以数学思想方法和核心素养为旨归的单元整体教学探究——以《三角函数》为例

颜美玲|杭州师范大学经亨颐教育学院；浙江省杭州外国语学校

单元整体教学设计是在整体思维的指导下，从提升学生的学科核心素养出发，通过对教材相关内容进行统筹重组和优化，并将重组后的教学内容视为一个相对独立的教学单元而进行的动态教学设计.它提倡将教学内容置于单元整体中考虑，这样就能规避目前课堂中存在的知识割裂化和碎片化的现象，从而提高教学效率.

在基本策略和方式方面：何小亚提出先从整体知识的研究对象、研究方法和用途等方面给学生一个全面的概述，使学生对这个知识单元有一个整体的认识，然后逐个学习［1］；章建跃提出用数学研究的大观念设计单元整体教学，引领学生从研究思路、研究内容和研究方法等角度进行教学设计，让学生经历完整的提出问题直至解决问题的过程［2］.在内涵和设计路径方面：章飞等提出根据学习主线的类型将学习单元分为两类，即以知识技能为主题和以思想方法或学科素养为主题［3］；喻平又从一个单元就是一个思想体系、方法体系、知识体系的角度，提出了以问题解决过程线索为主题、以建立个体CPFS 结构为主题、以概念生长为主题、以数学思想方法解决问题为主题的四种单元教学模式［4］.在上述研究的启发下，笔者进行了一些尝试，下面以人教A版（2019）普通高中教科书《数学》（以下简称“人教A 版教材”）必修第一册第五章《三角函数》为例，探讨以数学思想方法和核心素养为旨归进行单元整体教学设计的实践路径.

一、分析单元教学要素

（一）课标分析

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“《课程标准》”）对该单元的要求为：帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质；探索和研究三角函数之间的恒等关系；利用三角函数构建数学模型、解决实际问题.

《课程标准》对“直观想象”的目标要求是：建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路；通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识；形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质.

（二）教材分析

笔者以框架图的方式呈现该单元的基本内容（如图1所示）.

图1 《三角函数》单元内容框架

该单元的核心概念是单位圆、弧度制、正弦、余弦、正切函数.核心原理是正余弦、弦切关系以及诱导公式和两角差的余弦公式.核心思想方法是利用单位圆给出三角函数的定义、探究其性质并加以运用.同时，笔者又从数学核心素养方面将内容进行了分类，内容①②、③～⑦、⑧⑨所涉及的主要核心素养分别是数学抽象、直观想象和数学建模.该单元的地位和作用如下.

从三角函数发展的角度看，三角函数与天文学密不可分、相互交织；从应用的角度看，三角函数与其他学科的联系非常紧密，特别是物理学；从内容上看，三角函数在中学阶段起着承上启下的作用，一方面它是对初中阶段圆有关内容的进一步研究，另一方面它是后续学习平面解析几何的基础，它与向量和复数也有密切的联系.同时，它能为学生在大学阶段学习傅里叶级数等内容做好铺垫.

（三）学情分析

从内容上看，在该单元之前，学生已在初中平面几何中学习了有关圆的性质以及中心对称图形、轴对称图形、旋转对称图形等.从方法上看，平面几何中的相关知识及其思想方法可为证明三角函数的性质提供思路，如诱导公式.另外，在前面函数的学习中，学生已基本掌握了研究一类函数的内容、一般过程与方法.

（四）教学目标分析

结合《课程标准》、教材和学情，笔者对教学目标作了如下分析：（1）经历用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质的过程，体会研究三角函数性质与其他函数性质的方法的共同和不同之处；（2）经历以函数的一般概念与性质为线索的探索过程，提升整体把握数学内容的能力，增强学习数学的信心；（3）加深对概念的理解，提升数学抽象、数学运算等核心素养；（4）经历用三角函数解决其他学科或生活中具有周期现象的实际问题，体会三角函数的应用价值，提升数学建模核心素养.

（五）重难点分析

在一般观念指导下，笔者将该单元教学的重点定为：（1）研究三角函数的一般路径；（2）类比指数、对数函数的研究，展开该单元的研究；（3）注重三角函数的特殊性质——周期性有着统领其他性质的作用；（4）突出单位圆在研究三角函数性质时的重要作用.

该单元教学的难点是：（1）以往所学函数的对应关系都是以代数运算的方式反映的，而三角函数则是借助单位圆（是角和有向线段的对应）给出对应关系，学生刚开始不容易适应这样的对应关系；（2）将圆的几何性质转化为三角函数值之间的关系，即通过几何直观研究三角函数的性质，这也是学生不熟悉的方法；（3）发现两角和（差）的三角函数公式与圆的旋转对称性间的联系以及利用三角恒等变换解决问题.

