让美充满“数学”味，让数学更“美”味——“黄金比”教学例谈

文 吴文娟（特级教师）

【教学内容】

苏教版六年级上册第58 页。

【缘起】

数学很美，无论是它的内容、方法、思想，美几乎流淌于数学的每一个“细胞”之中。只是有时，我们沉溺于考试成绩，模糊了双眼，而一次次与数学美失之交臂。“黄金比”正是让我们认识数学美、感受数学美、追求数学美的很好的教学载体。“黄金比”的知识安排在苏教版六年级上册《认识比》的“你知道吗”板块中，内容相当少。但黄金比又广泛应用于生活，学生也对此有着浓厚的兴趣。如果只是教材上几句话的介绍，远远不能满足学生强烈的求知欲。基于以上思考，笔者认为，仅把黄金比作为一个知识来介绍实在是浪费了这一很好的素材。于是决定把它设计成一节综合活动课，希望学生通过小组合作、自主探究去发现美、欣赏美、理解美、创造美。但同时，数学课不只是一堂美学欣赏课，更要充满数学味。带着火热思考的美才能让数学课更“美”味。

【教学过程】

一、欣赏美，引出黄金比

（伴随着优美的音乐欣赏一组图片）

师：我们一起来欣赏。你觉得画面上的事物美吗？

生：美。

师：那你觉得它们美在哪里？

生：这个神庙建筑很雄伟，造型很美。

生：那只蝴蝶两边是对称的，颜色很鲜艳。

生：维纳斯女神身材很美。

……

师：同学们说得很有道理，从不同的角度观察，就能欣赏到不同的美。那如果从数学的角度来看，又能发现什么呢？今天我们就从一个新的视角来探索美的奥秘。（出示课题）

二、探究美，发现黄金比

师：快到2024 年新年了，我想用一张长方形卡纸制作一张明信片送给朋友，下面几种长方形的尺寸，你觉得哪种比较合适？

大部分学生建议选1 号。

师：你们为什么都建议老师选1 号呢？

生：这个长方形看上去舒服、好看。

生：长和宽的比较协调。

师：其实刚才老师是给同学们做了一个测试。早在100 多年前，德国心理学家费希纳也做过类似的研究，他精心制作了各种长方形，召开了一次“长方形展览会”，要求参观者投票选出自己认为最美的长方形，结果评选出以下四种长方形最受欢迎。

师：一个长方形看上去是否美观，你觉得主要和它的什么有关系呢？

生：和长与宽的比有关。

师：这只是一种猜测，可能是长与宽的比，还可能是长与宽的什么关系呢？

生：还可能和长与宽的差、和、积有关。

师：下面利用计算器四人小组合作研究这几个长方形长与宽的关系。填写数据后观察并思考：长方形是否美，与长与宽的什么有关？你发现了什么？

长 宽 长与宽的和长与宽的差长与宽的积长与宽的比值（除不尽保留三位小数）85 138 21 13 34 21

生：我们发现这些长方形长与宽的比值都是1.6 多一点。

师：你们的发现与科学家不谋而合。早在公元前500 多年，古希腊学者就发现了“黄金长方形”，即长方形的长和宽的比值接近1.618。这样的长方形看起来赏心悦目，人们把这个长方形宽和长的比叫作黄金分割比。1.618 的倒数的近似数为0.618，这个数被称为黄金分割数。

师：现在你知道这些最美长方形美的奥秘了吗？

师：生活中还有哪些物体的表面接近黄金长方形？找一找，测量并验证。

三、解释美，运用黄金比

师：同学们，刚才我们找到了最美矩形的奥秘，那最美人体的奥秘又是什么呢？

师：（出示维纳斯雕像）古希腊的著名雕塑爱与美之神“维纳斯”表现出最美的人体。雕像高2.04 米，以女神的肚脐为界，将雕像分成上身和下身两部分，她的上身长0.78 米，下身长1.26 米（在图上标出数据）。比一比、算一算，你能找到女神最美身材的奥秘吗？

学生计算后发现：上身长∶下身长≈0.619，下身长∶全身长≈0.618。比值接近黄金分割数。

师：原来女神的身材也符合黄金比，怪不得是最美身材呢！

师：如果把女神的身高看成一条线段，那肚脐这个点就把线段分成了两段。如果，这种分割就称为对于这条线段的黄金分割，这个点被称为黄金分割点。猜猜，为什么比值是个近似数呢？

