用“套餐式”材料引领数学思考——《集合（重叠问题）》教学与思考（二）

文|陈佳娣

【教学内容】

人教版三年级上册第104、105 页。

【课前思考】

集合思想是数学中最基本的思想之一。本课隶属“数学广角”内容，此单元只安排一个例题，借助学生熟悉的素材，介绍如何用韦恩图表示出参加两项比赛的人数，同时启发思考怎样列式解决问题，渗透集合的有关思想和方法。为引领学生展开有序而完整的数学思考，本课拟围绕一组“套餐式”的学习材料逐层展开。

【教学过程】

一、创设情境，初步感知

1.呈现问题

师：“游泳”和“击剑”是我校的特色项目，为此，学校三年级要组建游泳队和击剑队，规定每班可以有5 人参加游泳队，3 人参加击剑队。每个班一共有多少人参加？

生：5+3=8（人）。

师：我们从一年级开始就在做这样的题目，没有任何难度。但到底是不是8 人呢？仔细观察各班名单（见本刊第19 页），哪个班的人数可以用5+3=8 来表示，哪些班不能？为什么？

2.引入主题

生：我发现只有（1）班可以用5+3=8 来表示。其余三个班有重复，就不能用5+3=8 来做。

师：像这样把游泳和击剑这两种量合并起来，并没有像我们一年级学得那么简单。今天这节课，我们重点来研究里边的学问。

【思考：结合本校实际开展的两项体育项目来设置驱动问题，拉近了学生与数学学习的距离。“到底是不是8 人呢？”这个反问激发了学生的认知冲突，也为新课的开展做好了铺垫。】

三（1）班参加游泳、击剑队学生名单

二、延续情境，深入研究

1.初步认识“集合图”

（1）情境感受

师：三（1）班这个算式中的“5”表示什么？

生：参加游泳队的同学。

师：假如这些同学都在的话，他们可以站在这个呼啦圈里。那“3”呢？

生：参加击剑队的同学。

师：这些同学站到哪里呢？

生：另一个呼啦圈。

师：你们的方法真不错，像这样用一个呼啦圈表示一种人数，在数学上的应用是非常广泛的。

（2）引出图示

师：我们可以把参加比赛的学生名单填到圆圈里。（如下图）像这样用一个圆圈表示一个整体的图形，我们把它叫作“集合”。

【思考：利用“呼啦圈”作道具，引出“集合圈”的概念，让学生建立直观的意义理解，提高了课堂效率。】

2.重点研究“集合图”

（1）过渡引入，引发冲突

师：三（1）班的选手情况了解了，来看看三（2）班的选手情况。老师有个小要求。这个呼啦圈里站参加游泳队的同学，那个呼啦圈里站参加击剑队的同学。请名单上的同学上台来站一站。（学生活动）遇到了什么问题？

生1：既参加游泳队又参加击剑队的同学怎么站？

生2：用两个呼啦圈同时套住这位同学就可以了。

师：为什么要把两个呼啦圈同时套住王可杰？

生：因为他同时属于两个呼啦圈。

【思考：通过让学生上台站位，引发了“既参加游泳队又参加击剑队的同学怎么站”的认知冲突，唤醒了思维的能动性，让学生初步感知了“重叠问题”的基本含义。】

（2）尝试记录，反馈交流

师：我们怎样把三（2）班的情况记录到集合图里呢？

动画演示：蓝色圈表示游泳的同学，红色圈表示击剑的同学。两个圈向中间慢慢移动，形成重叠部分。

师：这块重叠的部分表示什么？

生：既参加游泳队又参加击剑队的同学。

师：左边蓝色的月牙形部分表示什么？右边红色的月牙形呢？（突出“只”）

【思考：学生通过合作、思考、交流等活动，以形象生动的动画演示为辅助，亲历了“重叠问题”集合图的形成过程，并逐渐构建其数学意义。解读集合图时，让学生充分进行语言描述，提升了数学理解的精准性。】