（六）教学方式分析

单元整体教学需要凸显学生的主体性，而不是单纯地注重知识的传递.在具体的课堂教学中，教师要为学生提供充足的探索交流时间，并多安排一些合作探究的内容，启发学生探究、交流，最后师生共同归纳总结.

二、重组后的单元教学内容结构

一般来说，教科书中自然的章节就是天然的单元.但若能以数学思想方法或核心素养为统领进行适当的单元重整，换一个维度，从更为上位的角度认识学科的知识和结构也是非常有必要的.人教A版教材特别强调和突出单位圆的地位和作用，如利用单位圆感受1弧度的角的大小，利用单位圆定义三角函数，利用单位圆研究同角三角函数的基本关系（即基本性质），利用单位圆的轴对称性和旋转对称性分别研究和推导诱导公式及和差角公式等.因此，笔者以单位圆为主要抓手重组该单元内容，建立由3个小单元构成的以直观想象思想为引领的大单元结构体系（如图2所示）.

图2 以直观想象思想为引领的《三角函数》大单元结构体系

对图2，需要说明以下几点.

第一，教材中内容呈现的顺序是①②③④⑤⑥⑦⑧⑨，而重组后的顺序是①②④③⑤⑦⑥⑧⑨，并且在⑦和⑥之间设置了1～2 个课时的主题探究. 直观想象是该单元的核心思想方法，因此这样的内容顺序设置主要是基于以思想方法为主题的单元教学模式.在小单元2中，笔者重点引导学生逐步体会③～⑦这五块内容是圆的几何性质（重点是对称性）的解析表达.由于④可以从“圆上的点到圆心的距离就是半径长”这一圆的几何性质并借助三角函数的定义直接得出，并且它本质上所体现的是三角函数的周期性，而周期性是三角函数区别于其他函数的最主要性质，所以笔者将它直接安排在②后.

第二，学生需要理解诱导公式其实就是三角函数的性质.为了使诱导公式的教学本质化、简单化，同时让学生感受现代数学的主流方法（对称、变换等）［5］（具体内容见表1），构建利用单位圆的性质研究三角函数性质的一般路径与方法，笔者重点将教材中的诱导公式和同角三角函数关系作了顺序上的调整，得到了小单元2的框架.

表1 诱导公式与单位圆的几何性质及旋转（或对称）变换的关系

第三，在小单元2中，笔者将教材中的“探究与发现”安排在⑦和⑥之间，是希望学生能进一步体会单位圆在研究三角函数性质中的脚手架作用，这也是其区别于其他函数的方面，即利用单位圆的几何直观研究性质.若将⑦设置在⑥之后，会让学生有一种假探究的感觉.因此，笔者认为按照“⑦→探究与发现→⑥”的顺序展开教学，既能突出单位圆的工具性作用，又能聚焦核心素养与关键能力.当然，若学生水平一般，可调回“⑦→⑥→探究与发现”的顺序.

另外，教师也可开设如“将单位圆关于y=-x对称的几何性质转化为三角函数值之间的关系”等主题探究式的课堂，继续强化通过几何直观研究三角函数性质的思想方法. 考虑到新知学习容量较大，教师也可根据学情适当调整内容顺序.当然，若作为章节复习课或高三第一轮复习阶段复习课，则完全可以按照上述思路进行单元重组.

三、单元整体教学案例

作为单元整体教学中的一部分，课时教学既应以单元整体教学思想为统摄，联结该课时前后的其他课时教学，又应突出自身的教学价值.下面以“探究与发现——利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质”课时教学为例，呈现单元整体教学的部分轮廓.

（一）课时目标

结合《课程标准》、教材和学情，笔者将该课时目标定为如下两点：（1）在已有经验（借助图象来研究函数性质）的基础上尝试从新的角度探究三角函数的性质，即通过观察任意角的终边与单位圆交点的横坐标的变化规律，获得余弦函数的性质，从而提升直观想象等核心素养并强化利用几何直观思考、解决问题的能力；（2）能类比利用单位圆的性质研究余弦函数性质的方法和一般过程，自主研究正弦函数的性质，进一步提升自主探究问题的能力.

（二）课时重难点

重点：利用单位圆的性质，通过观察数据、分析数据研究正、余弦函数的性质.

难点：利用单位圆，从正、余弦函数定义的角度直接探究性质.

（三）过程设计（简案）

1.复习回顾，做好铺垫

师：请回顾任意角三角函数的定义，说出正弦函数、余弦函数对应的几何意义.

