精选课堂例题，巧渗数学思想

边洁

【摘要】数学思想是数学学科的灵魂，是数学教学的精髓，是数学学习的最高要求.数轴是初中学生初次接触到的将“数”与“形”完美结合起来的数学图形，是初中数学教学中的一个核心概念.在实践教学中，教师可以通过合适的例题，巧妙渗透数学思想，提高学生的数学思维素养.

【关键词】初中数学；数轴；数形转化

1 问题背景

初中数学蕴含的基本数学思想并不像概念、公式、定理等会明明白白地写在教科书上，而是学生在学习的过程中，教师以知识为载体，巧妙地渗透.数轴作为中学数学中数形结合的第一个实例，它的出现不仅直观地体现了“直线上的点”与“有理数和无理数”之间的一一对应关系，还揭示了“数”与“形”之间的内在联系——可互相转化，使“数”的诸多性质（大小、正负等）与衍生概念（绝对值、相反数等）可以通过数轴上的点的位置关系得到生动形象的说明，也为学生后续学习有理数的运算、类比在数轴上表示一个数、尝试表示空间中一个点的位置（平面直角坐标系）等做好了铺垫.在本节课的教学设计中，教师不仅要引领学生探究数轴生成的前因后果，更要在运用数轴的知识解决问题时带领学生感悟相关的数学思想，帮助学生完善自己的数学素养.

2 教学设计

2.1 创设情景，类比生成

（出示PPT）在数字还没有产生之前，古代部落的人们会在一根长绳上打上绳结用来记录猎物的数量.他们会在长绳上先系一根红绳表示什么都没有；部落里每捕获一只猎物，就会在红绳的一边打一个结；部落里每吃掉一只猎物就会在红绳的另一边打一个结.借助此绳，可以通过数绳结记录一段时间内该部落猎物的捕获与消耗数量和速度．这便是“绳结计数法”.

师：在前两节课的学习中，我们已经掌握了用正负數表示生活中具有相反意义的量.在这个故事中，你看到具有相反意义的量了吗？

生：捕获猎物和吃掉猎物.

师：你能将其用正负数表示吗？

生：捕获猎物记为正，则吃掉猎物记为负.

师：请你们帮助这个部落的人，利用我们已经拥有的“数字”，完善他们的“绳结计数法”.

（引导学生在每个绳结下面标上相应的数字）

师：同学们，如果你现在成为了这个部落里的“记录员”，你可以将这个方法简洁化吗？

生：画一条直线表示长绳；在绳上点一点表示“红绳”，记作0；在这个点右边表示捕获，记作1，2，3，……，左边表示吃掉，记作－1，－2，－3，……．

师：基于我们这位同学的研究成果，0称为“原点”，表示什么都没有；一般的，我们会规定向右为正，在直线的右端标一个箭头表示“正方向”；相邻绳结之间，也就是相邻两个刻度之间的长度称为“单位长度”，要保持一致.这样一条，规定了原点、正方向和单位长度的直线就称为“数轴”.

设计意图 在实际教学中，我们可以从更贴合学生已有的知识角度去为他们编造出一个更容易理解的“数轴的来源”，从而去为初二学习平面直角坐标系埋下伏笔.结合前两节课刚刚学习过的，可以用正负数表示生活中具有相反意义的量，我为他们创设的情境是：绳结计数法，生动有趣，有益于引发学生的学习热情.课堂活动的核心，就是让学生参与教学，尤其是思维的参与.教师给出绳结计数的情境，学生类比生成数轴的概念，印象比教师直接给出概念来得更深刻.在概念的讲解中教师要注意学生对数轴三要素“原点”“正方向”“单位长度”的准确理解.

2.2 概念应用，数形转化

例1 如图1，写出数轴上点A、B、C、D表示的数.

设计意图 课堂中学生的反应不能作为绝对的学习效果反馈，所以教师在备课时除了教学目标、教学重难点，还要关注易错点.在这个例题中点D表示的数如何分析得出，需要教师采取适当的追问：为什么是一个负数？为什么是负的0.5而不是负的1.5？其中第二个问题是一个难点，可以从整数点A辅助分析：－3，在原点左侧，到原点的距离为3个单位长度，即从与原点的相对位置关系和到原点的距离两个角度剖析，这样学生也就能更为准确地分析点D表示的数字.此时教师可以再随机指一些点让学生说出其表示的数，引导学生感悟数轴上的每一个点都代表一个数字，体会由“形”到“数”的转化思想.

例2 画数轴，把下列各数在数轴上表示出来.

0，－4，2，－1.5，43，－2，－213.

设计意图 这个例题指向画数轴和在数轴上表示有理数.

（1）在很多的教学设计中会有单独的一个例题：“下列数轴的画法正确吗？为什么？”在实际教学中，虽然学生能跟着大部队说出数轴画法的错误之处，但并不会以此为戒，因为在没犯错之前，每个人都会觉得自己不会犯错.所以笔者舍弃了那个例题.在学生了解了数轴的基本概念和教师的板书画法示范之后，亲自动手画一画数轴，动手体验，学以致用.在学生画数轴的过程中，教师可以走到学生中去，观察寻找错误画法的素材，投影展示，并让其他同学纠错.课堂上生成的问题尽可能在课堂上解决，课堂活动也在师生互动的基础上融入了生生互动，效果要比凭空出现的案例好得多.