（3）算法探究

①提出问题：一共有多少人参加？能不能根据集合图列式解决？

②学生尝试解决问题，并交流分享自己的解题方法。

生1：5+3-1=7（人）。

生2：4+1+2=7（人）。

③引导学生理解各算式的意义。

结合集合图，指导学生观察并理解各算式中每个数字表示的意义。尤其是算式5+3-1=7（人）中，弄明白“为什么要减1”。

④教师小结：刚才，我们用两种不同的思路，得到了相同的结果，大家很能干。

【思考：采用不同的方法解决重叠问题，体现了策略的多元化。通过数形结合，深入理解重叠问题的特征与思路，让几何直观的思想得以凸显。】

3.拓展思辨“集合图”

师：三（3）班、三（4）班的情况已经用集合图表示出来了。结合刚才的名单仔细观察，哪个图是三（3）班的？哪个图是三（4）班的？

（1）三（3）班是重叠集合图（如上右图）。将图示补充完整并列式计算。交流算式各部分的意义。

（2）三（4）班是包含集合图（如上左图）。先体会这种情况下集合图的个性特点，再补充图示、列式计算、交流意义。

【思考：有了三（1）班、三（2）班相关问题的探究经验，学生对集合图各部分的含义有了一定认识。在此基础上，“套餐式”材料继续呈现。三（3）班、三（4）班的集合图直接出示，让学生根据信息展开选择、判别及跟进研究，体现了学习方式的丰富性。从中，既巩固了所学知识，又拓展了学生的认知视野。】

三、梳理交流，深化思考

1.文化渗透

介绍“韦恩图”相关史料。

2.深入比较

师：观察黑板上的四个集合图，有什么联系和区别？

生：这些集合图有的是分开的，有的一部分重叠了，有的是包含关系。我发现，重叠的部分越多，总人数就越少。

3.跟进挖掘

师：每个班参加两个项目的总人数最多可以是多少？最少可以是多少？

【思考：背景史料的介绍能让学生体会到本课所学内容与数学历史文化的紧密关联，进一步激发科学探究的使命感。“最多可以是多少？最少可以是多少”的深层追问，让前面分散的探究适时“归并”，让两个集合的所有关系形态进行了系统展现，有利于学生集合思想的发展。】

四、对比总结，明确主题

师：这节课，我们一起学习了集合的知识。对于反映“每个班一共有多少人参加”的相关情况，你觉得“集合图”与“统计表”哪一种更好？

【课后感悟】

1.彰显材料的结构化

本课设计非常注重学习材料的整合，用游泳和击剑两个校本特色项目引入，将本节课的所有知识点整合在同一个素材中，体现了“套餐式”设计理念，增强了学习活动的整体性。围绕三年级四个班的参赛情况及相关的解决问题活动，完整呈现了两个集合之间“无重叠”“有重叠”及“包含”这三种不同情况，既生动又深刻。

2.强化问题的层次性

本课通过“两个项目一共有多少人参加”这个驱动问题展开教学，发现“求总人数问题”与原有经验产生冲突。又通过“到底是不是8 呢？”展开新授探究，体会“无重叠”和“有重叠”两种情况下总人数计算策略的区别；最后通过集合图的选择，来辨别“部分重叠”和“全部包含”两种集合关系……可以说，一连串的层次性问题引领着学习线索的有序展陈，也让数学思考拥有了逐步深入、渐入佳境的美好过程。

3.关注思维的逻辑性

本课中，让学生依托直观，理解集合图的初步含义，并解决简单的实际问题。而解决每个问题的过程，都是锤炼思维逻辑性的重要契机。以“三（2）班有多少人参加”为例，可以列式为5+3-1=7（人），即“把两个集合总人数减去重复部分人数”；也可以列式4+1+2=7（人），即“把两个集合每个区域表示的人数加起来”；还可以有别的方法。像这样依据算式、结合图示、展开说理的过程，不仅能澄清“集合”的意义，更能通过语言表达、算理分享及策略评价，发展数学思维的逻辑性。