生：我想真正的比值应该是一个无限不循环小数。

师：你猜对了，其实真正的黄金分割数是一个无限不循环小数（出示这个数的前一百位）。我们通常取它的近似值0.618。

……

师：找一找、猜一猜，下面的建筑、艺术设计中哪里藏着黄金比？

多媒体出示：巴黎圣母院、东方明珠、金字塔、五角星、摄影照片等。

四、创造美，拓展黄金比

师：你们觉得吴老师的身材怎么样？

师：（出示吴老师的上身是66cm，下身是97cm）请你用数据来说明。

生：66∶97≈0.680，比值偏大，我觉得你的身材不太好。

师：虽然我的心里不太开心，但这是大实话。那这个比值偏大，可能是什么原因呢？

生；您的下身偏短了，或是您上身偏长了。

师：找到原因了，那有什么办法可以让我的身材看起来更美吗？

生：穿上高跟鞋，把你的下身变长点，这样比值就会小了。

师：那赶快帮老师算算，到底要穿多高的高跟鞋，身材的比才更接近黄金比呢？

生：66÷0.618 ≈107 厘米，107－97＝10 厘米，要穿接近10 厘米的高跟鞋。

师：其实生活中真正符合黄金比的身材极少，但爱美之心人皆有之，为了能有更美的视觉感受，女性不怕辛苦穿上高跟鞋，但是，舒服才是最重要的。

师：你愿意用今天所学的知识帮妈妈算算要穿多高的高跟鞋吗？

【反思】

一、在欣赏中引出美，凸显数学的生活味

美，无处不在，而欣赏美的角度也各不相同。黄金比只是美学欣赏中的一个角度。为了避免学生学完黄金比后就只有“黄金比”这一个标准，同时也是充分肯定学生原有的生活基础，使今天所学能很好地纳入学生原有认识结构中去，于是，教学开始请学生欣赏一组画面，并提问：“你觉得这些事物美吗？美在哪里？”引导学生从对称、色彩、形态、构图等角度去评价画面，教师肯定学生的评价都很有道理，其实就是告诉学生：你们欣赏美的角度都是对的。随即话锋一转：如果从数学角度来欣赏，它们又为什么美呢？从而引出课题“美的奥秘”。这样，起到了抛砖引玉的效果，使得学生对接下来的“探秘”之旅非常期待，迫切想揭开谜底。而由生活素材引入的研究，也充分体现了数学的生活味。

二、在探究中发现美，凸显数学的思考味

黄金比是作为知识来告之学生，还是作为课题来让学生自主探究，这是笔者课前思考的重点。根据教材安排，黄金比真正的数含义是到初二才正式学习。因为黄金比指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，其比值是一个无理数，我们通常说的0.618 只是它的近似值。学生是否能理解这样的无理数？又怎样得到这个无理数呢？我想到了小学阶段学到的另一个无理数：圆周率π。学生通过研究圆周长与直径的关系得到了这个圆周率的近似值，那黄金比值是不是也可以这样研究呢？于是我便设计了帮老师选明信片的问题，使学生关注长方形的长与宽。再通过德国心理学家费希纳的长方形展览会的史料介绍引出探究问题：长方形美不美，和它的什么有关系呢？一石激起千层浪，学生首先想到长和宽的比，但也有学生提出可能和长与宽的差有关，又有学生补充，还可能和长与宽的和、积有关。至此，学生基本确定了研究的方向，在小组合作探究后，学生惊喜地发现：原来最美长方形和长与宽的比有关，比值接近1.6。此时，学生还心存疑虑，因为少数学生通过课前预习已知道黄金比值应是0.618，怎么会是1.6 呢？最后，数学史料弥补了学生探究中的遗憾和不解。黄金比摆在我们眼前的是现成的知识，但科学家发现它却经历了一番艰苦的思考，而数学是充满火热的思考，思考带来的美不亚于黄金比带来的视觉享受。所以带着学生一起重温黄金比的发现之旅不只是欣赏数学的外在美，更是领略到数学内隐的思考美。

三、在解释中理解美，凸显数学的理性味

当学生探究得出黄金比后，是不是就是介绍、欣赏符合黄金比的美图，让学生在惊叹中更全面了解黄金比呢？我想，不仅限于此。只有带着思考去欣赏、运用黄金比来解释美，才有别于一般的美学欣赏，才突出数学视角、突出数学的理性味。如教学中揭示维纳斯最美身材的秘密，教者让学生自己去计算比，对照发现最美身材原来也是符合黄金比的。教学并未在此止步，而是由最美身材抽象出线段的黄金分割，引出，从而自然得出黄金分割数原来是一个无理数，并展示这个无理数的前100位，至此，学生对黄金比的两种外在形式：黄金长方形和黄金分割线段有了全面的认识，数学的理性味也更浓了。接下来学生欣赏着、发现着、解释着艺术领域、生活领域、自然领域的黄金比。他们通过计算熟悉这个比，通过估测训练自己的审美眼光。

四、在应用中创造美，凸显数学的实在味

生活应用是黄金比最大的价值，而学以致用才能让学生学得更扎实、学得更有味。虽然标准的黄金比设计需要尺规作图，但近似的黄金比设计及黄金比的其他应用却是学生应用比的知识就能解决的。其中最让学生喜爱的就是帮老师设计高跟鞋。教学中教师先让学生判断教师的身材美不美，学生在一番讨论后一致认为要算算身材的比，这就是黄金比的简单应用。计算后发现老师上身与下身的比值偏大，“怎样让老师的身材符合黄金身材？”“老师穿多高的高跟鞋比较合适？”连续两问驱使学生思考：怎样利用黄金比来计算呢？当解决这一问题后，学生真切地感受到黄金比的实用性，能帮老师解决问题又使他们倍感自豪，而引申到课后帮妈妈设计高跟鞋使学生对黄金比的应用意犹未尽。

这节课在实际教学中取得了很好的效果，学生兴致盎然，时而合作探究、时而独立计算、时而惊叹不已、时而心满意足。这也使我们思考：在数学教学中注入美的元素，将使数学更有味，而欣赏数学美也离不开浓郁的数学味。