（2）在学生能够准确画出数轴的情况下，再将所给的有理数在数轴上表示出来.这个题目中涵盖了各种不同形式的有理数：整数、正分数、负分数.其中整数和正分数，学生上手很容易，但负分数的准确表示还需要教师辅以必要的引导.在例1的铺垫和讲解下，在找表示－1.5的点时，可以拆成两部分理解：“－”表示在原点的左侧，“1.5”表示距离原点1.5个单位.－213也是一样的方法.在这个过程中不仅要引导学生感悟每一个有理数都可以用数轴上的点来表示，体会由“数”到“形”的转化思想；同时通过细节分析，提高学生分析问题的能力，也为后面学习绝对值和相反数做铺垫，起到承上启下的作用.

2.3 合作探究，分类讨论

合作探究 如图2所示，将圆放置在原点处，从原点处剪开，平铺在数轴上.

问题1 如图3，若圆的周长为1个单位长度，则剪开的圆的另一端点落至何处？

设计意图 将数轴与其他几何图形结合，有利于培养学生的抽象能力和几何直观素养.学生很容易说出1，教师通过引导学生注意题目并未说明平铺的方向，从而启发学生认识到有两种情况：可能从原点向右平铺，也可能向左平铺，这便是分类讨论思想.后面学习绝对值的代数意义也需要从正数、负数、0三个角度分类讨论，在此处便可以让学生提前感受分类讨论思想的奇妙之处.

问题2 若圆的直径为1个单位长度，则剪开的圆的另一端点落至何处？

问题3 所以无理数可以在数轴上表示吗？

问题4 那数轴上的点一定表示一个有理数吗？

设计意图 有了问题1的铺垫，这个问题的两个关键点便迎刃而解了：圆的周长；注意分类.“无理数”本身是很抽象的内容，而π作为无理数的典型代表，可以借助圆在数轴上的运动呈现出来，把抽象的无理数直观地展现在数轴上，有利于学生更深刻地感知数、认识数、理解数，建立良好的数感，从而理解无理数可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点，可能表示一个有理数，也可能表示一个无理数.在这个环节中，注意让学生充分观察与思考、讨论与探究，激发学生主动探索的主观能动性，培养学生运用所学數学知识解决问题的能力，加深对无理数的认识.

问题5 如图4，若周长为1个单位长度的圆放置在数轴上表示数1的点处，并将圆从此处剪开平铺在数轴上，则剪开的圆的另一端点落至何处？

设计意图 进一步强化学生的分类讨论意识.去除背景，这个问题也就是：数轴上到表示数1的点距离1个单位长度的数为？或者将数轴上表示数1的点平移1个单位长度，表示的数为？在学完绝对值后，将这个问题符号化，也就是：若｜x－1｜＝1，求x的值……这些都是同一个问题在不同情境下的不同呈现，学生的理解角度也会随着知识的深入而变化.在此处学生可以借助图形理解题意，同时培养了学生数形结合和分类讨论的思想意识.争取使学生做到胸中有图、见数想图，提高学生灵活借助几何图形解决代数问题的能力.课堂中一些小小的变式往往会有点睛之笔的效果，更利于学生发散性思维的培养.

2.4 师生小结，深度生成

说说你对数轴的认识.

设计意图 引导学生完善思维导图，直观地将本节课的知识点呈现出来，不仅考察学生对本节课的掌握情况，更是对学生归纳概括能力的提升.

2.5 知识运用，拓展延伸

如图6，在数轴上A点所表示的数为π.

（1）若A、B两点到原点的距离相等，那么点B所表示的数是多少？

（2）写出A、B两点之间的所有整数.

（3）如果有一个点到A点的距离为2，那么这个点所表示的数是多少？

设计意图 紧扣本节课的教学目标：会正确画出数轴；会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上（表示有理数）的点所表示的数；知道有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数.

3 结语

著名的数学教育家米山国藏先生在《数学的精神、思想和方法》中明确提出：学生在初中、高中等所接受的数学知识，因离开学校进入社会没有机会应用，这种作为知识的数学通常出校门后不到一两年就会忘掉.然而，不管他从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方式、探究问题的方式、推理方法和着眼点等，却随时随地地发挥着作用.虽然我们并不会真的借助方程、函数去买菜，但学习数学给我们带来的转化思想——换位思考、分类思想——全面周全、数形结合——资源的充分利用，其实渗透在生活中的角角落落.生活中处处有数学，数学才来源于生活.为什么学习数学？因为我们触手可及，因为数学妙不可言.能在学习数学知识的背后，让学生的数学思想得到更本质的升华，是我们课堂教学的最高境界.

参考文献：

［1］何萍.一次难忘的教学经历——“数轴”一课的三次教学及其反[J].中学数学教学参考，2011（08）：5-7.

［2］汪晓勤，栗小妮.数学史与初中数学教学：理论、实践与案例[M].上海：华东师范大学出版社，2019：341-357.

［3］庞彦福.初中数学有效教学[M].北京：北京师范大学出版社，2015：130-131.