线焦点位置及开口方向?

一次定焦,正负定向: 一次项确定焦点位置,正负决定开口朝坐标轴正向还是负向.

学生: 在此前探究的基础上,独立完成表格,完善其余3种形式的标准方程,并在观察方程形式的基础上归纳方程的次数特征,能根据方程找出焦点位置和开口方向.

设计意图: 观察发现方程的形式特征,利于方程的理解与记忆,重点提升学生逻辑推理素养.

6.典例讲解,运用知识

教师: 请同学们独立完成以下例题.

例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:

(1)y2=4x;(2)y=ax2,其中a＞0.

分析: 先看方程是否是标准形式,不是标准形式的先化为标准形式,再求解.

例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1)焦点坐标为F(0,-4);(2)准线方程为;(3)焦点在坐标轴上,经过点M(-2,-4).

分析: 先根据题目已知找到抛物线焦点位置(定位),再确定标准形式(定形),最后待定p 的值(定量),即可写出标准方程.

教师: 接下来,请同学们完成课本143 页练习.

学生: 独立完成例题与练习

设计意图: 巩固所学,强化应用,对基本题型形成程序意识, 对求焦点坐标与准线方程的应先将方程化为标准形式,对求标准方程的应确立“先定位、再定形,最后定量”的程序意识,重点提升学生直观想象、逻辑推理、数学运算素养.

7.小结收获,提升素养

教师: 通过本节课的学习,请说说你的收获.

学生活动: 畅所欲言,小结收获.

教师: 用一首诗来描绘我们的学习过程: 定线定点距相等,圆锥曲线再加增;类比探究策略定,以数研形标准成;定位定形再定量,左二右一方程定;坐标引入千般好,曲线方程任纵横.

设计意图: 学生小结知识收获,分享学习心得,形成知识网络,教师对不足之处加以补充,并通过一首诗将本节课的重点予以重现,便于学生理解与记忆.

8.数学文化,育人无声

黑格尔说:“数学是上帝描述自然的符号.”伽利略说:“数学是上帝用来书写宇宙的文字.”周海中说:“数学,表达上准确简洁、逻辑上抽象普适、形式上灵活多变,是宇宙交际的理想工具.”通过本节课的学习,你对这些话是否有了更深地认识呢?

9.作业布置,课后巩固

必做题: 习题3.1 学而时习之1、2、3 题;选做题: 上网查阅网页或视频资料,了解生活中的抛物线.

设计意图: 课后作业,巩固新知,并上网查阅资料了解生活中的抛物线,提高学生学习兴趣.

3 教学反思

本节课首先通过展示篮球运动轨迹、喷泉水柱轨迹等图片,让学生感受抛物线在身边大量存在,发现生活中的数学;接着借助GGB 探究抛物线的形成过程,找出抛物线上点的几何特征,进而抽象出抛物线的定义;再类比椭圆、双曲线的建系过程,发现开口向右的抛物线标准方程的建系方式,并推导其标准方程,再观察分析得出开口向左、上、下的抛物线的标准方程;最后通过例题和练习对本节课知识加以运用与巩固,并通过学生小结本课知识、思想方法升华所学.通过问题及启发式教学,融合信息技术,强化学生直观感知、促进学生自主探索,在“坐标法、数形结合思想”单元大概念指导下,依托单元教学,落实了“重点提升数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算素养”的教学目标.