设计意图：这节课的核心思想是利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数，而三角函数的定义与单位圆密切相关，因此复习三角函数的定义，可为后续研究函数性质做好知识上的准备.

2.提出问题，形成思路

问题1：这节课研究的对象是什么？

问题2：类比以往对函数性质的研究，你认为应该研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？

问题3：你觉得应该如何研究正弦函数、余弦函数的性质？

设计意图：通过问题1，让学生明确这节课的研究对象是y=sinx，y=cosx（xR），接着在问题2中让学生通过类比，提出研究正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等.另外，通过之前对诱导公式的学习，学生已初步感知与其他初等函数相比，其具有的最特殊的性质——周期性，因此在此处可以引导学生提出相关概念，为后续的探究做好铺垫.基于学生能提出借助函数图象研究函数这一传统思路的前提，问题3 旨在让学生提出探究正弦函数、余弦函数性质的新视角，即利用单位圆的性质，从而确定这节课的研究思路.

3.初步探究，感知性质

问题4：前面所学的哪个诱导公式体现的是正弦、余弦函数的周期性呢？

问题5：函数的周期性是如何定义的？

问题6：什么是函数的性质？

设计意图：利用单位圆的性质研究周期性与奇偶性，已在之前教材中的诱导公式1——sin(x+2kπ)=sinx（kZ）和诱导公式3——sin(-x)=-sinx上有所体现，因此通过问题4 可让学生回忆诱导公式1、给出周期函数的一般定义，从特殊到一般循序渐进地引出周期函数的严格定义.同时引导学生从函数的角度再次审视诱导公式1，即自变量x的值增加2π 整数倍时所对应的函数值与x所对应的函数值相等，从而体会研究自变量x的变化，函数值y的变化规律就是研究函数的性质的一般观念.另外，正因为正弦函数、余弦函数具有周期性，所以在研究其他性质时可简化研究，即先研究一个周期内的性质再延拓到整个定义域内.

4.以点带面，深入研究

问题7：如何在单位圆中研究余弦函数y=cosx（xR）的性质呢？

设计意图：通过小组合作的方式，先让学生将研究余弦函数的过程及结论写在学习单上，然后汇报，师生一起总结.借助GeoGebra软件的动态演示，教师可引导学生通过观察角的终边与单位圆的交点P的横坐标的变化规律，得出余弦函数的单调性和最值.另外，关于奇偶性，学生很容易从诱导公式3——cos(-x)=cosx得出偶函数的结论.但是此处教师需要引导学生从函数性质的角度再次认识该公式，并且通过GeoGebra 软件的动态演示（如图3 所示），从单位圆的角度直观感知为何直线x=0是余弦函数的对称轴，即角以零角为参考顺时针或逆时针旋转任意相等的角，旋转后两终边与单位圆交点的横坐标是相等的，即余弦函数值是相等的.

图3 两角终边关于v轴对称的余弦函数的动态演示

问题8：你还能借助单位圆发现余弦函数的其他性质吗？

设计意图：前面主要利用了单位圆的周而复始以及关于v轴的对称性得到了余弦函数的有关性质，接着继续启发引导学生借助GeoGebra 软件的动态演示研究得出余弦函数的对称性.在图3中，当两个角的终边关于v轴对称时，对应点的横坐标到直线x=kπ（kZ）的距离是相等的.从单位圆上看，这两个角的终边与单位圆交点的横坐标是相等的，即余弦函数值相等.因此，直线x=kπ（kZ）是余弦函数的对称轴.当两个角的终边关于u轴对称时（如上页图4所示），这两个角的终边与单位圆交点的横坐标互为相反数，即它们的余弦函数值相反.而对应点的横坐标到直线x=kπ+的距离是相等的，因此这两个点关于点呈中心对称.于是可得出余弦函数关于点呈中心对称.

图4 两角终边关于u轴对称的余弦函数的动态演示

5.课堂小结，形成结构

问题9：你能归纳出在单位圆中研究正弦、余弦函数性质的一般步骤了吗？

设计意图：师生一起用框图的形式梳理利用单位圆研究余弦函数性质的一般过程（如图5所示），为后续自主研究正弦函数做好铺垫，同时回顾与总结这节课的研究内容和研究方法（如图6、图7所示）.

图5 研究函数性质的一般过程

图6 函数性质的研究内容

6.拓展应用，布置作业

（1）请利用单位圆自主研究正弦函数的性质.

（2）利用单位圆证明以下问题：

①若0 ＜α＜，证明：sinα＜α＜tanα，1 ＜sinα+cosα＜

②若0 ＜α＜β＜证明：α-sinα＜βsinβ.

（3）你还可以利用单位圆研究三角函数的其他性质吗？请试一试.